Практическое применение преобразования Фурье для анализа сигналов. Введение для начинающих. Преобразование фурье

Этот ряд может быть также записан в виде:

(2),
где , k-я комплексная амплитуда.

Связь между коэффициентами (1) и (3) выражается следующими формулами:

Отметим, что все эти три представления ряда Фурье совершенно равнозначны. Иногда при работе с рядами Фурье бывает удобнее использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента, то есть использовать преобразование Фурье в комплексной форме. Но нам удобно использовать формулу (1), где ряд Фурье представлен в виде суммы косинусоид с соответствующими амплитудами и фазами. В любом случае неправильно говорить, что результатом преобразования Фурье действительного сигнала будут комплексные амплитуды гармоник. Как правильно говорится в Вики «Преобразование Фурье (?) - операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию, также вещественной переменной.»

Итого:
Математической основой спектрального анализа сигналов является преобразование Фурье.

Преобразование Фурье позволяет представить непрерывную функцию f(x) (сигнал), определенную на отрезке {0, T} в виде суммы бесконечного числа (бесконечного ряда) тригонометрических функций (синусоид и\или косинусоид) с определёнными амплитудами и фазами, также рассматриваемых на отрезке {0, T}. Такой ряд называется рядом Фурье.

Отметим еще некоторые моменты, понимание которых требуется для правильного применения преобразования Фурье к анализу сигналов. Если рассмотреть ряд Фурье (сумму синусоид) на всей оси Х, то можно увидеть, что вне отрезка {0, T} функция представленная рядом Фурье будет будет периодически повторять нашу функцию.

Например, на графике рис.7 исходная функция определена на отрезке {-T\2, +T\2}, а ряд Фурье представляет периодическую функцию, определенную на всей оси х.

Это происходит потому, что синусоиды сами являются периодическими функциями, соответственно и их сумма будет периодической функцией.

рис.7 Представление непериодической исходной функции рядом Фурье

Таким образом:

Наша исходная функция - непрерывная, непериодическая, определена на некотором отрезке длиной T.
Спектр этой функции - дискретный, то есть представлен в виде бесконечного ряда гармонических составляющих - ряда Фурье.
По факту, рядом Фурье определяется некоторая периодическая функция, совпадающая с нашей на отрезке {0, T}, но для нас эта периодичность не существенна.

Периоды гармонических составляющих кратны величине отрезка {0, T}, на котором определена исходная функция f(x). Другими словами, периоды гармоник кратны длительности измерения сигнала. Например, период первой гармоники ряда Фурье равен интервалу Т, на котором определена функция f(x). Период второй гармоники ряда Фурье равен интервалу Т/2. И так далее (см. рис. 8).

рис.8 Периоды (частоты) гармонических составляющих ряда Фурье (здесь Т=2?)

Соответственно, частоты гармонических составляющих кратны величине 1/Т. То есть частоты гармонических составляющих Fk равны Fk= к\Т, где к пробегает значения от 0 до?, например к=0 F0=0; к=1 F1=1\T; к=2 F2=2\T; к=3 F3=3\T;… Fk= к\Т (при нулевой частоте - постоянная составляющая).

Пусть наша исходная функция, представляет собой сигнал, записанный в течение Т=1 сек. Тогда период первой гармоники будет равен длительности нашего сигнала Т1=Т=1 сек и частота гармоники равна 1 Гц. Период второй гармоники будет равен длительности сигнала, деленной на 2 (Т2=Т/2=0,5 сек) и частота равна 2 Гц. Для третьей гармоники Т3=Т/3 сек и частота равна 3 Гц. И так далее.

Шаг между гармониками в этом случае равен 1 Гц.

Таким образом сигнал длительностью 1 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 1 Гц.
Чтобы увеличить разрешение в 2 раза до 0,5 Гц - надо увеличить длительность измерения в 2 раза - до 2 сек. Сигнал длительностью 10 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 0,1 Гц. Других способов увеличить разрешение по частоте нет.

Существует способ искусственного увеличения длительности сигнала путем добавления нулей к массиву отсчетов. Но реальную разрешающую способность по частоте он не увеличивает.

