›

Косоугольная фронтальная изометрическая проекция. Косоугольные аксонометрические проекции

ГОСТ 2.317-69* (СТ СЭВ 1979-79) устанавливает прямоугольные и косоугольные аксонометрические проекции. Прямоугольные проекции делятся на изометрические и диметрические, косоугольные - на фронтальные изометрические, горизонтальные изометрические и фронтальные диметрические.

Прямоугольные проекции

Прямоугольная изометрическая проекция. Положение аксонометрических осей приведено на рисунке слева вверху. Коэффициент искажения по осям х, у, z равен 0,82; как правило, его округляют до 1. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются на эти плоскости в эллипсы (смотри на тот же рисунок чуть ниже). Большие оси эллипсов 1, 2, 3 перпендикулярны соответственно к осям у, z, х. Если коэффициент искажения по осям принят равным 1, то большие оси эллипсов равны 1,22, а малые 0,71 диаметра окружности.

Прямоугольная диметрическая проекция. Положение аксонометрических осей приведено на рисунке справа. Коэффициент искажения по оси у равен 0,47, по осям х и z - 0,94; как правило, коэффициент искажения по оси у округляют до 0,5, по осям x и z - до 1. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются на эти плоскости в эллипсы, большие оси которых перпендикулярны соответственно к осям у, z, х. Если коэффициент искажения по осям х и у принят равным 1, то большие оси эллипсов равны 1,06 диаметра окружности, малая ось эллипса 1 равна 0,95, а эллипсов 2 и 3 - 0,35 диаметра окружности.

Косоугольные проекции

Косоугольная фронтальная изометрическая проекция . Положение аксонометрических осей приведено на рисунке ниже(а). Угол наклона оси у к горизонтальной линии равен 45°, допускается угол 30° или 60°. Коэффициент искажения по осям х, у, 2 равен 1.

Косоугольная горизонтальная изометрическая проекция. Положение аксонометрических осей приведено на рисунке (б). Угол наклона оси у к горизонтальной линии равен 30°, Допускается угол 45° и 60°. Коэффициент искажения по осям х, У, z равен 1.

. Положение аксонометрических осей приведено на рисунке выше (в).Угол наклона оси у к горизонтальной линии равен 45°, допускается угол 30° и 60°. Коэффициент искажения по оси у равен 0,5, по осям х и z - 1. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекции, проецируются в окружности; в плоскостях, параллельных горизонтальной и профильной плоскостям проекций, - в эллипсы (рис. 5.31). Большая ось эллипса 2 составляете осью х угол 7°14", большая ось эллипса 3 с осью z - угол 7° 14". Большие оси эллипсов 2 и 3 равны 1,07, малые оси - 0,33 диаметра окружности.

Штриховка и нанесение размеров

Линии штриховки сечений в аксонометрических проекциях наносят параллельно одной из диагоналей квадратов, лежащих в соответствующих координатных плоскостях, стороны которых параллельны аксонометрическим осям (рисунок ниже). Ребра жесткости, спицы маховиков и подобные элементы, попадающие в секущую плоскость, штрихуются.

Примеры изображения деталей в аксонометрических проекциях

Линии штриховки в аксонометрических проекциях: а - в прямоугольной изометрической; 6 - в прямоугольной диметрической; в - в косоугольной фронтальной диметрической
Изображение детали в прямоугольной изометрической проекции
Изображение детали в прямоугольной диметрической проекции
Изображение детали в косоугольной фронтальной диметрической проекции
Нанесение размеров в аксонометрических проекциях

При нанесении размеров выносные линии проводят параллельно осям координат, размерные линии - параллельно измеряемому отрезку (рисунок выше).

Во многих случаях при выполнении технических чертежей оказывается полезным наряду изображением предметов в системе ортогональных проекций иметь более наглядные изображения. Для построения таких изображений применяются проекции, называемые аксонометрическими .

Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что данный предмет вместе с осями прямоугольных координат, к которым эта система относится в пространстве, параллельно проецируется на некоторую плоскость α (Рисунок 4.1).

Рисунок 4.1

Направление проецирования S определяет положение аксонометрических осей на плоскости проекций α , а также коэффициенты искажения по ним. При этом необходимо обеспечить наглядность изображения и возможность производить определения положений и размеров предмета.

