Преобразование обыкновенной дроби в десятичную
Допустим, мы хотим преобразовать обыкновенную дробь 11/4 в десятичную. Проще всего сделать это так:
2∙2∙5∙5 |
Это удалось нам потому, что в данном случае разложение знаменателя на простые множители состоит только из двоек. Мы дополнили это разложение еще двумя пятерками, воспользовались тем, что 10 = 2∙5, и получили десятичную дробь. Подобная процедура возможна, очевидно, тогда и только тогда, когда разложение знаменателя на простые множители не содержит ничего, кроме двоек и пятерок. Если в разложении знаменателя присутствует любое другое простое число, то такую дробь в десятичную преобразовать нельзя. Тем не менее, мы попробуем это сделать, но только другим способом, с которым мы познакомимся на примере всё той же дроби 11/4. Давайте поделим 11 на 4 «уголком»:
В строке ответа мы получили целую часть ( 2 ), и еще у нас есть остаток ( 3 ). Раньше мы деление на этом заканчивали, но теперь мы знаем, что к делимому ( 11 ) можно приписать справа запятую и несколько нулей, что мы теперь мысленно и сделаем. Следом после запятой идет разряд десятых. Ноль, который стоит у делимого в этом разряде, припишем к полученному остатку ( 3 ):
Теперь деление можно продолжать как ни в чем не бывало. Надо только не забыть поставить в строке ответа запятую после целой части:
Теперь приписываем к остатку ( 2 ) ноль, который стоит у делимого в разряде сотых и доводим деление до конца:
В результате получаем, как и раньше,
Попробуем теперь точно таким же способом вычислить, чему равна дробь 27/11:
Мы получили в строке ответа число 2,45, а в строке остатка - число 5 . Но такой остаток нам уже раньше встречался. Поэтому мы уже сразу можем сказать, что, если мы продолжим наше деление «уголком», то следующей цифрой в строке ответа будет 4, затем пойдет цифра 5, потом - снова 4 и снова 5, и так далее, до бесконечности:
27 / 11 = 2,454545454545...
Мы получили так называемую периодическую десятичную дробь с периодом 45. Для таких дробей применяется более компактная запись, в которой период выписывается только один раз, но при этом он заключается в круглые скобки:
2,454545454545... = 2,(45).
Вообще говоря, если делить «уголком» одно натуральное число на другое, записывая ответ в виде десятичной дроби, то возможно только два исхода: (1) либо рано или поздно в строке остатка мы получим ноль, (2) либо там окажется такой остаток, который уже нам раньше встречался (набор возможных остатков ограничен, поскольку все они заведомо меньше делителя). В первом случае результатом деления является конечная десятичная дробь, во втором случае - периодическая.
Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную
Пусть нам дана положительная периодическая десятичная дробь с нулевой целой частью, например:
a = 0,2(45).
Как преобразовать эту дробь обратно в обыкновенную?
Умножим ее на число 10 k , где k - это число цифр, стоящих между запятой и открывающей круглой скобкой, обозначающей начало периода. В данном случае k = 1 и 10 k = 10:
a ∙ 10 k = 2,(45).
Полученный результат умножим на 10 n , где n - «длина» периода, то есть число цифр, заключенных между круглыми скобками. В данном случае n = 2 и 10 n = 100:
a ∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).
Теперь вычислим разность
a ∙ 10 k ∙ 10 n − a ∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).
Поскольку дробные части у уменьшаемого и вычитаемого одинаковы, то у разности дробная часть равна нулю, и мы приходим к простому уравнению относительно a :
a ∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.
Решается это уравнение с помощью следующих преобразований:
a ∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.
a ∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.
245 − 2 |
||
10 ∙ 99 |
Мы специально пока не доводим вычисления до конца, чтобы было наглядно видно, как можно сразу выписать этот результат, опуская промежуточные рассуждения. Уменьшаемое в числителе ( 245 ) - это дробная часть числа
a = 0,2(45)
если в ее записи стереть скобки. Вычитаемое в числителе ( 2 ) - это непериодическая часть числа а , располагающаяся между запятой и открывающей скобкой. Первый сомножитель в знаменателе ( 10 ) - это единица, к которой приписано столько нулей, сколько цифр в непериодической части (k ). Второй сомножитель в знаменателе ( 99 ) - это столько девяток, сколько цифр содержит период (n ).
Теперь наши вычисления можно довести до конца:
Здесь в числителе стоит период, а в знаменателе - столько девяток, сколько цифр в периоде. После сокращения на 9 полученная дробь оказывается равной
Подобным же образом,
Дроби
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Дроби в старших классах не сильно досаждают. До поры до времени. Пока не столкнётесь со степенями с рациональными показателями да логарифмами. А вот там…. Давишь, давишь калькулятор, а он все полное табло каких-то циферок кажет. Приходится головой думать, как в третьем классе.