3. Дискретные сигналы и дискретное преобразование Фурье

С развитием цифровой техники изменились и способы хранения данных измерений (сигналов). Если раньше сигнал мог записываться на магнитофон и храниться на ленте в аналоговом виде, то сейчас сигналы оцифровываются и хранятся в файлах в памяти компьютера в виде набора чисел (отсчетов).

Обычная схема измерения и оцифровки сигнала выглядит следующим образом.

рис.9 Схема измерительного канала

Сигнал с измерительного преобразователя поступает на АЦП в течение периода времени Т. Полученные за время Т отсчеты сигнала (выборка) передаются в компьютер и сохраняются в памяти.

рис.10 Оцифрованный сигнал - N отсчетов полученных за время Т

Какие требования выдвигаются к параметрам оцифровки сигнала? Устройство, преобразующее входной аналоговый сигнал в дискретный код (цифровой сигнал) называется аналого-цифровой преобразователь (АЦП, англ. Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Одним из основных параметров АЦП является максимальная частота дискретизации (или частота семплирования, англ. sample rate) - частота взятия отсчетов непрерывного во времени сигнала при его дискретизации. Измеряется в герцах. ((Wiki))

Согласно теореме Котельникова, если непрерывный сигнал имеет спектр, ограниченный частотой Fмакс, то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым через интервалы времени , т.е. с частотой Fd ? 2*Fмакс, где Fd - частота дискретизации; Fмакс - максимальная частота спектра сигнала. Другими слова частота оцифровки сигнала (частота дискретизации АЦП) должна как минимум в 2 раза превышать максимальную частоту сигнала, который мы хотим измерить.

А что будет, если мы будем брать отсчеты с меньшей частотой, чем требуется по теореме Котельникова?

В этом случае возникает эффект «алиасинга» (он же стробоскопический эффект, муаровый эффект), при котором сигнал высокой частоты после оцифровки превращается в сигнал низкой частоты, которого на самом деле не существует. На рис. 5 красная синусоида высокой частоты - это реальный сигнал. Синяя синусоида более низкой частоты - фиктивный сигнал, возникающий вследствие того, за время взятия отсчета успевает пройти больше, чем пол-периода высокочастотного сигнала.

Рис. 11. Появление ложного сигнала низкой частоты при недостаточно высокой частоте дискретизации

Чтобы избежать эффекта алиасинга перед АЦП ставят специальный антиалиасинговый фильтр - ФНЧ (фильтр нижних частот), который пропускает частоты ниже половины частоты дискретизации АЦП, а более высокие частоты зарезает.

Для того, чтобы вычислить спектр сигнала по его дискретным отсчетам используется дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Отметим еще раз, что спектр дискретного сигнала «по определению» ограничен частотой Fмакс, меньшей половине частоты дискретизации Fd. Поэтому спектр дискретного сигнала может быть представлен суммой конечного числа гармоник, в отличие от бесконечной суммы для ряда Фурье непрерывного сигнала, спектр которого может быть неограничен. Согласно теореме Котельникова максимальная частота гармоники должна быть такой, чтобы на нее приходилось как минимум два отсчета, поэтому число гармоник равно половине числа отсчетов дискретного сигнала. То есть если в выборке имется N отсчетов, то число гармоник в спектре будет равно N/2.

Рассмотрим теперь дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

Сравнивая с рядом Фурье

Видим, что они совпадают, за исключением того, что время в ДПФ имеет дискретный характер и число гармоник ограничено величиной N/2 - половиной числа отсчетов.

Формулы ДПФ записываются в безразмерных целых переменных k, s, где k – номера отсчетов сигнала, s – номера спектральных составляющих.
Величина s показывает количество полных колебаний гармоники на периоде Т (длительности измерения сигнала). Дискретное преобразование Фурье используется для нахождения амплитуд и фаз гармоник численным методом, т.е. «на компьютере»

Возвращаясь к результатам, полученным в начале. Как уже было сказано выше, при разложении в ряд Фурье непериодической функции (нашего сигнала), полученный ряд Фурье фактически соответствует периодической функции с периодом Т. (рис.12).

