Лекция №60
6.21. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.
Теорема: Для любой чётной функции её ряд Фурье состоит только из косинусов.
Для любой нечётной
функции:
.
Доказательство : Из определения четной и нечетной функции следует, что если ψ(x) – четная функция, то
.
Действительно,
так как по определению четной функции ψ(- x) = ψ(x).
Аналогично можно доказать, что если ψ(x) – нечетная функция, то
Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция ƒ(x), то произведение ƒ(x) ·coskxесть функция также нечетная, а ƒ(x) ·sinkx– четная; следовательно,
(21)
т. е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы».
Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение ƒ(x)·sinkxесть функция нечетная, а ƒ(x) ·coskx– четная, то:
(22)
т. е. ряд Фурье четной функции содержит «только косинусы».
Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при разыскании коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной, а также получать разложение в ряд Фурье функции, заданной на части промежутка .
Во многих задачах
функция
задается в интервале
.
Требуется представить данную функцию
в виде бесконечной суммы синусов и
косинусов углов, кратных числам
натурального ряда, т.е. необходимо
произвести разложение функции в ряд
Фурье. Обычно в таких случаях поступают
следующим образом.
Чтобы разложить
заданную функцию по косинусам, функцию
доопределяют в интервале
четным образом, т.е. так, что в интервале
.
Тогда для «продолженной» четной функции
справедливы все рассуждения предыдущего
параграфа, и, следовательно, коэффициенты
ряда Фурье определяются по формулам
,
В этих формулах,
как видим, фигурируют значения функции
,
лишь заданные в интервале
.
Чтобы разложить функцию
,
заданную в интервале
,
по синусам, необходимо доопределить
эту функцию в интервале
нечетным образом, т.е. так, что в интервале
.
Тогда вычисление коэффициентов ряда Фурье нужно вести по формулам
.
Теорема 1. Функцию заданную на промежутке можно бесконечным числом способов разложить в тригонометрический ряд Фурье, в частности по cos или по sin.
Замечание.
Функция
,
заданная в интервале
может быть доопределена в интервале
любым образом, а не только так, как было
сделано выше. Но при произвольном
доопределении функции разложение в ряд
Фурье будет более сложным, чем то, которое
получается при разложении по синусам
или косинусам.
Пример.
Разложить в ряд Фурье по косинусам
функцию
,
заданную в интервале
(рис.2а).
Решение.
Доопределим функцию
в интервале
четным образом (график симметричен
относительно оси
)
,
Так как
,
то
при
,
при
6.22. Ряд Фурье для функции, заданной на произвольном промежутке
До
сих пор мы рассматривали функцию,
заданную в интервале
,
считая ее вне этого интервала периодической,
с периодом
.
Рассмотрим
теперь функцию
,
период которой равен 2l
,
т.е.
на интервале
,
и покажем, что в этом случае функция
может быть разложена в ряд Фурье.
Положим
,
или
.
Тогда при измененииот –l
доl
новая переменнаяизменяется от
дои, следовательно, функциюможно рассматривать как функцию, заданную
в интервале от
дои периодическую вне этого промежутка,
с периодом
.
Итак,
.
Разложив
в ряд Фурье, получим
,
.
Переходя
к старым переменным, т.е. полагая
,
получим
,
и
.
То
есть ряд Фурье для функции
,
заданной в интервале
,
будет иметь вид:
,
,
.
Если
функция
четная, то формулы для определения
коэффициентов ряда Фурье упрощаются:
,
,
.
В
случае, если функция
нечетная:
,
,
.
Если
функция
задана в интервале
,
то ее можно продолжить в интервале
либо четным, либо нечетным образом. В
случае четного продолжения функции в
интервале
,
.
В
случае нечетного доопределения функции
в интервале
коэффициенты ряда Фурье находятся по
формулам
,
.
Пример . Разложить в ряд Фурье функцию
по синусам кратных дуг.
Решение . График заданной функции представлен на рис.3. Продолжим функцию нечетным образом (рис.4), т.е. будем вести разложение по синусам.
Все
коэффициенты
,
Введем
замену
.
Тогда при
получим
,
при
имеем
.
Таким образом
.
6.23. .Понятие о разложении в ряд Фурье непериодических функций
Функцию, заданную в основной области (-ℓ, ℓ), можно периодически продолжить за основную область с помощью функционального соотношения ƒ(x+2 ℓ) = ƒ(x).
Для непериодической
функции ƒ(x) (-∞ φ(x)= Формула (2.18)
будет верна на всей оси -∞ < x< ∞ . Можно написать подобное разложение
для функции ƒ(x)= Формула (2.19)
будет верна только на конечном промежутке
(-ℓ, ℓ), так как на этом промежутке ƒ(x)
и φ(x) совпадают. Таким образом,
непериодическую функцию можно разложить
в ряд Фурье на конечном промежутке. Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.
Ряд Фурье позволяет изучать периодические функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны - это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах. Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов): Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+..., где a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. - действительные константы, т.е. Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:
Коэффициенты a o ,a n и b n называются коэффициентами Фурье
, и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье,
соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) называется первой или основной гармоникой,
Другой способ записи ряда - использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
Где a o - константа, с 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2 , с n =(a n 2 +b n 2) 1/2 - амплитуды различных компонент, а равен a n =arctg a n /b n . Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) или c 1 sin(x+α 1) называется первой или основной гармоникой,
(a 2 cos2x+b 2 sin2x) или c 2 sin(2x+α 2) называется второй гармоникой
и так далее. Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов. Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.
Разложение непериодических функций.
Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π. Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f(x)=x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис. ниже) . Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье. Четные и нечетные функции.
Говорят, функция y=f(x) четная
, если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х 2 и у=cosx. Говорят, что функция y=f(x) нечетная,
если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат. Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.
Разложение в ряд Фурье по косинусам.
Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно, где коэффициенты ряда Фурье,
Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами). Следовательно, где коэффициенты ряда Фурье,
Ряд Фурье на полупериоде.
Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.
Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам
функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a o и a n Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам
функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b Ряд Фурье для произвольного интервала.
Разложение периодической функции с периодом L.
Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной. Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид (Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L) Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.
Для подстановки
u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от
u=0 до
u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде
. Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до
L имеет вид Функцию f
(x
),
определëнную на отрезке
и являющуюся на этом отрезке
кусочно-монотонной и ограниченной,
можно разложить в ряд Фурье двумя
способами. Для этого достаточно
представить продолжение функции на
промежуток [–l
,
0]. Если продолжение f
(x
)
на [–l
,
0] чётное (симметричное относительно
оси ординат), то ряд Фурье можно записать
по формулам (1.12–1.13), то есть по косинусам.
Если продолжить функцию f
(x
)
на [–l
,
0] нечётным образом, то разложение функции
в ряд Фурье будет представлено формулами
(1.14–1.15), то есть по синусам. При этом оба
ряда будут иметь в интервале (0, l
)
одну и ту же сумму. Пример.
Разложить
в ряд Фурье функцию y
= x
,
заданную на промежутке (см. рис.1.4). Решение
. a
).
Разложение в ряд по косинусам.
Строим
чётное продолжение функции в соседний
промежуток [–1, 0]. График функции вместе
с её чётным продолжением на [–1, 0 ] и
последующим продолжением (по периоду
T
= 2) на всю ось 0x
показан на рис.1.5. Так как l
= 1, то ряд Фурье для данной функции при
чётном разложении будет иметь вид (1.18) , В результате
получим при
На всей оси 0x
ряд сходится к функции, изображенной
на рис.1.4. 2). Разложение в
ряд по синусам.
Строим
нечётное продолжение функции в соседний
промежуток [–1, 0]. График функции вместе
с её нечётным продолжением на [–1, 0] и
последующим периодическим продолжением
на всю числовую ось 0x
показан на рис.1.6. При нечëтном
разложении ,
(1.20) . Поэтому ряд Фурье
по синусам для данной функции при
В точке
Из сравнения
выражений (1.19) и (1.21) следует, что скорость
сходимости ряда (1.19) выше, чем ряда
(1.21): она определяется в первом случае
множителем
В общем случае
можно показать, что если функция
f
(x
)
не обращается в нуль хотя бы на одном
из концов промежутка ,
то предпочтительнее еë разложение в
ряд по косинусам. Это обусловлено тем,
что при чётном продолжении в соседний
промежуток
Функции
.
(1.22) При этом
предполагается, что и
Рассмотрим
разложение функции f
(x
),
которая определена на отрезке [a
,
b
],
в ряд по системе ортогональных функций
где коэффициенты
(i
= 0,1,2...) являются постоянными числами. Для определения
коэффициентов разложения
умножим равенство (1.23) на
В силу ортогональности
функций
(1.24) Ряд (1.23) по системе
ортогональных функций, коэффициенты
которого определяются по формуле (1.24),
называется обобщённым
рядом Фурье
для функции f
(x
). Для упрощения
формул для коэффициентов применяют,
так называемое, нормирование
функций
.
Система функций φ
0 (x
),
φ
1 (x
),…,
φ
n
(x
),…
называется нормированной
на промежутке [a
,
b
],
если .
(1.25) Справедлива
теорема: всякую
ортогональную систему функций
можно нормировать.
Это означает, что можно подобрать
постоянные числа μ
0 ,
μ
1 ,…,
μ
n
,…
так, чтобы система функций μ
0 φ
0 (x
),
μ
1 φ
1 (x
),…,
μ
n
φ
n
(x
),…
была не только ортогональной, но и
нормированной. Действительно, из условия получим, что . называется нормой
функции
Если система
функций нормирована, то, очевидно,
Для ортонормированной
системы функций коэффициенты обобщённого
ряда Фурье равны .
(1.26) Пример.
Разложить
функцию y
= 2 – 3x
на отрезке
предварительно
проверив их на квадратичную интегрируемость
и ортогональность. Замечание.
Говорят, что функция
Решение.
Сначала решаем задачу на собственные
значения. Общее решение уравнения этой
задачи
будет а
его производная запишется в виде Поэтому
из граничных условий следует: Для
существования нетривиального решения
необходимо принять , откуда
следует
, а
соответствующие им собственные функции
с точностью до множителя будут .
(1.27) Проверим
полученные собственные функции на
ортогональность на отрезке : так
как
при целых Следовательно,
найденные собственные функции ортогональны
на отрезке . Разложим
заданную функцию в обобщëнный ряд Фурье
по системе ортогональных собственных
функций (1.27): ,
(1.28) коэффициенты
которого вычисляются по (1.24): .
(1.29) Подставляя
(129) в (1.28), окончательно получим Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций разложение функции заданной на отрезке в ряд по синусам или по косинусам Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Комплексная запись ряда Фурье Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций Ряд Фурье по ортогональной системе Минимальное свойство коэффициентов Фурье Неравенство Бесселя Равенство Парсеваля
Замкнутые системы Полнота и замкнутость систем Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
Функция f(x), определенная на отрезке \-1, где I > 0, называется четной, если
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Функция f(x), определенная на отрезке J), где I > 0, называется нечетной, если
График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Пример.
а) Функция
является четной на отрезке |-jt, jt), так как
для всех х е
б) Функция
является нечетной, так как
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций разложение функции заданной на отрезке в ряд по синусам или по косинусам Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Комплексная запись ряда Фурье Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций Ряд Фурье по ортогональной системе Минимальное свойство коэффициентов Фурье Неравенство Бесселя Равенство Парсеваля
Замкнутые системы Полнота и замкнутость систем
в) Функция
f(x)=x2-x,
где не принадлежит ни к четным, ни к нечетным функциям, так как
Пусть функция f(x), удовлетворяющая условиям теоремы 1, является четной на отрезке х|. Тогда
для всех
т.е. /(ж) cos nx является четной функцией, a f(x)sinnx - нечетной. Поэтому
коэффициенты Фурье четной функции /(ж) будут равны
Следовательно, ряд Фурье четной функции имеет вид
00
Если f(x) - нечетная функция на отрезке [-тг, ir|, то произведение f(x)cosnx будет нечетной функцией, а произведение f(x) sin пх - четной функцией. Поэтому будем иметь
Таким образом, ряд Фурье нечетной функции имеет вид
Пример 1. Разложить в ряд Фурье на отрезке -х ^ х ^ п функцию
4 Так как эта функция четная и удовлетворяет условиям теоремы 1, то ее ряд Фурье имеет вид
Находим коэффициенты Фурье. Имеем
Применяя дважды интегрирование по частям, получим, что
Значит, ряд Фурье данной функции выглядит так: или, в развернутом виде,
Это равенство справедливо для любого х € , так как в точках х = ±ir сумма ряда совпадает со значениями функции f(x) = х2, поскольку
Графики функции f(x) = х и суммы полученного ряда даны на рис.
Замечание. Этот ряд Фурье позволяет найти сумму одного из сходящихся числовых рядов, а именно, при х = 0 получаем, что
Пример 2. Разложить в ряд Фурье на интервале функцию /(х) = х.
Функция /(х) удовлетворяет условиям теоремы 1, следовательно ее можно разложить в ряд Фурье, который в силу нечетности этой функции будет иметь вид
Интегрируя по частям, находим коэффициенты Фурье
Следовательно, ряд Фурье данной функции имеет вид
Это равенство имеет место для всех х В точках х - ±тг сумма ряда Фурье не совпадает со значениями функции /(х) = х, так как она равна
Вне отрезка [-*, я-] сумма ряда является периодическим продолжением функции /(х) = х; ее график изображен на рис. 6.
§ 6. Разложение функции, заданной на отрезке, в ряд по синусам или по косинусам
Пусть ограниченная кусочно-монотонная функция / задана на отрезке . Значения этой функции на отрезке 0| можно доопределить различным образом. Например, можно определить функцию / на отрезке тс] так, чтобы /. В этом случае говорят, что) «продолжена на отрезок 0] четным образом»; ее ряд Фурье будет содержать только косинусы. Если же функцию /(ж) определить на отрезке [-л-, тс] так, чтобы /(, то получится нечетная функция, и тогда говорят, что / «продолжена на отрезок [-*, 0] нечетным образом»; в этом случае се ряд Фурье будет содержать только синусы.
Итак, каждую ограниченную кусочно-монотонную функцию /(ж), определенную на отрезке , можно разложить в ряд Фурье и по синусам, и по косинусам.
Пример 1. Функцию
разложить в ряд Фурье: а) по косинусам; б) по синусам.
М Данная функция при ее четном и нечетном продолжениях в отрезок |-х,0) будет ограниченной и кусочно-монотонной.
а) Продолжим /(z) в отрезок 0)
а) Продолжим j\x) в отрезок (-тг,0|
четным образом (рис. 7), тогда ее ряд Фурье i будет иметь вид
П=1
где коэффициенты Фурье равны соответственно
для
Следовательно,
б) Продолжим /(z) в отрезок [-x,0] нечетным образом (рис. 8). Тогда ее ряд Фурье
§7. Ряд Фурье для функции с произвольным периодом
Пусть функция fix) является периодической с периодом 21,1 ^ 0. Для разложения ее в ряд Фурье на отрезке где I > 0, сделаем замену переменной, положив
х = jt. Тогда функция F(t) = / ^tj будет периодической функцией аргумента t с
периодом и ее можно разложить на отрезке в ряд Фурье
Возвращаясь к переменной ж, т. е. положив, получим
Все теоремы, справедливые для рядов Фурье периодических функций с периодом 2тг, остаются в силе и для периодических функций с произвольным периодом 21. В частности, сохраняет свою силу и достаточный признак разложимости функции в ряд Фурье.
Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 21, заданную на отрезке [-/,/] формулой
(рис.9).
Так как данная функция четная, то ее ряд Фурье имеет вид
Подставляя в ряд Фурье найденные значения коэффициентов Фурье, получим
Отметим одно важное свойство периодических функций.
Теорема 5. Если функция имеет период Т и интегрируема, то для любого числа а выполняется равенство
m. е. интеграл no отрезку, длина которого равна периоду Т, имеет одно и то же значение независимо от положения этого отрезка на числовой оси.
В самом деле,
Делаем замену переменной во втором интеграле, полагая. Это дает
и следовательно,
Геометрически это свойство означает, что в случае площади заштрихованных на рис. 10 областей равны между собой.
В частности, для функции f(x) с периодом получим при
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций разложение функции заданной на отрезке в ряд по синусам или по косинусам Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Комплексная запись ряда Фурье Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций Ряд Фурье по ортогональной системе Минимальное свойство коэффициентов Фурье Неравенство Бесселя Равенство Парсеваля
Замкнутые системы Полнота и замкнутость систем
Пример 2. Функция
x является периодической с периодом
В силу нечетности данной функции без вычисления интегралов можно утверждать, что при любом
Доказанное свойство, в частности, показывает, что коэффициенты Фурье периодической функции f(x) с периодом 21 можно вычислять по формулам
где а - произвольное действительное число (отметим, что функции cos - и sin имеют период 2/).
Пример 3. Разложить в ряд Фурье заданную на интервале функцию
с периодом 2х (рис. 11).
4 Найдем коэффициенты Фурье данной функции. Положив в формулах найдем, что
для Следовательно, ряд Фурье будет выглядеть так:
В точке х = jt (точка разрыва первого рода) имеем
§8. Комплексная запись ряда Фурье
В этом параграфе используются некоторые элементы комплексного анализа (см. главу XXX, где все, производимые здесь действия с комплексными выражениями, строго обоснованы).
Пусть функция f(x) удовлетворяет достаточным условиям разложимости в ряд Фурье. Тогда на отрезке ж] ее можно представить рядом вида
Используя формулы Эйлера
Подставляя эти выражения в ряд (1) вместо cos пх и sin пху будем иметь
Введем следующие обозначения
Тогда ряд (2) примет вид
Таким образом, ряд Фурье (1) представлен в комплексной форме (3).
Найдем выражения коэффициентов через интегралы. Имеем
Аналогично находим
Окончательно формулы для с„, с_п и со можно записать так:
. .
Коэффициенты с„ называются комплексными коэффициентами Фурье функции
Для периодической функции с периодом) комплексная форма ряда Фурье примет вид
где коэффициенты Сп вычисляются по формулам
Сходимость рядов (3) и (4) понимается так: ряды (3) и (4) называются сходящимися для данного значения ж, если существуют пределы
Пример. Разложить в комплексный ряд Фурье функцию периода
Данная функция удовлетворяет достаточным условиям разложимости в ряд Фурье. Пусть
Найдем комплексные коэффициенты Фурье этой функции. Имеем
для нечетных для четных n,
или,короче.
Подставляя значения), окончательно получим
Заметим, что этот ряд можно записать и так:
Ряды Фурье
по общим ортогональным системам функций
9.1. Ортогональные системы функций
Обозначим через множество всех (действительных) функций, определенных
и интегрируемых на отрезке [а, 6] с квадратом, т. е. таких, для которых существует интеграл
В частности, все функции f(x), непрерывные на отрезке [а, 6], принадлежат 6], и значения их интегралов Лебега совпадают со значениями интегралов Римана.
Определение. Система функций, где, называется ортогональной на отрезке [а, Ь\, если
Условие (1) предполагает, в частности, что ни одна из функций не равна тождественно нулю.
Интеграл понимается в смысле Лебега.
и назовем величину нормой функции
Если в ортогональной системе для всякого п имеем, то система
функций называется ортонормированной.
Если система {у>„(ж)} ортогональна, то система
Пример 1. Тригонометрическая система
ортогональна на отрезке. Система функций
является ортонормированной системой функций на, Пример 2. Косинус-система
и синус-система
ортонормирована.
Введем обозначение
являются ортогональными на отрезке (0, f|, но не ортонормированными (при I Ф- 2). так как их нормы
COS
Пример 3. Многочлены, определяемые равенством, называются многочленами (полиномами) Лежандра. При п = 0 имеем
Можно доказать, что функции
образуют ортонормированную систему функций на отрезке.
Покажем, например, ортогональность полиномов Лежандра. Пусть т > п. В этом случае, интегрируя п раз по частям, находим
поскольку для функции t/m = (z2 - I)m все производные до порядка m - I включительно обращаются в нуль на концах отрезка [-1,1).
Определение. Система функций {pn(x)} называется ортогональной на интервале (а, Ь) свесом р(х), если:
1) для всех п = 1,2,... существуют интегралы
Здесь предполагается, что весовая функция р(х) определена и положительна всюду на интервале (а, Ь) за возможным исключением конечного числа точек, где р(х) может обращаться в нуль.
Выполнив дифференцирование в формуле (3), находим. Можно показать, что многочлены Чебышева-Эрмита ортогональны на интервале
Пример 4. Система функций Бесселя {jL(pix)^ ортогональна на интервале нули функции Бесселя
Пример 5. Рассмотрим многочлены Чебышева-Эрмита, которые могут быть определены при помощи равенства. Ряд Фурье по ортогональной системе
Пусть ортогональная система функций в интервале (a, 6) и пусть ряд
(cj = const) сходится на этом интервале к функции f(x):
Умножая обе части последнего равенства на - фиксировано) и интегрируя по ж от а до 6, в силу ортогональности системы получим, что
Эта операция имеет, вообще говоря, чисто формальный характер. Тем не менее, в некоторых случаях, например, когда ряд (4) сходится равномерно, все функции непрерывны и интервал (a, 6) конечен, эта операция законна. Но для нас сейчас важна именно формальная трактовка. Итак, пусть задана функция. Образуем числа с* по формуле (5) и напишем
Ряд, стоящий в правой части, называется рядом Фурье функции f(x) относительно системы {^п(я)}- Числа Сп называются коэффициентами Фурье функции f(x) по этой системе. Знак ~ в формуле (6) означает лишь, что числа Сп связаны с функцией /(ж) формулой (5) (при этом не предполагается, что ряд справа вообще сходится, а тем более сходится к функции f(x)). Поэтому естественно возникает вопрос: каковы свойства этого ряда? В каком смысле он «представляет» функцию f(x)?
9.3. Сходимость в среднем
Определение. Последовательность, сходится к элементу ] в среднем, если
норма в пространстве
Теорема 6. Если последовательность } сходится равномерно, то она сходится и в среднем.
М Пусть последовательность {)} сходится равномерно на отрезке [а, Ь] к функции /(х). Это означает, что для всякого при всех достаточно больших п имеем
Следовательно,
откуда вытекает наше утверждение.
Обратное утверждение неверно: последовательность {} может сходиться в среднем к /(х), но не быть равномерно сходящейся. Пример. Рассмотрим последовательность
пх
Легко видеть, что
Но эта сходимость не равномерна: существует е, например, такое, что сколь бы большим ни было л, на отрезке ,
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций разложение функции заданной на отрезке в ряд по синусам или по косинусам Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Комплексная запись ряда Фурье Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций Ряд Фурье по ортогональной системе Минимальное свойство коэффициентов Фурье Неравенство Бесселя Равенство Парсеваля
Замкнутые системы Полнота и замкнутость систем
и пусть Обозначим через с* коэффициенты Фурье функции /(х) по ортонормированной системе
ь
Рассмотрим линейную комбинацию
где n ^ 1 - фиксированное целое число, и найдем значения постоянных, при которых интеграл
принимает минимальное значение. Запишем его подробнее
Интефируя почленно, в силу ортонормированности системы получим
Первые два слагаемых в правой части равенства (7) не зависят, а третье слагаемое неотрицательно. Поэтому интеграл (*) принимает минимальное значение при ак = ск
Интеграл
называют средним квадратичным приближением функции /(х) линейной комбинацией Тп(х). Таким образом, среднее квадратичное приближение функции/\ принимает минимальное значение, когда. когда Тп(х) есть 71-я частичная сумма ряда Фурье функции /(х) по системе {. Полагая ак = ск, из (7) получаем
Равенство (9) называется тождеством Бесселя. Так как его левая часть неотрицательна, то из него следует неравенство Бесселя
Поскольку я здесь произвольно, то неравенство Бесселя можно представить в усиленной форме
т. е. для всякой функции / ряд из квадратов коэффициентов Фурье этой функции по ортонормированной системе } сходится. Так как система
ортонормирована на отрезке [-х, тг], то неравенство (10) в переводе на привычную запись тригонометрического ряда Фурье дает соотношение
do
справедливое для любой функции /(х) с интегрируемым квадратом.
Если f2(x) интегрируема, то в силу необходимого условия сходимости ряда в левой части неравенства (11) получаем, что. Равенство Парсе валя
Для некоторых систем {^„(х)} знак неравенства в формуле (10) может быть заменен (для всех функций /(х) 6 Ч) знаком равенства. Получаемое равенство
называется равенством Парсеваля-Стеклова (условием полноты).
Тождество Бесселя (9) позволяет записать условие (12) в равносильной форме
Тем самым выполнение условия полноты означает, что частичные суммы Sn(x) ряда Фурье функции /(х) сходятся к функции /(х) в среднем, т.е. по норме пространства 6].
Определение. Ортонормированная система { называется полной в Ь2[ау Ь], если всякую функцию
можно с любой точностью приблизить в среднем линейной комбинацией вида
с достаточно большим числом слагаемых, т. е. если для всякой функции/(х) € Ь2[а, Ь\ и для любого е > 0 найдется натуральное число nq и числа а\, а2у..., такие, что
No
Из приведенных рассуждений следует
Теорема 7. Если ортонормированием система } полна в пространстве ряд Фурье всякой функции / по этой системе сходится к f(x) в среднем, т. е. по норме
Можно показать, что тригонометрическая система
полна в пространстве, Отсюда следует утверждение.
Теорема 8. Если функция /о ее тригонометрический ряд Фурье сходится к ней в среднем.
9.5. Замкнутые системы. Полнота и замкнутость систем
Определение. Ортонормированная система функций \, называется замкнутой, если в пространстве Li\a, Ь) не существует отличной от нуля функции, ортогональной ко всем функциям
В пространстве L2\a, Ь\ понятия полноты и замкнутости ортонормированных систем совпадают.
Упражнения
1. Разложите в ряд Фурье в интервале (-я-, ж) функцию
2. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, тг) функцию
3. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, тг) функцию
4. Разложите в ряд Фурье в интервале (-jt, тг) функцию
5. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, тг) функцию f(x) = ж + х.
6. Разложите в ряд Фурье в интервале (-jt, тг) функцию
п
7. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, ж) функцию /(х) = sin2 х.
8. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, jt) функцию f(x) = у 9. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тт, -к) функцию /(х) = | sin х|.
10. Разложите в ряд Фурье в интервале (-я-, тг) функцию /(х) = §.
11. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, тг) функцию f(x) = sin §.
12. Разложите в ряд Фурье функцию f(x) = п -2х, заданную в интервале (0, х), продолжив ее в интервал (-х, 0): а) четным образом; б) нечетным образом.
13. Разложите в ряд Фурье по синусам функцию /(х) = х2, заданную в интервале (0, х).
14. Разложите в ряд Фурье функцию /(х) = 3-х, заданную в интервале (-2,2).
15. Разложите в ряд Фурье функцию f(x) = |х|, заданную в интервале (-1,1).
16. Разложите в ряд Фурье по синусам функцию f(x) = 2х, заданную в интервале (0,1).
Которые уже порядком поднадоели. И я чувствую, что настал момент, когда из стратегических запасов теории пора извлечь новые консервы. Нельзя ли разложить функцию в ряд как-нибудь по-другому? Например, выразить отрезок прямой линии через синусы и косинусы? Кажется невероятным, но такие, казалось бы, далекие друг от друга функции поддаются На данном уроке мы познакомимся с тригонометрическим рядом Фурье, коснёмся вопроса его сходимости и суммы и, конечно же, разберём многочисленные примеры на разложение функций в ряд Фурье. Искренне хотелось назвать статью «Ряды Фурье для чайников», но это было бы лукавством, поскольку для решения задач потребуются знания других разделов математического анализа и некоторый практический опыт. Поэтому преамбула будет напоминать подготовку космонавтов =) Во-первых, к изучению материалов страницы следует подойти в отличной форме. Выспавшимися, отдохнувшими и трезвыми. Без сильных эмоций по поводу сломанной лапы хомячка и навязчивых мыслей о тяготах жизни аквариумных рыбок. Ряд Фурье не сложен с точки зрения понимания, однако практические задания требуют просто повышенной концентрации внимания – в идеале следует полностью отрешиться от внешних раздражителей. Ситуация усугубляется тем, что не существует лёгкого способа проверки решения и ответа. Таким образом, если ваше самочувствие ниже среднего, то лучше заняться чем-нибудь попроще. Правда. Во-вторых, перед полётом в космос необходимо изучить приборную панель космического корабля. Начнём со значений функций, которые должны щёлкаться на автомате: При любом натуральном значении : 1) . И в самом деле, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»: 2) . А вот это знали не все. Косинус «пи эн» представляет собой эквивалент «мигалки»: Пожалуй, достаточно. И, в-третьих, уважаемый отряд космонавтов, необходимо уметь… интегрировать
. Пример 1
Вычислить определённые интегралы где принимает натуральные значения. Решение
: интегрирование проводится по переменной «икс» и на данном этапе дискретная переменная «эн» считается константой. Во всех интегралах подводим функцию под знак дифференциала
: Короткая версия решения, к которой хорошо бы пристреляться, выглядит так: Привыкаем: Четыре оставшихся пункта самостоятельно. Постарайтесь добросовестно отнестись к заданию и оформить интегралы коротким способом. Образцы решений в конце урока. После КАЧЕСТВЕННОГО выполнения упражнений надеваем скафандры Рассмотрим некоторую функцию , которая определена
по крайне мере на промежутке (а, возможно, и на бОльшем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке , то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье
: При этом число называют периодом разложения
, а число – полупериодом разложения
. Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов: Действительно, распишем его подробно: Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам: Прекрасно понимаю, что начинающим изучать тему пока малопонятны новые термины: период разложения
, полупериод
, коэффициенты Фурье
и др. Без паники, это не сравнимо с волнением перед выходом в открытый космос. Во всём разберёмся в ближайшем примере, перед выполнением которого логично задаться насущными практическими вопросами: Разложить функцию в ряд Фурье. Дополнительно нередко требуется изобразить график функции , график суммы ряда , частичной суммы и в случае изощрённых профессорский фантазий – сделать что-нибудь ещё. По существу, нужно найти коэффициенты Фурье
, то есть, составить и вычислить три определённых интеграла
. Пожалуйста, перепишите общий вид ряда Фурье и три рабочие формулы к себе в тетрадь. Я очень рад, что у некоторых посетителей сайта прямо на моих глазах осуществляется детская мечта стать космонавтом =) Пример 2
Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке . Построить график , график суммы ряда и частичной суммы . Решение
: первая часть задания состоит в разложении функции в ряд Фурье. Начало стандартное, обязательно записываем, что: В данной задаче период разложения , полупериод . Разложим функцию в ряд Фурье на промежутке : Используя соответствующие формулы, найдём коэффициенты Фурье
. Теперь нужно составить и вычислить три определённых интеграла
. Для удобства я буду нумеровать пункты: 1) Первый интеграл самый простой, однако и он уже требует глаз да глаз: 2) Используем вторую формулу: Данный интеграл хорошо знаком и берётся он по частям
: При нахождении использован метод подведения функции под знак дифференциала
. В рассматриваемом задании сподручнее сразу использовать формулу интегрирования по частям в определённом интеграле
: Пара технических замечаний. Во-первых, после применения формулы всё выражение нужно заключить в большие скобки
, так как перед исходным интегралом находится константа . Не теряем её
! Скобки можно раскрыть на любом дальнейшем шаге, я это сделал в самую последнюю очередь. В первом «куске» проявляем крайнюю аккуратность в подстановке, как видите, константа не при делах, и пределы интегрирования подставляются в произведение . Данное действие выделено квадратными скобками. Ну а интеграл второго «куска» формулы вам хорошо знаком из тренировочного задания;-) И самое главное – предельная концентрация внимания!
3) Ищем третий коэффициент Фурье: Получен родственник предыдущего интеграла, который тоже интегрируется по частям
: Этот экземпляр чуть сложнее, закомментирую дальнейшие действия пошагово: (1) Выражение полностью заключаем в большие скобки
. Не хотел показаться занудой, слишком уж часто теряют константу . (2) В данном случае я немедленно раскрыл эти большие скобки. Особое внимание
уделяем первому «куску»: константа курит в сторонке и не участвует в подстановке пределов интегрирования ( и ) в произведение . Ввиду загромождённости записи это действие снова целесообразно выделить квадратными скобками. Со вторым «куском» всё проще: здесь дробь появилась после раскрытия больших скобок, а константа – в результате интегрирования знакомого интеграла;-) (3) В квадратных скобках проводим преобразования , а в правом интеграле – подстановку пределов интегрирования. (4) Выносим «мигалку» из квадратных скобок: , после чего раскрываем внутренние скобки: . (5) Сокращаем 1 и –1 в скобках, проводим окончательные упрощения. Наконец-то найдены все три коэффициента Фурье: Подставим их в формулу : При этом не забываем разделить пополам. На последнем шаге константа («минус два»), не зависящая от «эн», вынесена за пределы суммы. Таким образом, мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке : Изучим вопрос сходимости ряда Фурье. Я объясню теорию, в частности теорему Дирихле
, буквально «на пальцах», поэтому если вам необходимы строгие формулировки, пожалуйста, обратитесь к учебнику по математическому анализу (например, 2-й том Бохана; или 3-й том Фихтенгольца, но в нём труднее)
. Во второй части задачи требуется изобразить график , график суммы ряда и график частичной суммы . График функции представляет собой обычную прямую на плоскости
, которая проведена чёрным пунктиром: Разбираемся с суммой ряда . Как вы знаете, функциональные ряды сходятся к функциям. В нашем случае построенный ряд Фурье при любом значении «икс»
сойдётся к функции , которая изображена красным цветом. Данная функция терпит разрывы 1-го рода
в точках , но определена и в них (красные точки на чертеже) Таким образом: . Легко видеть, что заметно отличается от исходной функции , именно поэтому в записи ставится значок «тильда», а не знак равенства. Изучим алгоритм, по которому удобно строить сумму ряда. На центральном интервале ряд Фурье сходится к самой функции (центральный красный отрезок совпадает с чёрным пунктиром линейной функции). Теперь немного порассуждаем о природе рассматриваемого тригонометрического разложения. В ряд Фурье входят только периодические функции (константа, синусы и косинусы), поэтому сумма ряда тоже представляет собой периодическую функцию
. Что это значит в нашем конкретном примере? А это обозначает то, что сумма ряда – непременно периодична
и красный отрезок интервала обязан бесконечно повторяться слева и справа. Думаю, сейчас окончательно прояснился смысл фразы «период разложения ». Упрощённо говоря, через каждые ситуация вновь и вновь повторяется. На практике обычно достаточно изобразить три периода разложения, как это сделано на чертеже. Ну и ещё «обрубки» соседних периодов – чтобы было понятно, что график продолжается. Особый интерес представляют точки разрыва 1-го рода
. В таких точках ряд Фурье сходится к изолированным значениям, которые расположены ровнёхонько посередине «скачка» разрыва (красные точки на чертеже). Как узнать ординату этих точек? Сначала найдём ординату «верхнего этажа»: для этого вычислим значение функции в крайней правой точке центрального периода разложения: . Чтобы вычислить ординату «нижнего этажа» проще всего взять крайнее левое значение этого же периода: . Ордината среднего значения – это среднее арифметическое суммы «верха и низа»: . Приятным является тот факт, что при построении чертежа вы сразу увидите, правильно или неправильно вычислена середина. Построим частичную сумму ряда и заодно повторим смысл термина «сходимость». Мотив известен ещё из урока о сумме числового ряда
. Распишем наше богатство подробно: Чтобы составить частичную сумму необходимо записать нулевой + ещё два члена ряда. То есть, На чертеже график функции изображен зелёным цветом, и, как видите, он достаточно плотно «обвивает» полную сумму . Если рассмотреть частичную сумму из пяти членов ряда , то график этой функции будет ещё точнее приближать красные линии, если сто членов – то «зелёный змий» фактически полностью сольётся с красными отрезками и т.д. Таким образом, ряд Фурье сходится к своей сумме . Интересно отметить, что любая частичная сумма – это непрерывная функция
, однако полная сумма ряда всё же разрывна. На практике не так уж редко требуется построить и график частичной суммы. Как это сделать? В нашем случае необходимо рассмотреть функцию на отрезке , вычислить её значения на концах отрезка и в промежуточных точках (чем больше точек рассмотрите – тем точнее будет график). Затем следует отметить данные точки на чертеже и аккуратно изобразить график на периоде , после чего «растиражировать» его на соседние промежутки. А как иначе? Ведь приближение – это тоже периодическая функция… …чем-то мне её график напоминает ровный ритм сердца на дисплее медицинского прибора. Выполнять построение, конечно, не сильно удобно, так как и приходится проявлять сверхаккуратность, выдерживая точность не меньше, чем до половины миллиметра. Впрочем, читателей, которые не в ладах с черчением, обрадую – в «реальной» задаче выполнять чертёж нужно далеко не всегда, где-то в 50% случаев требуется разложить функцию в ряд Фурье и всё. После выполнения чертежа завершаем задание: Ответ
: Во многих задачах функция терпит разрыв 1-го рода
прямо на периоде разложения: Пример 3
Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке . Начертить график функции и полной суммы ряда. Предложенная функция задана кусочным образом (причём, заметьте, только на отрезке )
и терпит разрыв 1-го рода
в точке . Можно ли вычислить коэффициенты Фурье? Без проблем. И левая и правая части функции интегрируемы на своих промежутках, поэтому интегралы в каждой из трёх формул следует представить в виде суммы двух интегралов. Посмотрим, например, как это делается у нулевого коэффициента: Аналогично расписываются два других коэффициента Фурье. Как изобразить сумму ряда? На левом интервале чертим отрезок прямой , а на интервале – отрезок прямой (жирно-жирно выделяем участок оси ). То есть, на промежутке разложения сумма ряда совпадает с функцией везде, кроме трёх «нехороших» точек. В точке разрыва функции ряд Фурье сойдётся к изолированному значению, которое располагается ровно посередине «скачка» разрыва. Его нетрудно увидеть и устно: левосторонний предел: , правосторонний предел: и, очевидно, что ордината средней точки равна 0,5. В силу периодичности суммы , картинку необходимо «размножить» на соседние периоды, в частности изобразить то же самое на интервалах и . При этом, в точках ряд Фурье сойдётся к срединным значениям. По сути-то ничего нового здесь нет. Постарайтесь самостоятельно справиться с данной задачей. Примерный образец чистового оформления и чертёж в конце урока. Для произвольного периода разложения , где «эль» – любое положительное число, формулы ряда Фурье и коэффициентов Фурье отличаются немного усложнённым аргументом синуса и косинуса: Если , то получаются формулы промежутка , с которых мы начинали. Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но возрастает техническая сложность вычислений: Пример 4
Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы. Решение
: фактически аналог Примера №3 с разрывом 1-го рода
в точке . В данной задаче период разложения , полупериод . Функция определена только на полуинтервале , но это не меняет дела – важно, что оба куска функции интегрируемы. Разложим функцию в ряд Фурье: Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов: 1) Первый интеграл распишу максимально подробно: Второй интеграл берём по частям
: На что следует обратить пристальное внимание, после того, как мы звёздочкой открываем продолжение решения? Во-первых, не теряем первый интеграл , где сразу же выполняем подведение под знак дифференциала
. Во-вторых, не забываем злополучную константу перед большими скобками и не путаемся в знаках
при использовании формулы . Большие скобки, всё-таки удобнее раскрывать сразу же на следующем шаге. Остальное дело техники, затруднения может вызвать только недостаточный опыт решенияинтегралов. Да, не зря именитые коллеги французского математика Фурье возмущались – как это тот посмел раскладывать функции в тригонометрические ряды?! =) К слову, наверное, всем интересен практический смысл рассматриваемого задания. Сам Фурье работал над математической моделью теплопроводности, а впоследствии ряд, названный его именем стал применяться для исследования многих периодических процессов, коих в окружающем мире видимо-невидимо. Сейчас, кстати, поймал себя на мысли, что не случайно сравнил график второго примера с периодическим ритмом сердца. Желающие могут ознакомиться с практическим применением преобразования Фурье
в сторонних источниках. …Хотя лучше не надо – будет вспоминаться, как Первая Любовь =) 3) Учитывая неоднократно упоминавшиеся слабые звенья, разбираемся с третьим коэффициентом: Интегрируем по частям: Подставим найдённые коэффициенты Фурье в формулу , не забывая поделить нулевой коэффициент пополам: Построим график суммы ряда. Кратко повторим порядок действий: на интервале строим прямую , а на интервале – прямую . При нулевом значении «икс» ставим точку посередине «скачка» разрыва и «тиражируем» график на соседние периоды: Готово. Напоминаю, что сама функция по условию определена только на полуинтервале и, очевидно, совпадает с суммой ряда на интервалах Ответ
: Иногда кусочно-заданная функция бывает и непрерывна на периоде разложения. Простейший образец: . Решение (см. 2-й том Бохана)
такое же, как и двух предыдущих примерах: несмотря на непрерывность функции
в точке , каждый коэффициент Фурье выражается суммой двух интегралов. На промежутке разложения точек разрыва 1-го рода
и/или точек «стыка» графика может быть и больше (две, три и вообще любое конечное
количество). Если функция интегрируема на каждой части, то она также разложима в ряд Фурье. Но из практического опыта такую жесть что-то не припоминаю. Тем не менее, встречаются более трудные задания, чем только что рассмотренное, и в конце статьи для всех желающих есть ссылки на ряды Фурье повышенной сложности. А пока расслабимся, откинувшись в креслах и созерцая бескрайние звёздные просторы: Пример 5
Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке и построить график суммы ряда. В данной задаче функция непрерывна
на полуинтервале разложения, что упрощает решение. Всё очень похоже на Пример №2. С космического корабля никуда не деться – придётся решать =) Примерный образец оформления в конце урока, график прилагается. С чётными и нечётными функциями процесс решения задачи заметно упрощается. И вот почему. Вернёмся к разложению функции в ряд Фурье на периоде «два пи» и произвольном периоде «два эль» . Предположим, что наша функция чётна. Общий же член ряда, как вы видите, содержит чётные косинусы и нечётные синусы. А если мы раскладываем ЧЁТНУЮ функцию, то зачем нам нечётные синусы?! Давайте обнулим ненужный коэффициент: . Таким образом, чётная функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам
: Поскольку интегралы от чётных функций
по симметричному относительно нуля отрезку интегрирования можно удваивать, то упрощаются и остальные коэффициенты Фурье. Для промежутка : Для произвольного промежутка: К хрестоматийным примерам, которые есть практически в любом учебнике по матанализу, относятся разложения чётных функций . Кроме того, они неоднократно встречались и в моей личной практике: Пример 6
Дана функция . Требуется: 1) разложить функцию в ряд Фурье с периодом , где – произвольное положительное число; 2) записать разложение на промежутке , построить функцию и график полной суммы ряда . Решение
: в первом пункте предлагается решить задачу в общем виде, и это очень удобно! Появится надобность – просто подставьте своё значение. 1) В данной задаче период разложения , полупериод . В ходе дальнейших действий, в частности при интегрировании, «эль» считается константой Функция является чётной, а значит, раскладывается в ряд Фурье только по косинусам: . Коэффициенты Фурье ищем по формулам . Обратите внимание на их безусловные преимущества. Во-первых, интегрирование проводится по положительному отрезку разложения, а значит, мы благополучно избавляемся от модуля , рассматривая из двух кусков только «икс». И, во-вторых, заметно упрощается интегрирование. Два: Интегрируем по частям: Таким образом: Ответ
: 2) Запишем разложение на промежутке , для этого в общую формулу подставляем нужное значение полупериода :
(2.18)
(2.19)
будет иметь вид
сумма ряда будет равна нулю, хотя исходная
функция равна 1. Это обусловлено тем,
что при таком периодическом продолжении
точкаx
= 1 становится точкой разрыва.
,
а во втором случае множителем 1/n
.
Поэтому разложение в ряд по косинусам
в данном случае предпочтительнее.
функция будет непрерывной (см. рис.1.5),
и скорость сходимости получающегося
ряда будет выше, чем ряда по синусам.
Если функция, заданная на ,
обращается в нуль на обоих концах
интервала, то предпочтительнее её
разложение в ряд по синусам, так как при
этом будет непрерывной не только сама
функция f
(x
),
но и её первая производная.1.6. Обобщённый ряд Фурье
и
(n
,
m
= 1, 2, 3,…) называются ортогональными
на отрезке [a
,
b
],
если при n
≠ m
.
и проинтегрируем почленно на отрезке
[a
,
b
].
Получим равенство
все интегралы в правой части равенства
будут равны нулю, кроме одного (при
).
Отсюда следует, что
и обозначается через
.
.
Последовательность функцийφ
0 (x
),
φ
1 (x
),…,
φ
n
(x
),…,
определённых на отрезке [a
,
b
],
является ортонормированной
на этом отрезке, если все функции
нормированы и взаимно ортогональны на
[a
,
b
].
в обобщëнный ряд Фурье по системе
ортогональных на этом отрезке функций,
в качестве которых взять собственные
функции задачи на собственные значения
,
заданная на отрезке
,
есть функция с интегрируемым квадратом,
если она сама и еë квадрат интегрируемы
на
,
то есть, если существуют интегралы
и
.
Поэтому собственные значения параметра
равны
.При
этом
«воссоединению». Помимо примелькавшихся степеней в теории и практике существуют и другие подходы к разложению функции в ряд.
. В случае отрицательных значений аргумента результат, само собой, будет таким же: .
Отрицательный аргумент дела не меняет: .
В частности, уверенно подводить функцию под знак дифференциала
, интегрировать по частям
и быть в ладах с формулой Ньютона-Лейбница
. Начнём важные предполётные упражнения. Категорически не рекомендую пропускать, чтобы потом не плющило в невесомости:
и готовимся к старту!Разложение функции в ряд Фурье на промежутке
, где – так называемые коэффициенты Фурье
.
Нулевой член ряда принято записывать в виде .Что нужно сделать в нижеследующих заданиях?
Как разложить функцию в ряд Фурье?
Второй интеграл оказался равным нулю, что убавило работы, но так бывает далеко не всегда.Разложение функции в ряд Фурье на произвольном периоде
2) Тщательным образом вглядываемся в поверхность Луны:
На «стыках» периодов сумма также будет равна серединам «скачка» разрыва .Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций
, при этом константу , которая не зависит от «эн», выносим за пределы суммы.