Давайте уже разберёмся с дробями, наконец! Ну сколько можно в них путаться!? Тем более, это всё просто и логично. Итак, какие бывают дроби?
Виды дробей. Преобразования.
Дроби бывают трёх видов.
1. Обыкновенные дроби , например:
Иногда вместо горизонтальной чёрточки ставят наклонную черту: 1/2, 3/4, 19/5, ну, и так далее. Здесь мы часто будем таким написанием пользоваться. Верхнее число называется числителем , нижнее - знаменателем. Если вы постоянно путаете эти названия (бывает...), скажите себе с выражением фразу: "Ззззз апомни! Ззззз наменатель - вниззззз у!" Глядишь, всё и ззззапомнится.)
Чёрточка, что горизонтальная, что наклонная, означает деление верхнего числа (числителя) на нижнее (знаменатель). И всё! Вместо чёрточки вполне можно поставить знак деления - две точки.
Когда деление возможно нацело, это надо делать. Так, вместо дроби "32/8" гораздо приятнее написать число "4". Т.е. 32 просто поделить на 8.
32/8 = 32: 8 = 4
Я уж и не говорю про дробь "4/1". Которая тоже просто "4". А если уж не делится нацело, так и оставляем, в виде дроби. Иногда приходится обратную операцию проделывать. Делать из целого числа дробь. Но об этом далее.
2. Десятичные дроби , например:
Именно в таком виде нужно будет записывать ответы на задания "В".
3. Смешанные числа , например:
Смешанные числа практически не используются в старших классах. Для того, чтобы с ними работать, их всяко надо переводить в обыкновенные дроби. Но это точно надо уметь делать! А то попадётся такое число в задачке и зависните... На пустом месте. Но мы-то вспомним эту процедуру! Чуть ниже.
Наиболее универсальны обыкновенные дроби . С них и начнём. Кстати, если в дроби стоят всякие логарифмы, синусы и прочие буковки, это ничего не меняет. В том смысле что все действия с дробными выражениями ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями !
Основное свойство дроби.
Итак, поехали! Для начала я вас удивлю. Всё многообразие преобразований дробей обеспечивается одним-единственным свойством! Оно так и называется, основное свойство дроби . Запоминайте: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не изменится. Т.е:
Понятно, что писать можно дальше, до посинения. Синусы и логарифмы пусть вас не смущают, с ними дальше разберёмся. Главное понять, что все эти разнообразные выражения есть одна и та же дробь . 2/3.
А оно нам надо, все эти превращения? Ещё как! Сейчас сами увидите. Для начала употребим основное свойство дроби для сокращения дробей . Казалось бы, вещь элементарная. Делим числитель и знаменатель на одно и то же число и все дела! Ошибиться невозможно! Но... человек - существо творческое. Ошибиться везде может! Особенно, если приходится сокращать не дробь типа 5/10, а дробное выражение со всякими буковками.
Как правильно и быстро сокращать дроби, не делая лишней работы, можно прочитать в особом Разделе 555 .
Нормальный ученик не заморачивается делением числителя и знаменателя на одно и то же число (или выражение)! Он просто зачеркивает всё одинаковое сверху и снизу! Здесь-то и таится типичная ошибка, ляп, если хотите.
Например, надо упростить выражение:
Тут и думать нечего, зачеркиваем букву "а" сверху и двойку снизу! Получаем:
Все правильно. Но реально вы поделили весь числитель и весь знаменатель на "а". Если вы привыкли просто зачеркивать, то, впопыхах, можете зачеркнуть "а" в выражении
и получить снова
Что будет категорически неверно. Потому что здесь весь числитель на "а" уже не делится ! Эту дробь сократить нельзя. Кстати, такое сокращение – это, гм… серьезный вызов преподавателю. Такого не прощают! Запомнили? При сокращении делить надо весь числитель и весь знаменатель!
Сокращение дробей сильно облегчает жизнь. Получится где-нибудь у вас дробь, к примеру 375/1000. И как теперь с ней дальше работать? Без калькулятора? Умножать, скажем, складывать, в квадрат возводить!? А если не полениться, да аккуратненько сократить на пять, да ещё на пять, да ещё... пока сокращается, короче. Получим 3/8! Куда приятнее, правда?
Основное свойство дроби позволяет переводить обыкновенные дроби в десятичные и наоборот без калькулятора ! Это важно на ЕГЭ, верно?
Как переводить дроби из одного вида в другой.
С десятичными дробями всё просто. Как слышится, так и пишется! Скажем, 0,25. Это ноль целых, двадцать пять сотых. Так и пишем: 25/100. Сокращаем (делим числитель и знаменатель на 25), получаем обычную дробь: 1/4. Всё. Бывает, и не сокращается ничего. Типа 0,3. Это три десятых, т.е. 3/10.