рис.12 Периодическая функция f(x) с периодом Т0, с периодом измерения Т>T0

Как видно на рис.12 функция f(x) периодическая с периодом Т0. Однако из-за того, что длительность измерительной выборки Т не совпадает с периодом функции Т0, функция, получаемая как ряд Фурье, имеет разрыв в точке Т. В результате спектр данной функции будет содержать большое количество высокочастотных гармоник. Если бы длительность измерительной выборки Т совпадала с периодом функции Т0, то в полученном после преобразования Фурье спектре присутствовала бы только первая гармоника (синусоида с периодом равным длительности выборки), поскольку функция f(x) представляет собой синусоиду.

Другими словами, программа ДПФ «не знает», что наш сигнал представляет собой «кусок синусоиды», а пытается представить в виде ряда периодическую функцию, которая имеет разрыв из-за нестыковки отдельных кусков синусоиды.

В результате в спектре появляются гармоники, которые должны в сумме изобразить форму функции, включая этот разрыв.

Таким образом, чтобы получить «правильный» спектр сигнала, являющегося суммой нескольких синусоид с разными периодами, необходимо чтобы на периоде измерения сигнала укладывалось целое число периодов каждой синусоиды. На практике это условие можно выполнить при достаточно большой длительности измерения сигнала.

Рис.13 Пример функции и спектра сигнала кинематической погрешности редуктора

При меньшей длительности картина будет выглядеть «хуже»:

Рис.14 Пример функции и спектра сигнала вибрации ротора

На практике бывает сложно понять, где «реальные составляющие», а где «артефакты», вызванные некратностью периодов составляющих и длительности выборки сигнала или «скачками и разрывами» формы сигнала. Конечно слова «реальные составляющие» и «артефакты» не зря взяты в кавычки. Наличие на графике спектра множества гармоник не означает, что наш сигнал в реальности из них «состоит». Это все равно что считать, будто число 7 «состоит» из чисел 3 и 4. Число 7 можно представить в виде суммы чисел 3 и 4 - это правильно.

Так и наш сигнал… а вернее даже не «наш сигнал», а периодическую функцию, составленную путем повторения нашего сигнала (выборки) можно представить в виде суммы гармоник (синусоид) с определенными амплитудами и фазами. Но во многих важных для практики случаях (см. рисунки выше) действительно можно связать полученные в спектре гармоники и с реальными процессами, имеющими циклический характер и вносящими значительный вклад в форму сигнала.

Некоторые итоги

1. Реальный измеренный сигнал, длительностью T сек, оцифрованный АЦП, то есть представленный набором дискретных отсчетов (N штук), имеет дискретный непериодический спектр, представленный набором гармоник (N/2 штук).

2. Сигнал представлен набором действительных значений и его спектр представлен набором действительных значений. Частоты гармоник положительны. То, что математикам бывает удобнее представить спектр в комплексной форме с использованием отрицательных частот не значит, что «так правильно» и «так всегда надо делать».

3. Сигнал, измеренный на отрезке времени Т определен только на отрезке времени Т. Что было до того, как мы начали измерять сигнал, и что будет после того - науке это неизвестно. И в нашем случае - неинтересно. ДПФ ограниченного во времени сигнала дает его «настоящий» спектр, в том смысле, что при определенных условиях позволяет вычислить амплитуду и частоту его составляющих.

Использованные материалы и другие полезные материалы.

Во многих случаях задача получения (вычисления) спектра сигнала выглядит следующим образом. Имеется АЦП, который с частотой дискретизации Fd преобразует непрерывный сигнал, поступающий на его вход в течение времени Т, в цифровые отсчеты - N штук. Далее массив отсчетов подается в некую программку, которая выдает N/2 каких-то числовых значений (программист, который утянул из инета написал программку, уверяет, что она делает преобразование Фурье).

Чтобы проверить, правильно ли работает программа, сформируем массив отсчетов как сумму двух синусоид sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) и подсунем программке. Программа нарисовала следующее:

рис.1 График временной функции сигнала

рис.2 График спектра сигнала

На графике спектра имеется две палки (гармоники) 5 Гц с амплитудой 0.5 В и 10 Гц - с амплитудой 1 В, все как в формуле исходного сигнала. Все отлично, программист молодец! Программа работает правильно.

Это значит, что если мы подадим на вход АЦП реальный сигнал из смеси двух синусоид, то мы получим аналогичный спектр, состоящий из двух гармоник.

Итого, наш реальный измеренный сигнал, длительностью 5 сек , оцифрованный АЦП, то есть представленный дискретными отсчетами, имеет дискретный непериодический спектр.

С математической точки зрения - сколько ошибок в этой фразе?

Теперь начальство решило мы решили, что 5 секунд - это слишком долго, давай измерять сигнал за 0.5 сек.

рис.3 График функции sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) на периоде измерения 0.5 сек

рис.4 Спектр функции

Что-то как бы не то! Гармоника 10 Гц рисуется нормально, а вместо палки на 5 Гц появилось несколько каких-то непонятных гармоник. Смотрим в интернетах, что да как…

Во, говорят, что в конец выборки надо добавить нули и спектр будет рисоваться нормальный.

рис.5 Добили нулей до 5 сек

рис.6 Получили спектр

Все равно не то, что было на 5 секундах. Придется разбираться с теорией. Идем в Википедию - источник знаний.

2. Непрерывная функция и представление её рядом Фурье

Математически наш сигнал длительностью T секунд является некоторой функцией f(x), заданной на отрезке {0, T} (X в данном случае - время). Такую функцию всегда можно представить в виде суммы гармонических функций (синусоид или косинусоид) вида:

(1), где:

K - номер тригонометрической функции (номер гармонической составляющей, номер гармоники)
T - отрезок, где функция определена (длительность сигнала)
Ak - амплитуда k-ой гармонической составляющей,
θk- начальная фаза k-ой гармонической составляющей

Что значит «представить функцию в виде суммы ряда»? Это значит, что, сложив в каждой точке значения гармонических составляющих ряда Фурье, мы получим значение нашей функции в этой точке.

(Более строго, среднеквадратичное отклонение ряда от функции f(x) будет стремиться к нулю, но несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно. См. https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Фурье .)

Этот ряд может быть также записан в виде:

(2),
где , k-я комплексная амплитуда.

Связь между коэффициентами (1) и (3) выражается следующими формулами:

Отметим, что все эти три представления ряда Фурье совершенно равнозначны. Иногда при работе с рядами Фурье бывает удобнее использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента, то есть использовать преобразование Фурье в комплексной форме. Но нам удобно использовать формулу (1), где ряд Фурье представлен в виде суммы косинусоид с соответствующими амплитудами и фазами. В любом случае неправильно говорить, что результатом преобразования Фурье действительного сигнала будут комплексные амплитуды гармоник. Как правильно говорится в Вики «Преобразование Фурье (ℱ) - операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию, также вещественной переменной.»

Итого:
Математической основой спектрального анализа сигналов является преобразование Фурье.

рис.7 Представление непериодической исходной функции рядом Фурье

Таким образом:

рис.8 Периоды (частоты) гармонических составляющих ряда Фурье (здесь Т=2π)

Соответственно, частоты гармонических составляющих кратны величине 1/Т. То есть частоты гармонических составляющих Fk равны Fk= к\Т, где к пробегает значения от 0 до ∞, например к=0 F0=0; к=1 F1=1\T; к=2 F2=2\T; к=3 F3=3\T;… Fk= к\Т (при нулевой частоте - постоянная составляющая).

Шаг между гармониками в этом случае равен 1 Гц.

3. Дискретные сигналы и дискретное преобразование Фурье

Обычная схема измерения и оцифровки сигнала выглядит следующим образом.

рис.9 Схема измерительного канала

рис.10 Оцифрованный сигнал - N отсчетов полученных за время Т

Согласно теореме Котельникова, если непрерывный сигнал имеет спектр, ограниченный частотой Fмакс, то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым через интервалы времени , т.е. с частотой Fd ≥ 2*Fмакс, где Fd - частота дискретизации; Fмакс - максимальная частота спектра сигнала. Другими слова частота оцифровки сигнала (частота дискретизации АЦП) должна как минимум в 2 раза превышать максимальную частоту сигнала, который мы хотим измерить.

А что будет, если мы будем брать отсчеты с меньшей частотой, чем требуется по теореме Котельникова?

В этом случае возникает эффект «алиасинга» (он же стробоскопический эффект, муаровый эффект), при котором сигнал высокой частоты после оцифровки превращается в сигнал низкой частоты, которого на самом деле не существует. На рис. 11 красная синусоида высокой частоты - это реальный сигнал. Синяя синусоида более низкой частоты - фиктивный сигнал, возникающий вследствие того, за время взятия отсчета успевает пройти больше, чем пол-периода высокочастотного сигнала.

Рис. 11. Появление ложного сигнала низкой частоты при недостаточно высокой частоте дискретизации

Рассмотрим теперь дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

Сравнивая с рядом Фурье

рис.12 Периодическая функция f(x) с периодом Т0, с периодом измерения Т>T0

Рис.13 Пример функции и спектра сигнала кинематической погрешности редуктора

При меньшей длительности картина будет выглядеть «хуже»:

Рис.14 Пример функции и спектра сигнала вибрации ротора

Некоторые итоги

Использованные материалы и другие полезные материалы.

Преобразование Фурье - преобразование, сопоставляющее функции некой вещественной переменной. Данная операция выполняется каждый раз, когда мы воспринимаем различные звуки. Ухо производит автоматическое «вычисление», выполнить которое наше сознание способно только после изучения соответствующего раздела высшей математики. Орган слуха у человека строит преобразование, в результате которого звук (колебательное движение условных частиц в упругой среде, которые распространяются в волновом виде в твердой, жидкой или газообразной среде) предоставляется в виде спектра последовательно идущих значений уровня громкости тонов разной высоты. После этого мозг превращает данную информацию в привычный всем звук.

Математическое преобразование Фурье

Преобразование звуковых волн или других колебательных процессов (от светового излучения и океанского прилива и до циклов звездной или солнечной активности) можно проводить и с помощью математических методов. Так, пользуясь данными приемами, можно разложить функции, представив колебательные процессы набором синусоидальных составляющих, то есть волнообразных кривых, которые переходят от минимума к максимуму, затем снова к минимуму, подобно морской волне. Преобразование Фурье - преобразование, функция которого описывает фазу или амплитуду каждой синусоиды, отвечающей определенной частоте. Фаза представляет собой начальную точку кривой, а амплитуда - ее высоту.

Преобразование Фурье (примеры приведены на фото) является весьма мощным инструментарием, который применяется в разнообразных областях науки. В отдельных случаях он используется в качестве средства решения довольно сложных уравнений, которые описывают динамические процессы, возникающие под воздействием световой, тепловой или электрической энергии. В иных случаях он позволяет определять регулярные составляющие в сложных колебательных сигналах, благодаря этому можно верно интерпретировать различные экспериментальные наблюдения в химии, медицине и астрономии.

Историческая справка

Первым человеком, применившим данный метод, стал французский математик Жан Батист Фурье. Преобразование, названное впоследствии его именем, изначально использовалось для описания механизма теплопроводности. Фурье всю свою сознательную жизнь занимался изучением свойств тепла. Он внес огромный вклад в математическую теорию определения корней алгебраических уравнений. Фурье являлся профессором анализа в Политехнической школе, секретарем Института египтологии, состоял на императорской службе, на которой отличился во время строительства дороги на Турин (под его руководством было осушено более 80 тысяч квадратных километров малярийных болот). Однако вся эта активная деятельность не помешала ученому заниматься математическим анализом. В 1802 году им было выведено уравнение, которое описывает распространение тепла в твердых телах. В 1807 году ученый открыл метод решения данного уравнения, которое и получило название "преобразование Фурье".

Анализ теплопроводности

Ученый применил математический метод для описания механизма теплопроводности. Удобным примером, в котором не возникает трудностей с вычислением, является распространение тепловой энергии по железному кольцу, погруженному одной частью в огонь. