Функция распределения содержит полную информацию о случайной величине. На практике функцию распределения не всегда можно установить; иногда такого исчерпывающего знания и не требуется. Частичную информацию о случайной величине дают числовые характеристики, которые в зависимости от рода информации делятся на следующие группы.
1. Характеристики положения случайной величины на числовой оси (мода Мo
, медиана Мe
, математическое ожидание М(Х
)).
2. Характеристики разброса случайной величины около среднего значения (дисперсия D(X
), среднее квадратическое отклонение σ(х
)).
3. Характеристики формы кривой y
= φ(x
) (асимметрия As
, эксцесс Ех
).
Рассмотрим подробнее каждую из указанных характеристик.
Математическое ожидание
случайной величины Х
указывает некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения Х
. Для дискретной случайной величины, которая может принимать лишь конечное число возможных значений, математическим ожиданием называют сумму произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений:
. (2.4)
Для непрерывной случайной величины Х
, имеющей заданную плотность распределения φ(x
) математическим ожиданием называется следующий интеграл:
. (2.5)
Здесь предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е. существует.
Свойства математического ожидания:
1. М(С
) = C
, где С
= const
;
2. M(C
∙Х) = С
∙М(Х
);
3. М(Х
± Y) = М(Х
) ± М(Y
), где X
и Y
– любые случайные величины;
4. М(Х
∙Y
)=М(Х
)∙М(Y
), где X
и Y
– независимые случайные величины.
Две случайные величины называются независимыми
, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.
Модой
дискретной случайной величины, обозначаемой Мо
, называется ее наиболее вероятное значение (рис. 2.3), а модой непрерывной случайной величины – значение, при котором плотность вероятности максимальна (рис. 2.4).
Рис. 2.3 Рис. 2.4
Медианой
непрерывной случайной величины Х
называется такое ее значение Ме, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Ме
, т.е.
Р(Х
< Ме) = Р(X
> Ме
)
Из определения медианы следует, что Р(Х
<Ме
) = 0,5, т.е. F
(Ме
) = 0,5. Геометрически медиану можно истолковывать как абсциссу, в которой ордината φ(x
) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения (рис. 2.5). В случае симметричного распределения медиана совпадает с модой и математическим ожиданием (рис. 2.6).
Рис. 2.5 Рис. 2.6
Дисперсия.
Диспе́рсия случа́йной величины́ - мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается D [X ] в русской литературе и (англ. variance ) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии, равный , называется среднеквадрати́чным отклоне́нием,станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.
Из неравенства Чебышёва следует, что случайная величина удаляется от её математического ожидания на более чем k стандартных отклонений с вероятностью менее 1/k ². Так, например, как минимум в 75 % случаев случайная величина удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 89 % - не более чем на три.
Дисперсией
случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания
D(X
) = M(X
–М(Х
)) 2 .
Дисперсию случайной величины Х
удобно вычислять по формуле:
а) для дискретной величины
; (2.6)
б) для непрерывной случайной величины
j(х
)dx
– 2 . (2.7)
Дисперсия обладает следующими свойствами:
1. D(C
) = 0, где С
= const
;
2. D(C
×X
) = C 2 ∙D(X
);
3. D
(X
±Y
) = D
(X
) + D
(Y
), если X
и Y
независимые случайные величины.
Средним квадратическим отклонением
случайной величины Х
называется арифметический корень из дисперсии, т.е.
σ(X
) = .
Заметим, что размерность σ(х
) совпадает с размерностью самой случайной величины Х
, поэтому среднее квадратическое отклонение более удобно для характеристики рассеяния.
Обобщением основных числовых характеристик случайных величин является понятие моментов случайной величины.
Начальным моментом k-го порядка
α k
случайной величины Х
называется математическое ожидание величины Х k
, т.е. α k
= М(Х k
).
Начальный момент первого порядка – это математическое ожидание случайной величины.
Центральным моментом k-го порядка
μ k
случайной величины Х
называется математическое ожидание величины (Х
–М(Х
)) k
, т.е. μ k
= М(Х
–М(Х
)) k
.
Центральный момент второго порядка – это дисперсия случайной величины.
Для дискретной случайной величины начальный момент выражается суммой α k
= , а центральный – суммой μ k
= 
где р i
= p(X
= x i
). Для начального и центрального моментов непрерывной случайной величины можно получить следующие равенства:
α k
= , μ k
= 
,
где φ(x
) – плотность распределения случайной величины Х.
Величина As
= μ 3 / σ 3 называется коэффициентом асимметрии
.
Если коэффициент асимметрии отрицательный, то это говорит о большом влиянии на величину m 3 отрицательных отклонений. В этом случае кривая распределения (рис.2.7) более полога слева от М(Х
). Если коэффициент As положительный, а значит, преобладает влияние положительных отклонений, то кривая распределения (рис.2.7) более полога справа. Практически определяют знак асимметрии по расположению кривой распределения относительно моды (точки максимума дифференциальной функции).
Рис. 2.7
Эксцессом
Еk
называется величина
Еk
= μ 4 / σ 4 – 3.
Вопрос 24. Корреляция
Корреля́ция (корреляционная зависимость ) - статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин. Математической мерой корреляции двух случайных величин служит корреляционное отношение , либо коэффициент корреляции (или ) . В случае, если изменение одной случайной величины не ведёт к закономерному изменению другой случайной величины, но приводит к изменению другой статистической характеристики данной случайной величины, то подобная связь не считается корреляционной, хотя и является статистической .
Впервые в научный оборот термин «корреляция» ввёл французский палеонтолог Жорж Кювье в XVIII веке. Он разработал «закон корреляции» частей и органов живых существ, с помощью которого можно восстановить облик ископаемого животного, имея в распоряжении лишь часть его останков. В статистике слово «корреляция» первым стал использовать английский биолог и статистик Фрэнсис Гальтон в конце XIX века.
Некоторые виды коэффициентов корреляции могут быть положительными или отрицательными (возможна также ситуация отсутствия статистической взаимосвязи - например, для независимых случайных величин). Если предполагается, что на значениях переменных задано отношение строгого порядка, то отрицательная корреляция - корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой переменной, при этом коэффициент корреляции может быть отрицательным; положительная корреляция в таких условиях - корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной, при этом коэффициент корреляции может быть положительным.
Наберитесь терпения и прочитайте это..
Игра с положительным математическим ожиданием - жизненно важная концепция для всех спекулянтов, это концепция, на которой строится система веры, но сама концепция не может быть построена на вере. Казино не работают на вере. Казино оперирует, управляя своим бизнесом, основываясь на чистой математике. Казино знает, что, в конечном счете, законы рулетки и игры в кости возьмут верх. Поэтому казино не дает игре останавливаться. Казино не против того чтобы подождать, но казино не останавливается и играет круглые сутки, ведь чем дольше вы играете в его игру отрицательного математического ожидания, тем больше организаторы казино уверены, что получат ваши деньги.
Трейдеру необходимо иметь понятие о математическом ожидании. В зависимости от того, у кого математическое преимущество в игре, оно называется либо преимуществом игрока - положительное ожидание, либо преимуществом игорного дома - отрицательное ожидание. Допустим, мы играем с вами в орла-или-решку. Ни у вас, ни у меня нет преимущества у каждого 50% шансов на выигрыш. Но если мы перенесем эту игру в казино, которое снимает 10% с каждого кона, то вы выиграете только 90 центов на каждый проигранный доллар. Это преимущество игорного дома оборачивается для вас как игрока сильным отрицательным математическим ожиданием. И ни одна система контроля, над капиталом, ни одна стратегия не может одолеть игру с отрицательным ожиданием.
В играх с отрицательным математическим ожиданием не имеется никакой схемы управления деньгами (стратегии) которая сделает вас победителем.
Интересная штука рулетка, передовик всех азартных игр, в основу возьмем ее. Итак, казино, крики, шум, эмоции и роскошная показуха, но мы сосредоточимся на рулетке. Давайте рассчитаем математическое ожидание игры в рулетку, если играть только на красное-черное (в трейдинге кстати это лонг или шорт). Итак на рулетке всего 38 игровых полей - 36 цифр (18 красных и 18 черных полей), а также два зеро (возьмем релетку с двумя зеро). Таким образом, вероятность выигрыша при ставке на красное или черное составляет приблизительно 0.45 (18/38). В случае положительного исхода ставки мы удваиваем свою ставку, а в случае неудачи теряем все поставленное. Ах да, в случае выпадения зеро мы так же теряем свои деньги. Отсюда имеем отрицательное математическое ожидание. Данную игру можно назвать невыгодной по причине наличия среди игровых полей двух зеро, при выпадении которых нашу ставку забирает в свою пользу казино. Одна ячейка - это примерно 2,6% колеса рулетки, две ячейки это более 5%, именно такой процент хозяева казино кладут себе в карман в среднем с каждой сделки, так казино медленно выкачивает деньги из клиентов, зарабатывая уже много десятилетий.
Безусловно для казино эта игра с положительным математическим ожиданием, при двух зеро казино получит деньги игрока в двадцати случаях из 38. И чем больше игра будет продолжаться, тем больше казино получит прибыли.
А каково математическое ожидание финансовых игр? Ставки на финансовые инструменты обладают всеми внешними атрибутами азартных игр, финансовые игры на бирже распыляют зеро рулетки на большое количество компонентов вероятности - спрэд, комиссионные бирже, комиссионные брокеру, абоненская плата за пользованием биржевого терминала, плата за перевод средств на счета и по сути 13% налог на будущую прибыль в совокупности являются своеобразными аналогами зеро рулетки . Это дает основание говорить об отрицательном, изначально неблагоприятном математическом ожидании для игрока (трейдера).
Я хочу что бы вы поняли - Никакой метод управления капиталом, никакая стратегия, не может превратить отрицательное ожидание в положительное. Это абсолютно верное замечание. Математических доказательств этому утверждению нет. Однако это не означает, что такое не может произойти. Конечно в азартных играх участник может выйти на полосу выигрышей, совпадений и просто прекратить игру, в результате такой человек по сути окажется победителем. Но на долго ли он завяжет с игрой?...
Поэтому единственный случай, когда у вас есть шанс выиграть в долгосрочной перспективе, - это игра с положительным математическим ожиданием . Думаю, вы можете выиграть как правило при многократном использовании ставки одинакового размера и только при отсутствии верхнего поглощающего барьера . Азартный игрок, который начинает со 100 долларов, прекратит играть, если его счет вырастит до 101 доллара. Эта верхняя цель (101 доллар) называется поглощающим барьером. Допустим, игрок всегда ставит 1 доллар на красный цвет рулетки где 18 полос красные, 18 полос черные, 2 полосы ноль, при нуле деньги уходят в казино. Таким образом, игра идет при небольшом отрицательном математическом ожидании. У игрока больше шансов увидеть, как его счет вырастет до 101 доллара и игрок прекратит играть, чем то, что его счет уменьшится до нуля, и игроку будет не на что играть. Если игрок будет играть на рулетке снова и снова, то окажется жертвой отрицательного математического ожидания. Если сыграть в такую игру только раз, то аксиома неизбежного банкротства, конечно же, не применима, если сыграть один раз то скажем так сила отрицательного мат. ожидания будет максимально слаба. Различие между отрицательным ожиданием и положительным ожиданием - это различие между жизнью и смертью вашего депозита.
Когда вы понимаете, что игра имеет отрицательное математическое ожидание, то лучшей ставкой будет отсутствие ставки. Помните, что нет стратегии управления деньгами, которая может превратить проигрышную игру в выигрышную . Допустим вы все же должны сделать ставку в игре с отрицательным ожиданием, то наилучшей стратегией будет «стратегия максимальной смелости» . Другими словами, вам надо сделать как можно меньше ставок (в противоположность игре с положительным ожиданием, где следует ставить как можно чаще, желательно вообще не выходить из игры). Итак чем больше попыток, тем больше вероятность, что при отрицательном ожидании вы проиграете. Поэтому при отрицательном ожидании меньше возможности для проигрыша, если длина игры укорачивается (то есть когда число попыток приближается к 1). Если вы играете в игру, где есть шанс 49% выиграть 1 доллар и 51% проиграть 1 доллар, то лучше всего сделать только одну попытку. Чем больше ставок вы будете делать, тем больше сила вероятности, что вы проиграете (с вероятностью проигрыша, приближающейся к 100% уверенности, когда игра приближается к бесконечности при отрицательном мат. ожидании).
Организаторы игры, казино - не расскажут трейдеру о математическом ожидании, «они» расскажут трейдеру о возможности выиграть и найдут различные причины для трейдера сделать ставку. Слушая организаторов игры и огромного количества околорыночников которые получают комиссию не рискуя своими деньгами трейдер полагает, что для успешной игры важно проанализировать график, новости, нарисовать черточки по лженауке тех анализа и тем самым найти подходящий момент для открытия позиций и этим якобы повысить надежность своей системы-стратегии (если она есть) и победить рынок. Но правда кроется в том, что не менее 97% людей, пытающихся изобрести системы-стратегии трейдинга, просто пытаются найти идеальный входной сигнал . Этот входной сигнал бессилен против изначального математически отрицательного ожидания. Фактически трейдеры почти всегда говорят о своих системах, имеющих коэффициент надежности не менее 60%. Но при этом их удивляет, почему они не зарабатывают денег, в долгосрочной перспективе трейдеры теряют деньги! Поймите, даже система с высоким процентом выигрышей при отрицательном математическом ожидании это путь в никуда, лучшее что может сделать трейдер это остановиться на полосе побед и больше не входить в рынок.
Еще такая интересная подробность, допустим вы начинаете игру с одного доллара, выигрываете при первом броске и зарабатываете доллар. При следующем броске вы ставите весь счет (2 доллара), однако на этот раз проигрываете и теряете их. Вы проиграли первоначальную сумму в 1 доллар и 1 доллара прибыли, Дело в том, что если вы используете 100% счета, то выйдете из игры, как только столкнетесь с проигрышем который является неизбежным событием. Из этого вытекает важное правило, если вы все таки начали игру, то играйте одинаковыми ставками, а прибыль забирайте себе. Не входите в рынок большими ставками при отрицательном математическом о
Постоянно краткосрочные трейдеры рассказывают типа Я успешный дэй-трейдер. Вхожу в рынок и выхожу из него по нескольку раз в день. И почти каждый день зарабатываю деньги. Но за один вчерашний день я потерял почти годовую прибыль и очень этим расстроен. Такие ошибки возникают в результате изменения ставки, попадании в ловушку с использованием плечей и эмоциональном трейдинге. Подбор входа, заработок в течении некоторого времени и слив счета в итоге, это судьба подавляющего большинства трейдеров играющих но поле отрицательного мат. ожидания.
Как трейдеры борятся с рынком? Попытки преломить отрицательное математическое ожидание – это одинаковые серии ставок по одинаковым «событиям». Это - классический пример азартной игры, где участники пытаются воспользоваться сериями. Единственный случай, который приводит их к проигрышу при таком подходе, - это когда в серии наблюдается много одинаковых выпадений подряд. Серии, чем более мелкие тем лучше - более эффективны чем слепая игра, тем не менее серии не обеспечивают положительное математическое ожидание.
Все вы наверно слышали про Мартингейл, это усовершенствованная стратегия серий. Тут игрок начинает с минимальной ставки, обычно с 1 доллара, и после каждого проигрыша удваивает ставку. Теоретически он рано или поздно должен выиграть и тогда получит обратно все проигранное плюс один доллар. После этого он опять может сделать минимальную ставку и начать сначала. Базовая концепция метода Мартингейл строится на том, что по мере уменьшения суммы в результате убытков возможность компенсации потерь либо увеличивается, либо остается прежней. Это популярный тип управления капиталом для игроков в азартные игры. Система удвоения выглядит беспроигрышной до того момента, когда вы сообразите, что длинная полоса неудач разорит любого игрока, сколь бы богат он ни был. Игрок, начавший с 1 доллара и проигравший 46 раз, должен поставить 47-ю ставку в 70 триллионов долларов , а это больше, чем стоимость всего мира (примерно 50 триллионов). Ясно, что намного раньше у него кончатся деньги или он упрется в ограничения его депозита или казино. Считаю что система удвоения бесполезна, если у вас отрицательное математическое ожидание и слишком рискованна для того что бы использовать эту систему на свои деньги.
В бесконечном продолжении игра с отрицательным математическим ожиданием является бесперспективной. Но при ограниченном числе серий вероятность выйти победителем есть. Либо нужно искать мат. положительную игру где возможная прибыль будет больше, чем возможный убыток на 1 ставку.