А если целых - не ноль? Ничего страшного. Записываем всю дробь без всяких запятых в числитель, а в знаменатель - то, что слышится. Например: 3,17. Это три целых, семнадцать сотых. Пишем в числитель 317, а в знаменатель 100. Получаем 317/100. Ничего не сокращается, значит всё. Это ответ. Элементарно, Ватсон! Из всего сказанного полезный вывод: любую десятичную дробь можно превратить в обыкновенную .
А вот обратное преобразование, обыкновенной в десятичную, некоторые без калькулятора не могут сделать. А надо! Как вы ответ записывать будете на ЕГЭ!? Внимательно читаем и осваиваем этот процесс.
Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. А если в ответе на задание раздела "В" получилось 1/2? Что в ответ писать будем? Там десятичные требуются...
Вспоминаем основное свойство дроби ! Математика благосклонно позволяет умножать числитель и знаменатель на одно и то же число. На любое, между прочим! Кроме нуля, разумеется. Вот и применим это свойство себе на пользу! На что можно умножить знаменатель, т.е. 2 чтобы он стал 10, или 100, или 1000 (поменьше лучше, конечно...)? На 5, очевидно. Смело умножаем знаменатель (это нам надо) на 5. Но, тогда и числитель надо умножить тоже на 5. Это уже математика требует! Получим 1/2 = 1х5/2х5 = 5/10 = 0,5. Вот и всё.
Однако, знаменатели всякие попадаются. Попадётся, например дробь 3/16. Попробуй, сообрази тут, на что 16 умножить, чтоб 100 получилось, или 1000... Не получается? Тогда можно просто разделить 3 на 16. За отсутствием калькулятора делить придётся уголком, на бумажке, как в младших классах учили. Получим 0,1875.
А бывают и совсем скверные знаменатели. Например, дробь 1/3 ну никак не превратишь в хорошую десятичную. И на калькуляторе, и на бумажке, мы получим 0,3333333... Это значит, что 1/3 в точную десятичную дробь не переводится . Так же, как и 1/7, 5/6 и так далее. Много их, непереводимых. Отсюда ещё один полезный вывод. Не каждая обыкновенная дробь переводится в десятичную !
Кстати, это полезная информация для самопроверки. В разделе "В" в ответ надо десятичную дробь записывать. А у вас получилось, например, 4/3. Эта дробь не переводится в десятичную. Это означает, что где-то вы ошиблись по дороге! Вернитесь, проверьте решение.
Итак, с обыкновенными и десятичными дробями разобрались. Осталось разобраться со смешанными числами. Для работы с ними их всяко нужно перевести в обыкновенные дроби. Как это сделать? Можно поймать шестиклассника и спросить у него. Но не всегда шестиклассник окажется под руками... Придётся самим. Это несложно. Надо знаменатель дробной части умножить на целую часть и прибавить числитель дробной части. Это будет числитель обычной дроби. А знаменатель? Знаменатель останется тем же самым. Звучит сложно, но на деле всё элементарно. Смотрим пример.
Пусть в задачке вы с ужасом увидели число:
Спокойно, без паники соображаем. Целая часть - это 1. Единица. Дробная часть - 3/7. Стало быть, знаменатель дробной части - 7. Этот знаменатель и будет знаменателем обыкновенной дроби. Считаем числитель. 7 умножаем на 1 (целая часть) и прибавляем 3 (числитель дробной части). Получим 10. Это будет числитель обыкновенной дроби. Вот и всё. Еще проще это выглядит в математической записи:
Ясненько? Тогда закрепите успех! Переведите в обыкновенные дроби. У вас должно получится 10/7, 7/2, 23/10 и 21/4.
Обратная операция - перевод неправильной дроби в смешанное число - в старших классах редко требуется. Ну если уж... И если Вы - не в старших классах - можете заглянуть в особый Раздел 555 . Там же, кстати, и про неправильные дроби узнаете.
Ну вот, практически и всё. Вы вспомнили виды дробей и поняли, как переводить их из одного вида в другой. Остаётся вопрос: зачем это делать? Где и когда применять эти глубокие познания?
Отвечаю. Любой пример сам подсказывает необходимые действия. Если в примере смешались в кучу обыкновенные дроби, десятичные, да ещё и смешанные числа, переводим всё в обыкновенные дроби. Это всегда можно сделать . Ну а если написано, что-нибудь типа 0,8 + 0,3, то так и считаем, безо всякого перевода. Зачем нам лишняя работа? Мы выбираем тот путь решения, который удобен нам !
Если в задании сплошь десятичные дроби, но гм... злые какие-то, перейдите к обыкновенным, попробуйте! Глядишь, всё и наладится. Например, придется в квадрат возводить число 0,125. Не так-то просто, если от калькулятора не отвыкли! Мало того, что числа перемножать столбиком надо, так ещё думай, куда запятую вставить! В уме точно не получится! А если перейти к обыкновенной дроби?
0,125 = 125/1000. Сокращаем на 5 (это для начала). Получаем 25/200. Ещё раз на 5. Получаем 5/40. О, ещё сокращается! Снова на 5! Получаем 1/8. Легко возводим в квадрат (в уме!) и получаем 1/64. Всё!
Подведём итоги этого урока.
1. Дроби бывают трёх видов. Обыкновенные, десятичные и смешанные числа.
2. Десятичные дроби и смешанные числа всегда можно перевести в обыкновенные дроби. Обратный перевод не всегда возможен.
3. Выбор вида дробей для работы с заданием зависит от этого самого задания. При наличии разных видов дробей в одном задании, самое надёжное - перейти к обыкновенным дробям.
Теперь можно потренироваться. Для начала переведите эти десятичные дроби в обыкновенные:
3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012
Должны получиться вот такие ответы (в беспорядке!):
На этом и завершим. В этом уроке мы освежили в памяти ключевые моменты по дробям. Бывает, правда, что освежать особо нечего...) Если уж кто совсем крепко забыл, или ещё не освоил... Тем можно пройти в особый Раздел 555 . Там все основы подробненько расписаны. Многие вдруг всё понимать начинают. И решают дроби с лёту).
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Вот, казалось бы, перевод десятичной дроби в обычную — элементарная тема, но многие ученики её не понимают! Поэтому сегодня мы подробно рассмотрим сразу несколько алгоритмов, с помощью которых вы разберётесь с любыми дробями буквально за секунду.
Напомню, что существует как минимум две формы записи одной и той же дроби: обыкновенная и десятичная. Десятичные дроби — это всевозможные конструкции вида 0,75; 1,33; и даже −7,41. А вот примеры обыкновенных дробей, которые выражают те же самые числа:
Сейчас разберёмся: как от десятичной записи перейти к обычной? И самое главное: как сделать это максимально быстро?
Основной алгоритм
На самом деле существует как минимум два алгоритма. И мы сейчас рассмотрим оба. Начнём с первого — самого простого и понятного.
Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо выполнить три шага:
Важное замечание по поводу отрицательных чисел. Если в исходном примере перед десятичной дробью стоит знак «минус», то и на выходе перед обыкновенной дробью тоже должен стоять «минус». Вот ещё несколько примеров:
Примеры перехода от десятичной записи дробей к обычнойОсобое внимание хотелось бы обратить на последний пример. Как видим, в дроби 0,0025 присутствует много нулей после запятой. Из-за этого приходится аж целых четыре раза умножать числитель и знаменатель на 10. Можно ли как-то упростить алгоритм в этом случае?
Конечно, можно. И сейчас мы рассмотрим альтернативный алгоритм — он чуть более сложен для восприятия, но после небольшой практики работает намного быстрее стандартного.
Более быстрый способ
В данном алгоритме также 3 шага. Чтобы получить обычную дробь из десятичной, нужно выполнить следующее:
- Посчитать, сколько цифр стоит после запятой. Например, у дроби 1,75 таких цифр две, а у 0,0025 — четыре. Обозначим это количество буквой $n$.
- Переписать исходное число в виде дроби вида $\frac{a}{{{10}^{n}}}$, где $a$ — это все цифры исходной дроби (без «стартовых» нулей слева, если они есть), а $n$ — то самое количество цифр после запятой, которое мы посчитали на первом шаге. Другими словами, необходимо разделить цифры исходной дроби на единицу с $n$ нулями.
- По возможности сократить полученную дробь.
Вот и всё! На первый взгляд, эта схема сложнее предыдущей. Но на самом деле он и проще, и быстрее. Судите сами:
Как видим, в дроби 0,64 после запятой стоит две цифры — 6 и 4. Поэтому $n=2$. Если убрать запятую и нули слева (в данном случае — всего один ноль), то получим число 64. Переходим ко второму шагу: ${{10}^{n}}={{10}^{2}}=100$, поэтому в знаменателе стоит именно сто. Ну а затем остаётся лишь сократить числитель и знаменатель.:)
Ещё один пример:
Здесь всё чуть сложнее. Во-первых, цифр после запятой уже 3 штуки, т.е. $n=3$, поэтому делить придётся на ${{10}^{n}}={{10}^{3}}=1000$. Во-вторых, если убрать из десятичной записи запятую, то мы получим вот это: 0,004 → 0004. Вспомним, что нули слева надо убрать, поэтому по факту у нас число 4. Дальше всё просто: делим, сокращаем и получаем ответ.
Наконец, последний пример:
Особенность этой дроби — наличие целой части. Поэтому на выходе у нас получается неправильная дробь 47/25. Можно, конечно, попытаться разделить 47 на 25 с остатком и таким образом вновь выделить целую часть. Но зачем усложнять себе жизнь, если это можно сделать ещё на этапе преобразований? Что ж, разберёмся.
Что делать с целой частью
На самом деле всё очень просто: если мы хотим получить правильную дробь, то необходимо убрать из неё целую часть на время преобразований, а затем, когда получим результат, вновь дописать её справа перед дробной чертой.
Например, рассмотрим то же самое число: 1,88. Забьём на единицу (целую часть) и посмотрим на дробь 0,88. Она легко преобразуется:
Затем вспоминаем про «утерянную» единицу и дописываем её спереди:
\[\frac{22}{25}\to 1\frac{22}{25}\]
Вот и всё! Ответ получился тем же самым, что и после выделения целой части в прошлый раз. Ещё парочка примеров:
\[\begin{align}& 2,15\to 0,15=\frac{15}{100}=\frac{3}{20}\to 2\frac{3}{20}; \\& 13,8\to 0,8=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\to 13\frac{4}{5}. \\\end{align}\]
В этом и состоит прелесть математики: каким бы путём вы не пошли, если все вычисления выполнены правильно, ответ всегда будет одним и тем же.:)
В заключение хотел бы рассмотреть ещё один приём, который многим помогает.
Преобразования «на слух»
Давайте задумаемся о том, что вообще такое десятичная дробь. Точнее, как мы её читаем. Например, число 0,64 — мы читаем его как «ноль целых, 64 сотых», правильно? Ну, или просто «64 сотых». Ключевое слово здесь — «сотых», т.е. число 100.
А что насчёт 0,004? Это же «ноль целых, 4 тысячных» или просто «четыре тысячных». Так или иначе, ключевое слово — «тысячных», т.е. 1000.
Ну и что в этом такого? А то, что именно эти числа в итоге «всплывают» в знаменателях на втором этапе алгоритма. Т.е. 0,004 — это «четыре тысячных» или «4 разделить на 1000»:
Попробуйте потренироваться сами — это очень просто. Главное — правильно прочесть исходную дробь. Например, 2,5 — это «2 целых, 5 десятых», поэтому
А какое-нибудь 1,125 — это «1 целая, 125 тысячных», поэтому
В последнем примере, конечно, кто-то возразит, мол, не всякому ученику очевидно, что 1000 делится на 125. Но здесь нужно помнить, что 1000 = 10 3 , а 10 = 2 ∙ 5, поэтому
\[\begin{align}& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end{align}\]
Таким образом, любая степень десятки раскладывается лишь на множители 2 и 5 — именно эти множители нужно искать и в числителе, чтобы в итоге всё сократилось.
На этом урок окончен. Переходим к более сложной обратной операции — см. «
Мы уже говорили, что дроби бывают обыкновенные и десятичные . На данный момент мы немного изучили обыкновенные дроби. Мы узнали, что обыкновенные дроби бывают правильные и неправильные. Также мы узнали, что обыкновенные дроби можно сокращать, складывать, вычитать умножать и делить. И ещё мы узнали, что бывают так называемые смешанные числа, которые состоят из целой и дробной части.
Мы ещё не до конца изучили обыкновенные дроби. Есть немало тонкостей и деталей, о которых следует поговорить, но уже сегодня мы начнём изучать десятичные дроби, поскольку обыкновенные и десятичные дроби достаточно часто приходиться сочетать. То есть, при решении задач приходиться применять оба вида дробей.
Этот урок возможно покажется сложным и непонятным. Это вполне нормально. Такого рода уроки требуют, чтобы их именно изучали, а не просматривали поверхностно.
Содержание урокаВыражение величин в дробном виде
Иногда удобно бывает показать что-либо в дробном виде. Например, одна десятая часть дециметра записывается так:
Это выражение означает, что один дециметр был разделён на десять равных частей, и от этих десяти частей была взята одна часть. А одна часть из десяти в данном случае равна одному сантиметру:
Рассмотрим следующий пример. Показать 6 см и ещё 3 мм в сантиметрах в дробном виде.
Итак, требуется показать 6 см и 3 мм в сантиметрах, но в дробном виде. 6 целых сантиметров у нас уже есть:
Но осталось еще 3 миллиметра. Как показать эти 3 миллиметра, при этом в сантиметрах? На помощь приходят дроби. Один сантиметр это десять миллиметров. Три миллиметра это три части из десяти. А три части из десяти записываются как см
Выражение см означает, что один сантиметр был разделён на десять равных частей, и от этих десяти частей взяли три части.
В результате имеем шесть целых сантиметров и три десятых сантиметра:
При этом 6 показывает число целых сантиметров, а дробь — число дробных. Эта дробь читается как «шесть целых и три десятых сантиметра» .
Дроби, в знаменателе которых присутствуют числа 10, 100, 1000 можно записывать без знаменателя. Сначала пишут целую часть, а потом числитель дробной части. Целая часть отделяется от числителя дробной части запятой.
Например, запишем без знаменателя. Сначала записываем целую часть. Целая часть это 6
Целая часть записана. Сразу же после написания целой части ставим запятую:
И теперь записываем числитель дробной части. В смешанном числе числитель дробной части это число 3. Записываем после запятой тройку:
Любое число, которое представляется в таком виде, называется десятичной дробью .
Поэтому показать 6 см и ещё 3 мм в сантиметрах можно с помощью десятичной дроби:
6,3 см
Выглядеть это будет следующим образом:
На самом деле десятичные дроби это те же самые обыкновенные дроби и смешанные числа. Особенность таких дробей заключается в том, что в знаменателе их дробной части стоят числа 10, 100, 1000 или 10000.
Как и смешанное число, десятичная дробь имеет целую часть и дробную. Например, в смешанном числе целая часть это 6, а дробная часть это .
В десятичной дроби 6,3 целая часть это число 6, а дробная часть это числитель дроби , то есть число 3.
Бывает и так, что обыкновенные дроби в знаменателе которых числа 10, 100, 1000 даны без целой части. Например, дробь дана без целой части. Чтобы записать такую дробь как десятичную, сначала записывают 0, затем ставят запятую и записывают числитель дробной части. Дробь без знаменателя будет записана следующим образом:
Читается как «ноль целых, пять десятых» .
Перевод смешанных чисел в десятичные дроби
Когда мы записываем смешанные числа без знаменателя, мы тем самым переводим их в десятичные дроби. При переводе обыкновенных дробей в десятичные дроби нужно знать несколько моментов, о которых мы сейчас поговорим.
После того, как записана целая часть, обязательно нужно посчитать количество нулей в знаменателе дробной части, поскольку количество нулей дробной части и количество цифр после запятой в десятичной дроби должно быть одинаковым. Что это значит? Рассмотрим следующий пример:
Сначала
И можно бы сразу записать числитель дробной части и десятичная дробь готова, но обязательно нужно посчитать количество нулей в знаменателе дробной части.
Итак, считаем количество нулей в дробной части смешанного числа . В знаменателе дробной части один ноль. Значит в десятичной дроби после запятой будет одна цифра и это цифра будет числитель дробной части смешанного числа , то есть число 2
Таким образом, смешанное число при переводе в десятичную дробь обращается в 3,2.
Эта десятичная дробь читается так:
«Три целых, две десятых»
«Десятых» потому что в дробной части смешанного числа находится число 10.
Пример 2. Перевести смешанное число в десятичную дробь.
Записываем целую часть и ставим запятую:
И можно бы сразу записать числитель дробной части и получить десятичную дробь 5,3 но правило говорит, что после запятой должно быть столько цифр сколько нулей в знаменателе дробной части смешанного числа . А мы видим, что в знаменателе дробной части два нуля. Значит в нашей десятичной дроби после запятой должно быть две цифры, а не одна.
В таких случаях числитель дробной части нужно немного видоизменить: добавить ноль перед числителем, то есть перед числом 3
Теперь можно перевести это смешанное число в десятичную дробь. Записываем целую часть и ставим запятую:
И записываем числитель дробной части:
Десятичная дробь 5,03 читается так:
«Пять целых, три сотых»
«Сотых» потому что в знаменателе дробной части смешанного числа находится число 100.
Пример 3. Перевести смешанное число в десятичную дробь.
Из предыдущих примеров мы узнали, что для успешного перевода смешанного числа в десятичную дробь, количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в знаменателе дробной части должно быть одинаковым.
Перед переводом смешанного числа в десятичную дробь, его дробную часть нужно немного видоизменить, а именно сделать так, чтобы количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в знаменателе дробной части было одинаковым.
В первую очередь смотрим на количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там три нуля:
Наша задача организовать в числителе дробной части три цифры. Одна цифра у нас уже есть — это число 2. Осталось добавить ещё две цифры. Ими будут два нуля. Добавим их перед число 2. В результате количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе станет одинаковым:
Теперь можно заняться переводом этого смешанного числа в десятичную дробь. Записываем сначала целую часть и ставим запятую:
и сразу записываем числитель дробной части
3,002
Видим, что количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дробной части смешанного числа одинаково.
Десятичная дробь 3,002 читается так:
«Три целых, две тысячных»
«Тысячных» потому что в знаменателе дробной части смешанного числа находится число 1000.
Перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби
Обыкновенные дроби, у которых в знаменателе числа 10, 100, 1000 или 10000, тоже можно перевести в десятичные дроби. Поскольку у обыкновенной дроби целая часть отсутствует, сначала записывают 0, затем ставят запятую и записывают числитель дробной части.
Здесь также количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе должно быть одинаковым. Поэтому следует быть внимательным.
Пример 1.
Целая часть отсутствует, значит сначала записываем 0 и ставим запятую:
Теперь смотрим на количество нулей в знаменателе. Видим, что там один ноль. И в числителе одна цифра. Значит можно спокойно продолжить десятичную дробь, записав после запятой число 5
В полученной десятичной дроби 0,5 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.
Десятичная дробь 0,5 читается так:
«Ноль целых, пять десятых»
Пример 2. Перевести обыкновенную дробь в десятичную дробь.
Целая часть отсутствует. Записываем сначала 0 и ставим запятую:
Теперь смотрим на количество нулей в знаменателе. Видим, что там два нуля. А в числителе только одна цифра. Чтобы сделать количество цифр и количество нулей одинаковым, добавим в числителе перед числом 2 один ноль. Тогда дробь примет вид . Теперь количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Значит можно продолжить десятичную дробь:
В полученной десятичной дроби 0,02 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.
Десятичная дробь 0,02 читается так:
«Ноль целых, две сотых».
Пример 3. Перевести обыкновенную дробь в десятичную дробь.
Записываем 0 и ставим запятую:
Теперь считаем количество нулей в знаменателе дроби . Видим, что там пять нулей, а в числителе только одна цифра. Чтобы сделать количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаковым, нужно в числителе перед числом 5 дописать четыре нуля:
Теперь количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Значит можно продолжить десятичную дробь. Записываем после запятой числитель дроби
В полученной десятичной дроби 0,00005 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.
Десятичная дробь 0,00005 читается так:
«Ноль целых, пять стотысячных».
Перевод неправильных дробей в десятичную дробь
Неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Встречаются неправильные дроби, у которых в знаменателе находятся числа 10, 100, 1000 или 10000. Такие дроби можно переводить в десятичные дроби. Но перед переводом в десятичную дробь, у таких дробей необходимо выделять целую часть.
Пример 1.
Дробь является неправильной дробью. Чтобы перевести такую дробь в десятичную дробь, нужно в первую очередь выделить у нее целую часть. Вспоминаем, как выделять целую часть у неправильных дробей. Если забыли, советуем вернуться к и изучить его.
Итак, выделим целую часть в неправильной дроби . Напомним, что дробь означает деление — в данном случае деление числа 112 на число 10
Посмотрим на этот рисунок и соберём новое смешанное число, подобно детскому конструктору. Число 11 будет целой частью, число 2 — числителем дробной части, число 10 — знаменателем дробной части.
Мы получили смешанное число . Его и переведём в десятичную дробь. А как переводить такие числа в десятичные дроби мы уже знаем. Сначала записываем целую часть и ставим запятую:
Теперь считаем количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там один ноль. И в числителе дробной части одна цифра. Значит количество нулей в знаменателе дробной части и количество цифр в числителе дробной части одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать числитель дробной части после запятой:
В полученной десятичной дроби 11,2 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.
Значит неправильная дробь при переводе в десятичную дробь обращается в 11,2
Десятичная дробь 11,2 читается так:
«Одиннадцать целых, две десятых».
Пример 2. Перевести неправильную дробь в десятичную дробь.
Это неправильная дробь, поскольку числитель больше знаменателя. Но её можно перевести в десятичную дробь, поскольку в знаменателе находится число 100.
В первую очередь выделим целую часть этой дроби. Для этого разделим 450 на 100 уголком:
Соберём новое смешанное число — получим . А как переводить смешанные числа в десятичные дроби мы уже знаем.
Записываем целую часть и ставим запятую:
Теперь считаем количество нулей в знаменателе дробной части и количество цифр в числителе дробной части. Видим, что количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать числитель дробной части после запятой:
В полученной десятичной дроби 4,50 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена верно.
Значит неправильная дробь при переводе в десятичную дробь обращается в 4,50
При решении задач, если в конце десятичной дроби оказываются нули, их можно отбросить. Давайте и мы отбросим ноль в нашем ответе. Тогда мы получим 4,5
Это одна из интересных особенностей десятичных дробей. Она заключается в том, что нули которые стоят в конце дроби, не придают этой дроби никакого веса. Другими словами, десятичные дроби 4,50 и 4,5 равны. Поставим между ними знак равенства:
4,50 = 4,5
Возникает вопрос: а почему так происходит? Ведь на вид 4,50 и 4,5 разные дроби. Весь секрет кроется в основном свойстве дроби, котором мы изучали ранее. Мы попробуем доказать, почему равны десятичные дроби 4,50 и 4,5, но после изучения следующей темы, которая называется «перевод десятичной дроби в смешанное число».
Перевод десятичной дроби в смешанное число
Любая десятичная дробь может быть обратно переведена в смешанное число. Для этого достаточно уметь читать десятичные дроби. Например, переведём 6,3 в смешанное число. 6,3 это шесть целых и три десятых. Записываем сначала шесть целых:
и рядом три десятых:
Пример 2. Перевести десятичную дробь 3,002 в смешанное число
3,002 это три целых и две тысячных. Записываем сначала три целых
и рядом записываем две тысячных:
Пример 3. Перевести десятичную дробь 4,50 в смешанное число
4,50 это четыре целых и пятьдесят сотых. Записываем четыре целых
и рядом пятьдесят сотых:
Кстати, давайте вспомним последний пример из предыдущей темы. Мы сказали, что десятичные дроби 4,50 и 4,5 равны. Также мы сказали, что ноль можно отбросить. Попробуем доказать, что десятичные 4,50 и 4,5 равны. Для этого переведем обе десятичные дроби в смешанные числа.
После перевода в смешанное число десятичная дробь 4,50 обращается в , а десятичная дробь 4,5 обращается в
Имеем два смешанных числа и . Переведём эти смешанные числа в неправильные дроби:
Теперь имеем две дроби и . Настало время вспомнить основное свойство дроби, которое говорит, что при умножении (или делении) числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, значение дроби не изменяется.
Давайте разделим первую дробь на 10
Получили , а это вторая дробь. Значит и равны между собой и равны одному и тому же значению:
Попробуйте на калькуляторе разделить сначала 450 на 100, а затем 45 на 10. Забавная штука получится.
Перевод десятичной дроби в обыкновенную дробь
Любая десятичная дробь может быть обратно переведена в обыкновенную дробь. Для этого опять же достаточно уметь читать десятичные дроби. Например, переведём 0,3 в обыкновенную дробь. 0,3 это ноль целых и три десятых. Записываем сначала ноль целых:
и рядом три десятых 0 . Ноль по традиции не записывают, поэтому окончательный ответ будет не 0, а просто .
Пример 2. Перевести десятичную дробь 0,02 в обыкновенную дробь.
0,02 это ноль целых и две сотых. Ноль по не записываем, поэтому сразу записываем две сотых
Пример 3. Перевести 0,00005 в обыкновенную дробь
0,00005 это ноль целых и пять сто тысячных. Ноль не записываем, поэтому сразу записываем пять сто тысячных
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Материалов по дробям и изучать последовательно. Ниже для вас подробная информация с примерами и пояснениями.
1. Смешанное число в обыкновенную дробь. Запишем в общем виде число:
Запоминаем простое правило – целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель, то есть:
Примеры:
2. Наоборот, обыкновенную дробь в смешанное число. *Конечно, это возможно сделать только с неправильной дробью (когда числитель больше знаменателя).
При «небольших» числах никаких действий, в общем, и не нужно делать, результат «видно» сразу, например, дроби:
*Подробнее:
15:13 = 1 остаток 2
4:3 = 1 остаток 1
9:5 = 1 остаток 4
А вот если числа будут более, то без вычислений не обойтись. Здесь всё просто – делим уголком числитель на знаменатель до тех пор пока остаток не получится менее делителя. Схема деления:
Например:
*Числитель у нас – это делимое, знаменатель – это делитель.
Получаем целую часть (неполное частное) и остаток. Записываем – целое, затем дробь (в числителе остаток, а знаменатель оставляем тот же):
3. Десятичную переводим в обыкновенную.
Частично в первом пункте, где рассказывали про десятичные дроби мы уже коснулись этого. Как слышим так и записываем. Например — 0,3; 0,45; 0,008; 4,38; 10,00015
Первые три дроби у нас без целой части. А четвёртая и пятая её имеют, переведём их в обыкновенные, это делать уже умеем:
*Мы видим, что дроби можно ещё и сократить, например 45/100 =9/20, 38/100=19/50 и другие, но мы здесь делать этого не будем. По сокращению вас ожидает отдельный пункт ниже, где подробно всё разберём.
4. Обыкновенную переводим в десятичную.
Тут не всё так просто. По каким-то дробям сразу видно и ясно, что с ней сделать, чтобы она стала десятичной, например:
Используем наше замечательное основное свойство дроби – умножаем числитель и знаменатель соответственно на 5, 25, 2, 5, 4, 2, получим:
Если имеется целая часть, то тоже ничего сложного:
Умножаем дробную часть соответственно на 2, 25, 2 и 5, получим:
А есть такие, по которым без опыта и не определить, что их можно перевести в десятичные, например:
На какие числа умножать числитель и знаменатель?
Тут опять на помощь приходит проверенный способ – деление уголком, способ универсальный, им для перевода обыкновенной дроби в десятичную можно пользоваться всегда:
Так вы сможете всегда определить переводится ли дробь в десятичную. Дело в том, что не каждую обыкновенную дробь можно перевести в десятичную, например такие как 1/9, 3/7, 7/26 не переводятся. А что же тогда получается за дробь при делении 1 на 9, 3 на 7, 5 на 11? Отвечаю – бесконечная десятичная (говорили о них в пункте 1). Разделим:
На этом всё! Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.