«Физика - 10 класс»

Вспомните, что такое момент силы.
При каких условиях тело находится в покое?

Если тело находится в покое относительно выбранной системы отсчёта, то говорят, что это тело находится в равновесии. Здания, мосты, балки вместе с опорами, части машин, книга на столе и многие другие тела покоятся, несмотря на то что к ним со стороны других тел приложены силы. Задача изучения условий равновесия тел имеет большое практическое значение для машиностроения, строительного дела, приборостроения и других областей техники. Все реальные тела под влиянием приложенных к ним сил изменяют свою форму и размеры, или, как говорят, деформируются.

Во многих случаях, которые встречаются на практике, деформации тел при их равновесии незначительны. В этих случаях деформациями можно пренебречь и вести расчёт, считая тело абсолютно твёрдым .

Для краткости абсолютно твёрдое тело будем называть твёрдым телом или просто телом . Изучив условия равновесия твёрдого тела, мы найдём условия равновесия реальных тел в тех случаях, когда их деформации можно не учитывать.

Вспомните определение абсолютно твёрдого тела.

Раздел механики, в котором изучаются условия равновесия абсолютно твёрдых тел, называется статикой .

В статике учитываются размеры и форма тел, в этом случае существенным является не только значение сил, но и положение точек их приложения.

Выясним вначале с помощью законов Ньютона, при каком условии любое тело будет находиться в равновесии. С этой целью разобьём мысленно всё тело на большое число малых элементов, каждый из которых можно рассматривать как материальную точку. Как обычно, назовём силы, действующие на тело со стороны других тел, внешними, а силы, с которыми взаимодействуют элементы самого тела, внутренними (рис. 7.1). Так, сила 1,2 - это сила, действующая на элемент 1 со стороны элемента 2. Сила же 2,1 действует на элемент 2 со стороны элемента 1. Это внутренние силы; к ним относятся также силы 1,3 и 3,1 , 2,3 и 3,2 . Очевидно, что геометрическая сумма внутренних сил равна нулю, так как согласно третьему закону Ньютона

12 = - 21 , 23 = - 32 , 31 = - 13 и т.д.

Статика - частный случай динамики, так как покой тел, когда на них действуют силы, есть частный случай движения ( = 0).

На каждый элемент в общем случае может действовать несколько внешних сил. Под 1 , 2 , 3 и т. д. будем понимать все внешние силы, приложенные соответственно к элементам 1, 2, 3, ... . Точно так же через " 1 , " 2 , " 3 и т. д. обозначим геометрическую сумму внутренних сил, приложенных к элементам 2, 2, 3, ... соответственно (эти силы не показаны на рисунке), т. е.

" 1 = 12 + 13 + ... , " 2 = 21 + 22 + ... , " 3 = 31 + 32 + ... и т.д.

Если тело находится в покое, то ускорение каждого элемента равно нулю. Поэтому согласно второму закону Ньютона будет равна нулю и геометрическая сумма всех сил, действующих на любой элемент. Следовательно, можно записать:

1 + "1 = 0, 2 + "2 = 0, 3 + "3 = 0. (7.1)

Каждое из этих трёх уравнений выражает условие равновесия элемента твёрдого тела.

Первое условие равновесия твёрдого тела.

Выясним, каким условиям должны удовлетворять внешние силы, приложенные к твёрдому телу, чтобы оно находилось в равновесии. Для этого сложим уравнения (7.1):

(1 + 2 + 3) + ("1 + "2 + "3) = 0.

В первых скобках этого равенства записана векторная сумма всех внешних сил, приложенных к телу, а во вторых - векторная сумма всех внутренних сил, действующих на элементы этого тела. Но, как известно, векторная сумма всех внутренних сил системы равна нулю, так как согласно третьему закону Ньютона любой внутренней силе соответствует сила, равная ей по модулю и противоположная по направлению. Поэтому в левой части последнего равенства останется только геометрическая сумма внешних сил, приложенных к телу:

1 + 2 + 3 + ... = 0 . (7.2)

В случае абсолютно твёрдого тела условие (7.2) называют первым условием его равновесия .

Оно является необходимым, но не является достаточным.

Итак, если твёрдое тело находится в равновесии, то геометрическая сумма внешних сил, приложенных к нему, равна нулю.

Если сумма внешних сил равна нулю, то равна нулю и сумма проекций этих сил на оси координат. В частности, для проекций внешних сил на ось ОХ можно записать:

F 1x + F 2x + F 3x + ... = 0. (7.3)

Такие же уравнения можно записать и для проекций сил на оси OY и OZ.

Второе условие равновесия твёрдого тела.

Убедимся, что условие (7.2) является необходимым, но недостаточным для равновесия твёрдого тела. Приложим к доске, лежащей на столе, в различных точках две равные по модулю и противоположно направленные силы так, как показано на рисунке 7.2. Сумма этих сил равна нулю:

+ (-) = 0. Но доска тем не менее будет поворачиваться. Точно так же две одинаковые по модулю и противоположно направленные силы поворачивают руль велосипеда или автомобиля (рис. 7.3).

Какое же ещё условие для внешних сил, кроме равенства нулю их суммы, должно выполняться, чтобы твёрдое тело находилось в равновесии? Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.

Найдём, например, условие равновесия стержня, шарнирно закреплённого на горизонтальной оси в точке О (рис. 7.4). Это простое устройство, как вам известно из курса физики основной школы, представляет собой рычаг первого рода.

Пусть к рычагу приложены перпендикулярно стержню силы 1 и 2 .

Кроме сил 1 и 2 , на рычаг действует направленная вертикально вверх сила нормальной реакции 3 со стороны оси рычага. При равновесии рычага сумма всех трёх сил равна нулю: 1 + 2 + 3 = 0.

Вычислим работу, которую совершают внешние силы при повороте рычага на очень малый угол α. Точки приложения сил 1 и 2 пройдут пути s 1 = ВВ 1 и s 2 = CC 1 (дуги ВВ 1 и СС 1 при малых углах α можно считать прямолинейными отрезками). Работа А 1 = F 1 s 1 силы 1 положительна, потому что точка В перемещается по направлению действия силы, а работа А 2 = -F 2 s 2 силы 2 отрицательна, поскольку точка С движется в сторону, противоположную направлению силы 2 . Сила 3 работы не совершает, так как точка её приложения не перемещается.

Пройденные пути s 1 и s 2 можно выразить через угол поворота рычага а, измеренный в радианах: s 1 = α|ВО| и s 2 = α|СО|. Учитывая это, перепишем выражения для работы так:

А 1 = F 1 α|BO|, (7.4)
А 2 = -F 2 α|CO|.

Радиусы ВО и СО дуг окружностей, описываемых точками приложения сил 1 и 2 , являются перпендикулярами, опущенными из оси вращения на линии действия этих сил

Как вы уже знаете, плечо силы - это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Будем обозначать плечо силы буквой d. Тогда |ВО| = d 1 - плечо силы 1 , а |СО| = d 2 - плечо силы 2 . При этом выражения (7.4) примут вид

А 1 = F 1 αd 1 , А 2 = -F 2 αd 2 . (7.5)

Из формул (7.5) видно, что работа каждой из сил равна произведению момента силы на угол поворота рычага. Следовательно, выражения (7.5) для работы можно переписать в виде

А 1 = М 1 α, А 2 = М 2 α, (7.6)

а полную работу внешних сил можно выразить формулой

А = А 1 + А 2 = (М 1 + М 2)α. α, (7.7)

Так как момент силы 1 положителен и равен М 1 = F 1 d 1 (см. рис. 7.4), а момент силы 2 отрицателен и равен М 2 = -F 2 d 2 , то для работы А можно записать выражение

А = (М 1 - |М 2 |)α.

Когда тело приходит в движение, его кинетическая энергия увеличивается. Для увеличения кинетической энергии внешние силы должны совершать работу, т. е. в этом случае А ≠ 0 и соответственно М 1 + М 2 ≠ 0.

Если работа внешних сил равна нулю, то кинетическая энергия тела не изменяется (остаётся равной нулю) и тело остаётся неподвижным. Тогда

М 1 + М 2 = 0 . (7.8)

Уравнение (7 8) и есть второе условие равновесия твёрдого тела .

При равновесии твёрдого тела сумма моментов всех внешних сил, действующих на него относительно любой оси, равна нулю.

Итак, в случае произвольного числа внешних сил условия равновесия абсолютно твёрдого тела следующие:

1 + 2 + 3 + ... = 0, (7.9)
М 1 + М 2 + М 3 + ... = 0 .

Второе условие равновесия можно вывести из основного уравнения динамики вращательного движения твёрдого тела. Согласно этому уравнению где М - суммарный момент сил, действующих на тело, М = М 1 + М 2 + М 3 + ... , ε - угловое ускорение. Если твёрдое тело неподвижно, то ε = 0, и, следовательно, М = 0. Таким образом, второе условие равновесия имеет вид М = М 1 + М 2 + М 3 + ... = 0.

Если тело не абсолютно твёрдое, то под действием приложенных к нему внешних сил оно может и не оставаться в равновесии, хотя сумма внешних сил и сумма их моментов относительно любой оси равны нулю.

Приложим, например к концам резинового шнура две силы, равные по модулю и направленные вдоль шнура в противоположные стороны. Под действием этих сил шнур не будет находиться в равновесии (шнур растягивается), хотя сумма внешних сил равна нулю и нулю равна сумма их моментов относительно оси, проходящей через любую точку шнура.

Раздел механики, в котором изучаются условия равновесия тел, называется статикой. Проще всего рассмотреть условия равновесия абсолютно твердого тела, т. е. такого тела, размеры и форму которого можно считать неизменными. Понятие абсолютно твердого тела является абстракцией, поскольку все реальные тела под влиянием приложенных к ним сил в той или иной степени деформируются, т. е. меняют свою форму и размеры. Величина деформаций зависит как от приложенных к телу сил, так и от свойств самого тела - его формы и свойств материала, из которого оно изготовлено. Во многих практически важных случаях деформации бывают малыми и использование представлений об абсолютно твердом теле является оправданным.

Модель абсолютно твердого тела. Однако не всегда малость деформаций является достаточным условием для того, чтобы тело можно было считать абсолютно твердым. Чтобы пояснить это, рассмотрим следующий пример. Доска, лежащая на двух опорах (рис. 140а), может рассматриваться как абсолютно твердое тело, несмотря на то, что она слегка прогибается под действием сил тяжести. Действительно, в этом случае условия механического равновесия позволяют определить силы реакции опор не учитывая деформации доски.

Но если та же доска лежит на тех же опорах (рис. 1406), то представление об абсолютно твердом теле является неприменимым. В самом деле, пусть крайние опоры находятся на одной горизонтали, а средняя - чуть ниже. Если доска абсолютно твердая, т. е. вообще не прогибается, то она совсем не давит на среднюю опору Если же доска прогибается, то она давит на среднюю опору, причем тем сильнее, чем больше деформация. Условия

равновесия абсолютно твердого тела в этом случае не позволяют определить силы реакции опор так как приводят к двум уравнениям для трех неизвестных величин.

Рис. 140. Силы реакции, действующие на доску, лежащую на двух (а) и на трех (б) опорах

Такие системы носят название статически неопределимых. Для их расчета необходимо учитывать упругие свойства тел.

Приведенный пример показывает, что применимость модели абсолютно твердого тела в статике определяется не столько свойствами самого тела, сколько условиями, в которых оно находится. Так, в рассмотренном примере даже тонкую соломинку можно считать абсолютно твердым телом, если она лежит на двух опорах. Но даже очень жесткую балку нельзя считать абсолютно твердым телом, если она лежит на трех опорах.

Условия равновесия. Условия равновесия абсолютно твердого тела представляют собой частный случай динамических уравнений, когда ускорение отсутствует, хотя исторически статика возникла из потребностей строительной техники почти на два тысячелетия раньше динамики. В инерциальной системе отсчета твердое тело находится в равновесии, если векторная сумма всех действующих на тело внешних сил и векторная сумма моментов этих сил равны нулю. При выполнении первого условия равно нулю ускорение центра масс тела. При выполнении второго условия отсутствует угловое ускорение вращения. Поэтому если в начальный момент тело покоилось, то оно будет оставаться в покое и дальше.

В дальнейшем мы ограничимся изучением сравнительно простых систем, в которых все действующие силы лежат в одной плоскости. В этом случае векторное условие

сводится к двум скалярным:

если расположить оси плоскости действия сил. Некоторые из входящих в условия равновесия (1) действующих на тело внешних сил могут быть заданы, т. е. их модули и направления известны. Что же касается сил реакции связей или опор, ограничивающих возможное перемещение тела, то они, как правило, заранее не заданы и сами подлежат определению. В отсутствие трения силы реакции перпендикулярны поверхности соприкосновения тел.

Рис. 141. К определению направления сил реакции

Силы реакции. Иногда возникают сомнения в определении направления силы реакции связи, как, например, на рис. 141, где изображен стержень, опирающийся в точке А о гладкую вогнутую поверхность чашки и в точке В на острый край чашки.

Для определения направления сил реакции в этом случае можно мысленно немного подвинуть стержень, не нарушая его контакта с чашкой. Сила реакции будет направлена перпендикулярно поверхности, по которой скользит точка контакта. Так, в точке А действующая на стержень сила реакции перпендикулярна поверхности чашки, а в точке В - перпендикулярна стержню.

Момент силы. Моментом М силы относительно некоторой точки

О называется векторное произведение радиуса-вектора проведенного из О в точку приложения силы, на вектор силы

Вектор М момента силы перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы

Уравнение моментов. Если на тело действует несколько сил, то второе, связанное с моментами сил условие равновесия записывается в виде

При этом точка О, из которой проводятся радиусы-векторы должна выбираться общей для всех действующих сил.

Для плоской системы сил векторы моментов всех сил направлены перпендикулярно плоскости, в которой лежат силы, если моменты рассматриваются относительно точки, лежащей в этой же плоскости. Поэтому векторное условие (4) для моментов сводится к одному скалярному: в положении равновесия алгебраическая сумма моментов всех внешних действующих сил равна нулю. Модуль момента силы относительно точки О равен произведению модуля

силы на расстояние от точки О до линии, вдоль которой действует сила При этом моменты, стремящиеся повернуть тело по часовой стрелке, берутся с одним знаком, против часовой стрелки - с противоположным. Выбор точки, относительно которой рассматриваются моменты сил, производится исключительно из соображений удобства: уравнение моментов будет тем проще, чем больше сил будут иметь равные нулю моменты.

Пример равновесия. Для иллюстрации применения условий равновесия абсолютно твердого тела рассмотрим следующий пример. Легкая лестница-стремянка состоит из двух одинаковых частей, шарнирно соединенных вверху и связанных веревкой у основания (рис. 142). Определим, какова сила натяжения веревки, с какими силами взаимодействуют половинки лестницы в шарнире и с какими силами они давят на пол, если на середине одной из них стоит человек весом Р.

Рассматриваемая система состоит из двух твердых тел - половинок лестницы, и условия равновесия можно применять как для системы в целом, так и для ее частей. Применяя условия равновесия ко всей системе в целом, можно найти силы реакции пола и (рис. 142). При отсутствии трения эти силы направлены вертикально вверх и условие равенства нулю векторной суммы внешних сил (1) принимает вид

Условие равновесия моментов внешних сил относительно точки А записывается следующим образом:

где - длина лестницы, угол, образованный лестницей с полом. Решая систему уравнений (5) и (6), находим

Рис. 142. Векторная сумма внешних сил и сумма моментов внешних сил в равновесии равна нулю

Разумеется, вместо уравнения моментов (6) относительно точки А можно было бы написать уравнение моментов относительно точки В (или любой другой точки). При этом получилась бы система уравнений, эквивалентная использованной системе (5) и (6).

Сила натяжения веревки и силы взаимодействия в шарнире для рассматриваемой физической системы являются внутренними и поэтому не могут быть определены из условий равновесия всей системы как целого. Для определения этих сил необходимо рассматривать условия равновесия отдельных частей системы. При этом

удачным выбором точки, относительно которой составляется уравнение моментов сил, можно добиться упрощения алгебраической системы уравнений. Так, например, в данной системе можно рассмотреть условие равновесия моментов сил, действующих на левую половинку лестницы, относительно точки С, в которой находится шарнир.

При таком выборе точки С силы, действующие в шарнире, не войдут в это условие, и мы сразу находим силу натяжения веревки Т:

откуда, учитывая, что получаем

Условие (7) означает, что равнодействующая сил Т и проходит через точку С, т. е. направлена вдоль лестницы. Поэтому равновесие этой половинки лестницы возможно, только если сила действующая на нее в шарнире, также направлена вдоль лестницы (рис. 143), а ее модуль равен модулю равнодействующей сил Т и

Рис. 143. Линии действия всех трех сил, действующих на левую половинку лестницы, проходят через одну точку

Абсолютное значение силы действующей в шарнире на другую половинку лестницы, на основании третьего закона Ньютона равно а ее направление противоположно направлению вектора Направление силы можно было бы определить непосредственно из рис. 143, учитывая, что при равновесии тела под действием трех сил линии, по которым действуют эти силы, пересекаются в одной точке. Действительно, рассмотрим точку пересечения линий действия двух из этих трех сил и составим уравнение моментов относительно этой точки. Моменты первых двух сил относительно этой точки равны нулю; значит, должен равняться нулю и момент третьей силы, что в соответствии с (3) возможно, только если линия ее действия также проходит через эту точку.

Золотое правило механики. Иногда задачу статики можно решить, вообще не рассматривая условий равновесия, а используя закон сохранения энергии применительно к механизмам без трения: ни один механизм не дает выигрыша в работе. Этот закон

называют золотым правилом механики. Для иллюстрации такого подхода рассмотрим следующий пример: тяжелый груз весом Р подвешен на невесомом шарнире с тремя звеньями (рис. 144). Какую силу натяжения должна выдержать нить, соединяющая точки А и В?

Рис. 144. К определению силы натяжения нити в трехзвенном шарнире, поддерживающем груз весом Р

Попробуем с помощью этого механизма поднимать груз Р. Отвязав нить в точке А, потянем ее вверх так, чтобы точка В медленно поднялась на расстояние Это расстояние ограничено тем, что сила натяжения нити Т должна оставаться неизменной в процессе перемещения. В данном случае, как будет видно из ответа, сила Т вообще не зависит от того, насколько сжат или растянут шарнир. Совершенная при этом работа . В результате груз Р поднимается на высоту которая, как ясно из геометрических соображений, равна Так как при отсутствии трения никаких потерь энергии не происходит, можно утверждать, что изменение потенциальной энергии груза, равное определяется совершенной при подъеме работой. Поэтому

Очевидно, что для шарнира, содержащего произвольное число одинаковых звеньев,

Нетрудно найти силу натяжения нити и в том случае, когда требуется учитывать вес самого шарнира совершаемую при подъеме работу следует приравнять сумме изменений потенциальных энергий груза и шарнира. Для шарнира из одинаковых звеньев центр масс его поднимается на Поэтому

Сформулированный принцип («золотое правило механики») применим и тогда, когда в процессе перемещений не происходит изменения потенциальной энергии, а механизм используется для преобразования силы. Редукторы, трансмиссии, вороты, системы рычагов и блоков - во всех таких системах преобразованную силу можно определить, приравнивая работы преобразованной и приложенной сил. Другими словами, при отсутствии трения отношение этих сил определяется только геометрией устройства.

Рассмотрим с этой точки зрения разобранный выше пример со стремянкой. Конечно, использовать стремянку в качестве подъемного механизма, т. е. поднимать человека, сближая половинки стремянки, вряд ли целесообразно. Однако это не может помешать нам применить описанный метод для нахождения силы натяжения веревки. Приравнивая работу, совершаемую при сближении частей стремянки, изменению потенциальной энергии человека на стремянке и связывая из геометрических соображений перемещение нижнего конца лестницы с изменением высоты груза (рис. 145), получаем, как и следовало ожидать, приведенный ранее результат:

Как уже отмечалось, перемещение следует выбрать таким, чтобы в процессе его можно было считать действующую силу постоянной. Легко убедиться, что в примере с шарниром это условие не накладывает ограничений на перемещение, так как сила натяжения нити не зависит от угла (рис. 144). Напротив, в задаче о стремянке перемещение следует выбирать малым, ибо сила натяжения веревки зависит от угла а.

Устойчивость равновесия. Равновесие бывает устойчивым, неустойчивым и безразличным. Равновесие устойчиво (рис. 146а), если при малых перемещениях тела из положения равновесия действующие силы стремятся вернуть его обратно, и неустойчиво (рис. 1466), если силы уводят его дальше от положения равновесия.

Рис. 145. Перемещения нижних концов лестницы и перемещение груза при сближении половинок стремянки

Рис. 146. Устойчивое (а), неустойчивое (б) и безразличное (в) равновесия

Если же при малых смещениях действующие на тело силы и их моменты по-прежнему уравновешиваются, то равновесие безразличное (рис. 146в). При безразличном равновесии соседние положения тела также являются равновесными.

Рассмотрим примеры исследования устойчивости равновесия.

1. Устойчивому равновесию соответствует минимум потенциальной энергии тела по отношению к ее значениям в соседних положениях тела. Этим свойством часто удобно пользоваться при отыскании положения равновесия и при исследовании характера равновесия.

Рис. 147. Устойчивость равновесия тела и положение центра масс

Вертикальная свободно стоящая колонна находится в устойчивом равновесии, поскольку при малых наклонах ее центр масс приподнимается. Так происходит до тех пор, пока вертикальная проекция центра масс не выйдет за пределы площади опоры, т. е. угол отклонения от вертикали не превысит некоторого максимального значения. Другими словами, область устойчивости простирается от минимума потенциальной энергии (при вертикальном положении) до ближайшего к нему максимума (рис. 147). Когда центр масс расположен точно над границей площади опоры, колонна также находится в равновесии, но неустойчивом. Горизонтально лежащей колонне соответствует гораздо более широкая область устойчивости.

2. Имеются два круглых карандаша с радиусами и Один из них расположен горизонтально, другой уравновешен на нем в горизонтальном положении так, что оси карандашей взаимно перпендикулярны (рис. 148а). При каком соотношении между радиусами равновесие устойчиво? На какой максимальный угол можно при этом отклонить от горизонтали верхний карандаш? Коэффициент трения карандашей друг о друга равен

На первый взгляд может показаться, что равновесие верхнего карандаша вообще неустойчиво, так как центр масс верхнего карандаша лежит выше оси, вокруг которой он может поворачиваться. Однако здесь положение оси вращения не остается неизменным, поэтому этот случай требует специального исследования. Поскольку верхний карандаш уравновешен в горизонтальном положении, центры масс карандашей лежат на этой вертикали (рис. ). проходит левее новой точки опоры С, то сила тяжести стремится вернуть верхний карандаш в положение равновесия.

Выразим это условие математически. Проведя вертикаль через точку В, видим, что должно выполняться условие

Так как то из условия (8) получаем

Поскольку сила тяжести будет стремиться возвратить верхний карандаш в положение равновесия только при Следовательно, устойчивое равновесие верхнего карандаша на нижнем возможно только тогда, когда его радиус меньше радиуса нижнего карандаша.

Роль трения. Для ответа на второй вопрос следует выяснить, какие причины ограничивают допустимый угол отклонения. Во-первых, при больших углах отклонения вертикаль, проведенная через центр масс верхнего карандаша, может пройти правее точки опоры С. Из условия (9) видно, что при заданном отношении радиусов карандашей максимальный угол отклонения

Всегда ли условий равновесия твердого тела достаточно для определения сил реакции?

Как практически можно определить направление сил реакции при отсутствии трения?

Как можно использовать золотое правило механики при анализе условий равновесия?

Если в шарнире, показанном на рис. 144, нитью соединить не точки А и В, а точки Л и С, то какой будет ее сила натяжения?

Как связана устойчивость равновесия системы с ее потенциальной энергией?

Какими условиями определяется максимальный угол отклонения тела, опирающегося на плоскость в трех точках, чтобы не была утрачена его устойчивость?

ВИДЫ РАВНОВЕСИЯ

В статике абсолютно твёрдого тела различают три вида равновесия.

1. Рассмотрим шарик, который находится на вогнутой поверхности. В поло­жении, показанном на рис. 88, шарик на­ходится в равновесии: сила реакции опо­ры уравновешивает силу тяжести .

Если отклонить шарик от положения равновесия, то векторная сумма сил тя­жести и реакции опоры уже не равна ну­лю: возникает сила , которая стремится вернуть шарик в первоначаль­ное положение равновесия (в точку О ).

Это пример устойчивого равновесия.

У с т о й ч и в ы м называется такой вид равновесия, при выходе из которого возникают силы или моменты сил, которые стремятся вернуть тело в положение равновесия.

Потенциальная энергия шарика в лю­бой точке вогнутой поверхности больше, чем потенциальная энергия в положении равновесия (в точке О ). Например, в точ­ке А (рис. 88) потенциальная энергия больше, чем потенциальная энергия в точке О на величину Е п (А ) - Е п (0) = mgh .

В положении устойчивого равновесия потенци- альная энергия тела имеет мини­мальное значение по сравнению с соседними положениями.

2. Шарик на выпуклой поверхности находится в положении равновесия в верхней точке (рис. 89), где сила тяжести уравновешена силой реакции опо­ры . Если отклонить шарик от точки О , то возникает сила , направлен­ная в сторону от положения равновесия.

Под действием силы шарик будет уда­ляться от точки О . Это пример неустой­чивого равновесия.

Н е у с т о й ч и в ы м называется такой вид равновесия, при выходе из которого возникают силы или моменты сил, которые стремятся увести тело ещё дальше от положения равновесия.

Потенциальная энергия шарика на вы­пуклой поверхности имеет наибольшее значение (максимум) в точке О . В любой другой точке потенциальная энергия ша­рика меньше. Например, в точке А (рис. 89) потенциальная энергия меньше, чем в точке О , на величину Е п (0 ) - Е п (А ) = mgh .

В положении неустойчивого равнове­сия потен-циальная энергия тела имеет максимальное значение по сравнению с соседними положениями.

3. На горизонтальной поверхности силы, действующие на шарик, уравновешены в любой точке: (рис. 90). Если, например, сместить шарик из точки О в точку А , то равнодействующая сил
тяжести и реакции опоры по-прежнему равна нулю, т.е. в точке А шарик также находится в положении равновесия.

Это пример безразличного равнове­сия.

Б е з р а з л и ч н ы м называется такой вид равновесия, при выходе из которого тело остаётся в новом положении в равновесии.

Потенциальная энергия шарика во всех точках горизонтальной поверхности (рис. 90) одинакова.

В положениях безразличного равнове­сия потен- циальная энергия одинакова.

Иногда на практике приходится опре­делять вид равновесия тел различной формы в поле сил тяжести. Для этого нужно запомнить следующие правила:

1. Тело может находиться в положении устой- чивого равновесия, если точка приложения силы реакции опоры находится выше центра тяжести тела. При этом эти точки лежат на одной вертикали (рис. 91).

На рис. 91, б роль силы реакции опоры играет сила натяжения нити .

2. Когда точка приложения силы реакции опоры находится ниже центра тяжести, возможны два случая:

Если опора точечная (площадь поверхности опоры мала), то равновесие неустойчивое (рис. 92). При небольшом отклонении от положения равновесия момент сил и стремится увеличить от­клонение от начального положения;

Если опора неточечная (площадь поверх- ности опоры велика), то положение равновесия устой- чивое в том случае, когда линия действия силы тяжести АА " пересекает поверхность опоры тела
(рис. 93). В этом случае при небольшом отклонении тела от положения равновесия возникает момент сил и , кото­рый возвращает тело в первоначальное положение.

??? ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:

1. Как изменяется положение центра тяжести тела, если тело вывести из положения: а) устой­чивого равновесия? б) неустойчивого равновесия?

2. Как изменяется потенциальная энергия те­ла, если изменить его положение при безразлич­ном равновесии?

В состоянии равновесия тело находится в покое (вектор скорости равен нулю) в выбранной системе отсчета либо движется равномерно прямолинейно или вращается без касательного ускорения.

Определение через энергию системы [ | ]

Так как энергия и силы связаны фундаментальными зависимостями , это определение эквивалентно первому. Однако определение через энергию может быть расширено для того, чтобы получить информацию об устойчивости положения равновесия.

Виды равновесия [ | ]

Различают три вида равновесия тел: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Равновесие называется устойчивым, если после небольших внешних воздействий тело возвращается в исходное состояние равновесия. Равновесие называется неустойчивым, если при небольшом смещении тела из положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил отлична от нуля и направлена от положения равновесия. Равновесие называется безразличным, если при небольшом смещении тела из положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил равна нулю .

Приведём пример для системы с одной степенью свободы . В этом случае достаточным условием положения равновесия будет являться наличие локального экстремума потенциальной энергии в исследуемой точке. Как известно, условием локального экстремума дифференцируемой функции является равенство нулю её первой производной . Чтобы определить, когда эта точка является минимумом или максимумом, необходимо проанализировать её вторую производную. Устойчивость положения равновесия характеризуется следующими вариантами:

• неустойчивое равновесие;
• устойчивое равновесие;
• безразличное равновесие.

Неустойчивое равновесие [ | ]

В случае, когда вторая производная отрицательна, потенциальная энергия системы находится в состоянии локального максимума. Это означает, что положение равновесия неустойчиво . Если система будет смещена на небольшое расстояние, то она продолжит своё движение за счёт сил, действующих на систему. Т. е. при выведении тела из равновесия оно не возвращается на исходную позицию.

Устойчивое равновесие [ | ]

Вторая производная > 0: потенциальная энергия в состоянии локального минимума, положение равновесия устойчиво (см. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия). Если систему сместить на небольшое расстояние, она вернётся назад в состояние равновесия. Равновесие устойчиво, если центр тяжести тела занимает наинизшее положение по сравнению со всеми возможными соседними положениями. При таком равновесии выведенное из равновесия тело возвращается на первоначальное место.

Безразличное равновесие [ | ]

Вторая производная = 0: в этой области энергия не варьируется, а положение равновесия является безразличным . Если система будет смещена на небольшое расстояние, она останется в новом положении. Если отклонить или сдвинуть тело оно останется в равновесии.

Устойчивость в системах с большим числом степеней свободы [ | ]

Если система имеет несколько степеней свободы, то может оказаться, что при отклонениях вдоль конкретного направления равновесие устойчиво, но если равновесие неустойчиво хотя бы в одном направлении, то оно неустойчиво и в целом. Простейшим примером такой ситуации является точка равновесия типа «седловина» или «перевал».

Равновесие системы с несколькими степенями свободы будет устойчивым только в том случае, если оно устойчиво по всем направлениям.

Равновесие называют устойчивым , если после небольших внешних воздействий тело возвращается в исходное состояние равновесия. Это происходит, если при небольшом смещении тела в любом направлении от первоначального положения равнодействующая сил, действующих на тело, становится отличной от нуля и направлена к положению равновесия.

Равновесие называется неустойчивым , если при небольшом смещении тела из положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил отлична от нуля и направлена от положения равновесия.

Равновесия называется безразличным , если при небольших смещениях тела из первоначального положения равнодействующая приложенных к телу сил остается равной нулю.

Центр тяжести

Центром тяжести называется точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом расположении тела.

Третий закон Ньютона

Тела действуют друг на друга с силами, вдоль одной прямой, равными по модулю и противоположными по направлению. Эти силы имеют одинаковую физическую природу; они приложены к разным телам и поэтому друг друга не компенсируют.

Сила упругости. Закон Гука

Сила упругости возникает в результате деформации тела и направлена в сторону, противоположную деформации.

При малых по сравнению с размерами тел деформациях сила упругости прямо пропорциональна величине абсолютной деформации тела. В проекции на направление деформирования сила упругости равна

Где x– абсолютная деформация,k– коэффициент жесткости.

Этот закон был установлен экспериментально английским ученым Робертом Гуком и называется законом Гука:

Сила упругости, возникающая при деформации тела, пропорциональна удлинению тела и направлена в сторону, противоположную направлению перемещений частиц тела при деформации.

Коэффициент пропорциональности в законе Гука называется жесткостью тела. Он зависит от формы и размеров тела и от материала, из которого оно изготовлено (уменьшается с увеличением длины и с уменьшением площади поперечного сечения – см. Молекулярную Физику).

В Си жесткость выражается в ньютонах на метр :
.

Упругая сила стремится восстановить форму тела, подвергнутого деформации, и приложена к телу, которое эту деформацию вызывает.

Природа силы упругости электромагнитная, т.к. сила упругости возникает в результате стремления электромагнитных сил, действующих между атомами вещества, вернуть атомы вещества в исходное положение при изменении их взаимного положения в результате деформации.

Упругая реакция опоры, нити, подвеса – пассивная сила, действующая всегда перпендикулярно поверхности опоры.

Сила трения. Коэффициент трения скольжения

Сила трения возникает при соприкосновении поверхностей двух тел и всегда препятствует их взаимному перемещению.

Сила, возникающая на границе соприкосновения тел при отсутствии относительного движения называется силой трения покоя . Сила трения покоя – упругая сила, она равна по модуля внешней силе, направленной по касательной к поверхности соприкосновения тел, и противоположна ей по направлению.

При движении одного тела по поверхности другого возникает сила трения скольжения .

Сила трения имеет электромагнитную природу, т.к. возникает благодаря существованию сил взаимодействия между молекулами и атомами соприкасающихся тел – электромагнитных сил.

Сила трения скольжения прямо пропорциональна силе нормального давления (или упругой реакции опоры) и не зависит от площади поверхности соприкосновения тел {закон Кулона}:

, где – коэффициент трения.

Коэффициент трения зависит от рельефа поверхности и всегда меньше единицы: «сдвинуть легче, чем оторвать».