В качестве примера на Рисунке 4.2 показано построение аксонометрической проекции точки А по ее ортогональным проекциям.

Рисунок 4.2

Здесь буквами k , m , n обозначены коэффициенты искажения по осям OX , OY и OZ соответственно. Если все три коэффициента равны между собой, то аксонометрическая проекция называется изометрической , если равны между собой только два коэффициента, то проекция называется диметрической , если же k≠m≠n , то проекция называется триметрической .

Если направление проецирования S перпендикулярно плоскости проекций α , то аксонометрическая проекция носит названия прямоугольной . В противном случае, аксонометрическая проекция называется косоугольной .

ГОСТ 2.317-2011 устанавливает следующие прямоугольные и косоугольные аксонометрические проекции:

  • прямоугольные изометрические и диметрические;
  • косоугольные фронтально изометрические, горизонтально изометрические и фронтально диметрические;

Ниже приводятся параметры только трех наиболее часто применяемых на практике аксонометрических проекций.

Каждая такая проекция определяется положением осей, коэффициентами искажения по ним, размерами и направлениями осей эллипсов, расположенных в плоскостях, параллельных координатным плоскостям. Для упрощения геометрических построений коэффициенты искажения по осям, как правило, округляются.

4.1. Прямоугольные проекции

4.1.1. Изометрическая проекция

Направление аксонометрических осей приведено на Рисунке 4.3.

Рисунок 4.3 – Аксонометрические оси в прямоугольной изометрической проекции

Действительные коэффициенты искажения по осям OX , OY и OZ равны 0,82 . Но с такими значениями коэффициентов искажения работать не удобно, поэтому, на практике, используются приведенные коэффициенты искажений . Эта проекция обычно выполняется без искажения, поэтому, приведенные коэффициенты искажений принимается k = m = n =1 . Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются в эллипсы, большая ось которых равна 1,22 , а малая – 0,71 диаметра образующей окружности D .

Большие оси эллипсов 1, 2 и 3 расположены под углом 90º к осям OY , OZ и OX , соответственно.

Пример выполнения изометрической проекции условной детали с вырезом приводится на Рисунке 4.4.

Рисунок 4.4 – Изображение детали в прямоугольной изометрической проекции

4.1.2. Диметрическая проекция

Положение аксонометрических осей проводится на Рисунке 4.5.

Для построения угла, приблизительно равного 7º10´ , строится прямоугольный треугольник, катеты которого составляют одну и восемь единиц длины; для построения угла, приблизительно равного 41º25´ — катеты треугольника, соответственно, равны семи и восьми единицам длины.

Коэффициенты искажения по осям ОХ и OZ k=n=0,94 а по оси OY – m=0,47 . При округлении этих параметров принимается k=n=1 и m=0,5 . В этом случае размеры осей эллипсов будут: большая ось эллипса 1 равна 0,95D и эллипсов 2 и 3 – 0,35D (D – диаметр окружности). На Рисунке 4.5 большие оси эллипсов 1, 2 и 3 расположены под углом 90º к осям OY, OZ и OX, соответственно.

Пример прямоугольной диметрической проекции условной детали с вырезом приводится на Рисунке 4.6.

Рисунок 4.5 – Аксонометрические оси в прямоугольной диметрической проекции

Рисунок 4.6 – Изображение детали в прямоугольной диметрической проекции

4.2 Косоугольные проекции

4.2.1 Фронтальная диметрическая проекция

Положение аксонометрических осей приведено на Рисунке 4.7. Допускается применять фронтальные диметрические проекции с углом наклона к оси OY, равным 30 0 и 60 0 .

Коэффициент искажения по оси OY равен m=0,5 а по осям OX и OZ — k=n=1 .

Рисунок 4.7 – Аксонометрические оси в косоугольной фронтальной диметрической проекции

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, проецируются на плоскость XOZ без искажения. Большие оси эллипсов 2 и 3 равны 1,07D , а малая ось – 0,33D (D — диаметр окружности). Большая ось эллипса 2 составляет с осью ОХ угол 7º 14´ , а большая ось эллипса 3 составляет такой же угол с осью OZ.

Пример аксонометрической проекции условной детали с вырезом приводится на Рисунке 4.8.

Как видно из рисунка, данная деталь располагается таким образом, чтобы её окружности проецировались на плоскость XОZ без искажения.

Рисунок 4.8 – Изображение детали в косоугольной фронтальной диметрической проекции

4.3 Построение эллипса

4.3.1 Построения эллипса по двум осям

На данных осях эллипса АВ и СD строятся как на диаметрах две концентрические окружности (Рисунок 4.9, а).

Одна из этих окружностей делится на несколько равных (или неравных) частей.

Через точки деления и центр эллипса проводятся радиусы, которые делят также вторую окружность. Затем через точки деления большой окружности проводятся прямые, параллельные линии АВ.

Точки пересечения соответствующих прямых и будут точками, принадлежащими эллипсу. На Рисунке 4.9, а показана лишь одна искомая точка 1.

а б в

Рисунок 4.9 – Построение эллипса по двум осям (а), по хордам (б)

4.3.2 Построение эллипса по хордам

Диаметр окружности АВ делится на несколько равных частей, на рисунке 4.9,б их 4. Через точки 1-3 проводятся хорды параллельно диаметру CD. В любой аксонометрической проекции (например, в косоугольной диметрической) изображаются эти же диаметры с учетом коэффициента искажения. Так на Рисунке 4.9,б А 1 В 1 =АВ и С 1 D 1 = 0,5CD . Диаметр А 1 В 1 делится на то же число равных частей, что и диаметр АВ, через полученные точки 1-3 проводятся отрезки, равные соответственным хордам, умноженным на коэффициент искажение (в нашем случае – 0,5).

4.4 Штриховка сечений

Линии штриховки сечений (разрезов) в аксонометрических проекциях наносятся параллельно одной из диагоналей квадратов, лежащих в соответствующих координатных плоскостях, стороны которых параллельны аксонометрическим осям (Рисунок 4.10: а – штриховка в прямоугольной изометрии; б – штриховка в косоугольной фронтальной диметрии).

а б
Рисунок 4.10 – Примеры штриховки в аксонометрических проекциях

Фронтальная изометрическая проекция характерна тем, что все линии предмета, параллельные фронтальной плоскости проекций, изобразятся во фронтальной изометрической проекции без искажения. Положение аксонометрических осей приведено на рис. 79. Допускается применять фронтальные изометрические проекции с углом наклона оси y к оси х 30 и 60°. Фронтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения линейных размеров по всем трем осям. Окружности, расположенные в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций П 2 , проецируются на аксонометрическую плоскость в окружности того же диаметра. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций П 1 и П 3 , проецируются в виде эллипсов.

Предмет во фронтальной изометрической проекции следует располагать по отношению к осям так, чтобы сложные плоские фигуры, окружности, дуги плоских кривых находились в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций. Тогда построение их упрощается, так как они изображаются без искажений.

Рис. 79. Изображение окружности
в косоугольной фронтальной диметрической проекции

Рис. 80. Расположение большой и малой осей эллипса

Рис. 81. Построение эллипса

Рис. 82. Косоугольная фронтальная изометрическая
проекция окружности

Вопросы для самоконтроля

1. Какие проекции называются аксонометрическими?

2. Как производится переход от ортогональных координат к аксонометрическим?

3. Что такое треугольник следов?

4. Чему равны показатели искажения аксонометрических осей в прямоугольных изометрических и диметрических проекциях?

5. Что такое аксонометрический масштаб?

6. Укажите коэффициенты искажения для большой и малой оси эллипса – аксонометрической проекции окружности, принадлежащей координатной плоскости (или параллельной ей) для изометрии и диметрии.

7. Сформулируйте теорему Польке.

8. В чем различие между прямоугольными и косоугольными аксонометрическими проекциями?

Задача: Построить аксонометрическую проекцию кривой линии, заданной в ортогональных проекциях.

Косоугольные аксонометрические проекции характеризуются двумя основными признаками: плоскость аксонометрических проекций располагайся параллельно одной из граней предмета, которая изображается без искажения; направление проецирования выбирается косоугольное (составляет с плоскостью проекций острый угол), что дает возможность спроецировать и две другие грани или стороны предмета, но уже с искажением.

Название фронтальная или горизонтальная определяет положение плоскости аксонометрических проекций относительно основных сторон или граней предмета.

Аксонометрические изображения предметов при косоугольном проецировании оказываются менее наглядными, чем при прямоугольном проецировании. Изображенные предметы воспринимаются -только деформированными, со скошенностью в направлении, перпендикулярном плоскости проекций. Однако изображения в косоугольной аксонометрии обладают важным преимуществом, которое довольно часто используют в техническом черчении:плоские элементы предмета, параллельные плоскости аксонометрических проекций, проецируются без искажения. В черчении косоугольные аксонометрические проекции используют в случаях, когда нужно изобразить без искажения части предмета сложной криволинейной формы.

Фронтальная диметрическая проекция. Аксонометрические оси фронтальной диметрии располагаются следующим образом (Рис. 59а): ось ОZ -вертикальная, ось ОХ - горизонтальная, ось OY делит угол ZOX пополам и направлена вправо вниз. Ось OY можно построить, отложив от горизонтали угол 45°. По осям ОХ и OZ, размеры изображения проецируются в истинную величину, а по оси OY сокращаются вдвое.

Фронтальная диметрическая проекция куба с окружностями, вписанными в три видимые грани, показана на рис.596. В передней грани параллельной координатной плоскости XOZ окружность изображается без искажений, в двух других гранях - одинаковыми эллипсами, большие оси которых равны 1,07D, а малые - 0.33D, где D - диаметр окружности, вписанной в грани куба. Направления больших осей эллипсов отклоняются от большей диагонали аксонометрии описанного квадрата (параллелограмма) на 7°.

Фронтальную диметрию целесообразно применять в тех случаях, когда требуется сохранить неискаженными фигуры, расположенные во фронтальных плоскостях что упрощает построение аксонометрического изображения.

Фронтальная изометрическая проекция. Во фронтальной изометрии положение осей (рис. 60а) аналогично положению осей во фронтальной ди-метрии. По всем осям размеры откладывают без сокращений, в истинную величину. На рис. 606 построена фронтальная изометрия куба. Искажение общей формы изображенного предмета и неестественная вытянутость куба вдоль оси OY в этой проекции больше, чем во фронтальной диметрии. Эллипсы рекомендуется строить по восьми точкам. Направление осей эллипсов совпадает с диагоналями граней куба.

Расположение осей во фронтальной изометрии, как и в других аксонометрических проекциях, дает вид предмета сверху.



Горизонтальная изометрическая проекция . Аксонометрические оси горизонтальной изометрии располагают следующим образом (рис. 61а): ось 0Z - вертикальная, угол между осями ОХ и OY равен 90°, ось OY составляет с горизонталью угол 30°. ГОСТ 2.317-69* допускает применять и другие углы между горизонталью и осью OY - 45 и 60°, при этом угол 90° между осями ОХ и OY сохраняется. По всем осям размеры откладывают без искажений, в истинную величину. Искажение формы и вытянутость куба направлены вдоль оси OZ. (Рис. 616).

Размеры осей эллипса, расположенного в грани, параллельной координатной плоскости Y0Z, равны осям эллипсов прямоугольной изометрии. Вместо этого эллипса можно построить овал. Второй эллипс строят по восьми точкам. Оси эллипса совпадают с направлением диагоналей граней куба.

В горизонтальной изометрии плоские фигуры, расположенные на плане и в горизонтальных плоскостях, не искажаются. Это свойство проекции используют при изображении в аксонометрии строительных объектов, когда надо сохранить неискаженными конфигурацию и размерные соотношения плана.

8.2. Ортогональные проекции.


Прямоугольное проецирование на две и три плоскости проекций.

Аксонометрические и перспективные изображения обладают хорошей наглядностью, но по ним трудно определить истинные размеры изображенных предметов, а также воспроизвести их в натуре. Поэтому в основу получения изображений на чертежах положен метод прямоугольного (ортогонального) проецирования на две или три взаимно перпендикулярные плоскости проекций. (Рис.62). Прямоугольные проекции (чертежи) предмета обладают следующим преимуществом: при наличии масштаба и размеров по чертежам можно воспроизвести изображенные предметы в точном соответствии с проектным замыслом.

Две проекции определяют положение, форму и размеры изображенного на чертеже предмета; третья проекция определяется пересечением соответствующих линий связи.

Чертеж предмета должен давать полное представление о форме изображаемого предмета, его устройстве, размерах, материале, из которого изготовлен предмет, а также содержать сведения о способах его изготовления. Вместе с тем чертеж предмета должен быть лаконичным и содержать минимальное количество изображений и текста, достаточных для свободного чтения чертежа, изготовления по нему детали и ее контроля.

Для лучшего понимания и чтения чертежи должны составляться по общим правилам. Все требования к оформлению чертежей, а также условные обозначения, содержащиеся на чертежах, должны быть единообразными. Поэтому при составлении чертежей необходимо руководствоваться основными положениями и правилами ГОСТов «Единой системы конструкторской документации». Все изображения на чертежах в зависимости от их содержания разделяются на виды, разрезы, сечения.

Изображения предметов на чертежах образуются с помощью прямоугольного проецирования предмета на плоскости проекций. При этом предполагается, что предмет расположен между, наблюдателем и соответствующей плоскостью проекций.

Предмет должен располагаться относительно фронтальной плоскости проекций так, чтобы изображение на ней наиболее полно отображало форму и размеры предмета при наилучшем использовании поля чертежа.

За основные плоскости проекций принимают шесть граней куба. Предмет мысленно помещают внутри этого куба (заднюю его грань принимают за фронтальную плоскость проекций) и строят проекции предмета на каждой грани. Если после этого развернуть грани куба до совмещения с фронтальной плоскостью, то получим изображения предмета на шести плоскостях проекций.

На каждой плоскости проекций получается изображение обращенной к наблюдателю видимой части предмета; такое изображение называется видом. В зависимости от направления проецирования установлены следующие названия видов, получаемых на основных плоскостях проекций: 1 - вид спереди (главный вид); 2 - вид сверху; 3 - вид слева; 4 - вид справа; 5 - вид снизу; 6 - вид сзади.

Названия видов на чертежах, выполненных в проекционной связи, не указывают. Чтобы уменьшить количество видов, допускается на них показывать невидимые части поверхностей предметов штриховыми линиями. Виды предмета должны быть увязаны между собой, вид сверху располагается под видом спереди, а виды слева и справа - на одном уровне с видом спереди (справа от него при взгляде на предмет слева и слева от него при взгляде на предмет справа). (Рис.63).
Рис. 63

Для того чтобы правильно разместить изображения предмета и его частей на рабочем поле чертежа, необходимо:

Выбрав масштаб чертежа, определить для каждого вида его основные габаритные размеры: для вида сверху - наибольшую длину и ширину предмета, для вида спереди - наибольшие длину и высоту и т. д.;

Полученные размеры перевести на выбранный масштаб чертежа;

Каждое изображение выразить в виде прямоугольника по установленным в масштабе габаритным размерам;

Для определения формата чертежа полученные размеры прямоугольнике расположить с возможной равномерной плотностью и с учетом необходимых мест для выносных и размерных линий и поясняющих надписей;

После схематической компоновки чертежа приступают к детальному изображению видов предмета внутри этих прямоугольников.

Для трёхмерных объектов и панорам.

Ограничения аксонометрической проекции

Изометрическая проекция в компьютерных играх и пиксельной графике

Рисунок телевизора в почти-изометрической пиксельной графике. У пиксельного узора видна пропорция 2:1

Примечания

  1. По ГОСТ 2 .317-69 - Единая система конструкторской документации. Аксонометрические проекции.
  2. Здесь горизонтальной называется плоскость, перпендикулярная оси Z (которая является прообразом оси Z").
  3. Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek. Planar Geometric Projections and Viewing Transformations // ACM Computing Surveys (CSUR) : журнал. - ACM , декабрь 1978. - Т. 10. - № 4. - С. 465-502. - ISSN 0360-0300 . - DOI :10.1145/356744.356750
  4. Jeff Green. GameSpot Preview: Arcanum (англ.) . GameSpot (29 февраля 2000).(недоступная ссылка - история ) Проверено 29 сентября 2008.
  5. Steve Butts. SimCity 4: Rush Hour Preview (англ.) . IGN (9 сентября 2003). Архивировано
  6. GDC 2004: The History of Zelda (англ.) . IGN (25 марта 2004). Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012. Проверено 29 сентября 2008.
  7. Dave Greely, Ben Sawyer.