Большинство трейдеров гибнут от одной из двух пуль это незнание и эмоции. Профаны играют по наитию, ввязываясь в сделки, которые им - вследствие отрицательного математического ожидания - следовало бы пропустить. Если они выживают, то, подучившись, начинают разрабатывать системы поумнее. Затем, уверившись в себе, они высовывают голову из окопа - и попадают под вторую пулю. От самонадеянности они ставят слишком много на одну сделку и вылетают из игры после короткой вереницы потерь. Эмоциональность оказывает самое непосредственное влияние на финансовый результат, получаемый инвестором - в большей степени игроком от финансовых спекуляций. И чем эмоциональней поведение человека, тем значительней будет отклонение математического ожидания финансовых результатов его торговли от реальности. Для азартных игр, обладающих отрицательным математическим ожиданием финансовые результаты, полученные под влиянием эмоций, это похороны депозита.
Как правило, любые игры с денежным выигрышем, будь это лотерея, ставки на ипподроме и в букмекерских конторах, игральные автоматы и т.п., являются играми с отрицательным математическим ожиданием для игрока. Казино не просто так организуют для вас эти игры. Особенность среднестатистического трейдера состоит в том, что он не способен просчитать все мелочи которые ожидают его в будущем, потому и будущее его игры предрешено.
Хочу что бы вы поняли - участие в любой из игр с отрицательным математическим ожиданием нельзя расценивать как источник стабильного дохода.
Что делать? Каждый решает для себя сам, я нашел математически положительное ожидание на биржевых опционах, но даже там постоянные изменения правил игры брокерами и биржами приводят к сильному уменьшению итогового дохода. Размазанный ноль рулетки на спредах, поборах, брокеров и других мелочах жестоко уменьшает итоговую прибыль, но именно с использованием опционов и только можно выстроить мат+ систему в этом «казино 21 века».
Ищите математически положительное ожидание любыми способами!
Думаю так, ключ к зарабатыванию денег на финансовом рынке состоит в том, чтобы иметь систему с высоким положительным математическим ожиданием, используя эту систему крайне важно использовать изначально установленый размер позиции, работать строго по правилам и многократно и как можно дольше раз продолжать игру и зарабатывать борясь с выходками организаторов этого «казино».
Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Их свойства и примеры.
Закон распределения (функция распределения и ряд распределения или плотность веро-ятности) полностью описывают поведение случайной величины. Но в ряде задач доста-точно знать некоторые числовые характеристики исследуемой величины (например, ее среднее значение и возможное отклонение от него), чтобы ответить на поставленный во-прос. Рассмотрим основные числовые характеристики дискретных случайных величин.
Определение 7.1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называ-ется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:
М (Х ) = х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + х п р п. (7.1)
Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то , если полученный ряд сходится абсолютно.
Замечание 1. Математическое ожидание называют иногда взвешенным средним , так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов.
Замечание 2. Из определения математического ожидания следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольше-го.
Замечание 3. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучай-ная (постоянная) величина. В дальнейшем увидим, что это же справедливо и для непре-рывных случайных величин.
Пример 1. Найдем математическое ожидание случайной величины Х - числа стандартных деталей среди трех, отобранных из партии в 10 деталей, среди которых 2 бракованных. Составим ряд распределения для Х . Из условия задачи следует, что Х может принимать значения 1, 2, 3. Тогда
Пример 2. Определим математическое ожидание случайной величины Х - числа бросков монеты до первого появления герба. Эта величина может принимать бесконечное число значений (множество возможных значений есть множество натуральных чисел). Ряд ее распределения имеет вид:
| Х | … | п | … | ||
| р | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5) п | … |
+ (при вычислении дважды использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , откуда ).
Свойства математического ожидания.
1) Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:
М (С ) = С. (7.2)
Доказательство. Если рассматривать С как дискретную случайную величину, принимающую только одно значение С с вероятностью р = 1, то М (С ) = С ?1 = С .
2) Постоянный множитель можно выносит за знак математического ожидания:
М (СХ ) = С М (Х ). (7.3)
Доказательство. Если случайная величина Х задана рядом распределения
Тогда М (СХ ) = Сх 1 р 1 + Сх 2 р 2 + … + Сх п р п = С ( х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + х п р п ) = СМ (Х ).
Определение 7.2. Две случайные величины называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая. В противном случае случайные величины зависимы .
Определение 7.3. Назовем произведением независимых случайных величин Х и Y случайную величину XY , возможные значения которой равны произведениям всех возможных значений Х на все возможные значения Y , а соответствующие им вероят-ности равны произведениям вероятностей сомножителей.
3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
M (XY ) = M (X )M (Y ). (7.4)
Доказательство. Для упрощения вычислений ограничимся случаем, когда Х и Y принимают только по два возможных значения:
Следовательно, M (XY ) = x 1 y 1 ?p 1 g 1 + x 2 y 1 ?p 2 g 1 + x 1 y 2 ?p 1 g 2 + x 2 y 2 ?p 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 p 1 + x 2 p 2) + + y 2 g 2 (x 1 p 1 + x 2 p 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 p 1 + x 2 p 2) = M (X )?M (Y ).
Замечание 1. Аналогично можно доказать это свойство для большего количества возможных значений сомножителей.
Замечание 2. Свойство 3 справедливо для произведения любого числа независимых случайных величин, что доказывается методом математической индукции.
Определение 7.4. Определим сумму случайных величин Х и Y как случайную величину Х + Y , возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y ; вероятности таких сумм равны произведениям вероятностей слагаемых (для зависимых случайных величин - произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго).
4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин (зависимых или незави-симых) равно сумме математических ожиданий слагаемых:
M (X + Y ) = M (X ) + M (Y ). (7.5)
Доказательство.
Вновь рассмотрим случайные величины, заданные рядами распределения, приведен-ными при доказательстве свойства 3. Тогда возможными значениями X + Y являются х 1 + у 1 , х 1 + у 2 , х 2 + у 1 , х 2 + у 2 . Обозначим их вероятности соответственно как р 11 , р 12 , р 21 и р 22 . Найдем М (Х +Y ) = (x 1 + y 1)p 11 + (x 1 + y 2)p 12 + (x 2 + y 1)p 21 + (x 2 + y 2)p 22 =
= x 1 (p 11 + p 12) + x 2 (p 21 + p 22) + y 1 (p 11 + p 21) + y 2 (p 12 + p 22).
Докажем, что р 11 + р 22 = р 1 . Действительно, событие, состоящее в том, что X + Y примет значения х 1 + у 1 или х 1 + у 2 и вероятность которого равна р 11 + р 22 , совпадает с событием, заключающемся в том, что Х = х 1 (его вероятность - р 1). Аналогично дока-зывается, что p 21 + p 22 = р 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2 . Значит,
M (X + Y ) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X ) + M (Y ).
Замечание . Из свойства 4 следует, что сумма любого числа случайных величин равна сумме математических ожиданий слагаемых.
Пример. Найти математическое ожидание суммы числа очков, выпавших при броске пяти игральных костей.
Найдем математическое ожидание числа очков, выпавших при броске одной кости:
М (Х 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)Тому же числу равно математическое ожидание числа очков, выпавших на любой кости. Следовательно, по свойству 4 М (Х )=
Дисперсия .
Для того, чтобы иметь представление о поведении случайной величины, недостаточно знать только ее математическое ожидание. Рассмотрим две случайные величины: Х и Y , заданные рядами распределения вида
| Х | |||
| р | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| Y | ||
| p | 0,5 | 0,5 |
Найдем М (Х ) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, М (Y ) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Как видно, мате-матические ожидания обеих величин равны, но если для Х М (Х ) хорошо описывает пове-дение случайной величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением (при-чем остальные значения ненамного отличаются от 50), то значения Y существенно отсто-ят от М (Y ). Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, на-сколько значения случайной величины отклоняются от него. Для характеристики этого показателя служит дисперсия.
Определение 7.5. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:
D (X ) = M (X - M (X ))². (7.6)
Найдем дисперсию случайной величины Х (числа стандартных деталей среди отобранных) в примере 1 данной лекции. Вычислим значения квадрата отклонения каждого возможно-го значения от математического ожидания:
(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Следовательно,
Замечание 1. В определении дисперсии оценивается не само отклонение от среднего, а его квадрат. Это сделано для того, чтобы отклонения разных знаков не компенсировали друг друга.
Замечание 2. Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения.
Замечание 3. Существует более удобная для расчетов формула для вычисления дисперсии, справедливость которой доказывается в следующей теореме:
Теорема 7.1. D (X ) = M (X ²) - M ²(X ). (7.7)
Доказательство.
Используя то, что М (Х ) - постоянная величина, и свойства математического ожидания, преобразуем формулу (7.6) к виду:
D (X ) = M (X - M (X ))² = M (X ² - 2X?M (X ) + M ²(X )) = M (X ²) - 2M (X )?M (X ) + M ²(X ) =
= M (X ²) - 2M ²(X ) + M ²(X ) = M (X ²) - M ²(X ), что и требовалось доказать.
Пример. Вычислим дисперсии случайных величин Х и Y , рассмотренных в начале этого раздела. М (Х ) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
М (Y ) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Итак, дисперсия второй случайной величины в несколько тысяч раз больше дисперсии первой. Таким образом, даже не зная законов распределения этих величин, по известным значениям дисперсии мы можем утверждать, что Х мало отклоняется от своего математического ожидания, в то время как для Y это отклонение весьма существенно.
Свойства дисперсии.
1) Дисперсия постоянной величины С равна нулю:
D (C ) = 0. (7.8)
Доказательство. D (C ) = M ((C - M (C ))²) = M ((C - C )²) = M (0) = 0.
2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:
D (CX ) = C ²D (X ). (7.9)
Доказательство. D (CX ) = M ((CX - M (CX ))²) = M ((CX - CM (X ))²) = M (C ²(X - M (X ))²) =
= C ²D (X ).
3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
D (X + Y ) = D (X ) + D (Y ). (7.10)
Доказательство. D (X + Y ) = M (X ² + 2XY + Y ²) - (M (X ) + M (Y ))² = M (X ²) + 2M (X )M (Y ) +
+ M (Y ²) - M ²(X ) - 2M (X )M (Y ) - M ²(Y ) = (M (X ²) - M ²(X )) + (M (Y ²) - M ²(Y )) = D (X ) + D (Y ).
Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.
Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины.
4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
D (X - Y ) = D (X ) + D (Y ). (7.11)
Доказательство. D (X - Y ) = D (X ) + D (-Y ) = D (X ) + (-1)²D (Y ) = D (X ) + D (X ).
Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением.
Определение 7.6. Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:
Пример. В предыдущем примере средние квадратические отклонения Х и Y равны соответственно
Математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х , принимающей конечное число значений х i с вероятностями р i , называется сумма:
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется интеграл от произведения ее значений х на плотность распределения вероятностей f (x ):
(6б
)
Несобственный интеграл (6б ) предполагается абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что математическое ожидание М (Х ) не существует). Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины Х . Его размерность совпадает с размерностью случайной величины.
Свойства математического ожидания:
Дисперсия. Дисперсией случайной величины Х называется число:
Дисперсия является характеристикой рассеяния значений случайной величины Х относительно ее среднего значения М (Х ). Размерность дисперсии равна размерности случайной величины в квадрате. Исходя из определений дисперсии (8) и математического ожидания (5) для дискретной случайной величины и (6) для непрерывной случайной величины получим аналогичные выражения для дисперсии:
(9)
Здесь m = М (Х ).
Свойства дисперсии:
Среднее квадратичное отклонение:
(11)
Так как размерность среднего квадратичного отклонения та же, что и у случайной величины, оно чаще, чем дисперсия, используется как мера рассеяния.
Моменты распределения. Понятия математического ожидания и дисперсии являются частными случаями более общего понятия для числовых характеристик случайных величин – моментов распределения . Моменты распределения случайной величины вводятся как математические ожидания некоторых простейших функций от случайной величины. Так, моментом порядка k относительно точки х 0 называется математическое ожидание М (Х – х 0 )k . Моменты относительно начала координат х = 0 называются начальными моментами и обозначаются:
(12)
Начальный момент первого порядка есть центр распределения рассматриваемой случайной величины:
(13)
Моменты относительно центра распределения х = m называются центральными моментами и обозначаются:
(14)
Из (7) следует, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю:
Центральные моменты не зависят от начала отсчета значений случайной величины, так как при сдвиге на постоянное значение С
ее центр распределения сдвигается на то же значение С
, а отклонение от центра не меняется: Х
– m
= (Х
– С
) – (m
– С
).
Теперь очевидно, что дисперсия
– это центральный момент второго порядка
:
Асимметрия. Центральный момент третьего порядка:
(17)
служит для оценки асимметрии распределения . Если распределение симметрично относительно точки х = m , то центральный момент третьего порядка будет равен нулю (как и все центральные моменты нечетных порядков). Поэтому, если центральный момент третьего порядка отличен от нуля, то распределение не может быть симметричным. Величину асимметрии оценивают с помощью безразмерного коэффициента асимметрии :
(18)
Знак коэффициента асимметрии (18) указывает на правостороннюю или левостороннюю асимметрию (рис. 2).
Рис. 2. Виды асимметрии распределений.
Эксцесс. Центральный момент четвертого порядка:
(19)
служит для оценки так называемого эксцесса , определяющего степень крутости (островершинности) кривой распределения вблизи центра распределения по отношению к кривой нормального распределения. Так как для нормального распределения, то в качестве эксцесса принимается величина:
(20)
На рис. 3 приведены примеры кривых распределения с различными значениями эксцесса. Для нормального распределения Е = 0. Кривые, более островершинные, чем нормальная, имеют положительный эксцесс, более плосковершинные – отрицательный.
Рис. 3. Кривые распределения с различной степенью крутости (эксцессом).
Моменты более высоких порядков в инженерных приложениях математической статистики обычно не применяются.
Мода
дискретной
случайной величины – это ее наиболее вероятное значение. Модой
непрерывной
случайной величиныназывается ее значение, при котором плотность вероятности максимальна (рис. 2). Если кривая распределения имеет один максимум, то распределение называется унимодальным
. Если кривая распределения имеет более одного максимума, то распределение называется полимодальным
. Иногда встречаются распределения, кривые которых имеют не максимум, а минимум. Такие распределения называются антимодальными
. В общем случае мода и математическое ожидание случайной величины не совпадают. В частном случае, для модального
, т.е. имеющего моду, симметричного распределения и при условии, что существует математическое ожидание, последнее совпадает с модой и центром симметрии распределения.
Медиана случайной величины Х – это ее значение Ме , для которого имеет место равенство: т.е. равновероятно, что случайная величина Х окажется меньше или больше Ме . Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь под кривой распределения делится пополам (рис. 2). В случае симметричного модального распределения медиана, мода и математическое ожидание совпадают.
Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины.Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:
Пример.
X -4 6 10
р 0,2 0,3 0,5
Решение: Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений X на их вероятности:
М (X) = 4*0,2 + 6*0,3 +10*0,5 = 6.
Для вычисления математического ожидания удобно расчеты проводить в Excel (в особенности когда данных много), предлагаем воспользоваться готовым шаблоном ().
Пример для самостоятельного решения (можете применить калькулятор).
Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:
X 0,21 0,54 0,61
р 0,1 0,5 0,4
Математическое ожидание обладает следующими свойствами.
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С.
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х).
Свойство 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: М (Х1Х2 ...Хп)=М (X1) М {Х2)*. ..*М (Xn)
Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Хг + Х2+...+Хn) = М{Хг)+М(Х2)+…+М(Хn).
Задача 189. Найти математическое ожидание случайной вели чины Z, если известны математические ожидания X н Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;
Решение: Используя свойства математического ожидания (математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания), получим M(Z)=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M(X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.
190. Используя свойства мaтематического ожидания, доказать, что: а) М(Х - Y) = M(X)-М (Y); б) математическое ожидание отклонения X-M(Х) равно нулю.
191. Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: x1= 4 С вероятностью р1 = 0,5; xЗ = 6 С вероятностью P2 = 0,3 и x3 с вероятностью р3. Найти: x3 и р3, зная, что М(Х)=8.
192. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x1 = -1, х2 = 0, x3= 1 также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: M(Х) = 0,1, М(Х^2)=0,9. Найти вероятности p1, p2,p3 соответствующие возможным значениям xi
194. В партии из 10 деталей содержится три нестандартных. Наудачу отобраны две детали. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X - числа нестандартных деталей среди двух отобранных.
196. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X-числа таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых на двух костях по
явится по одному очку, если общее число бросаний
равно двадцати.
Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании: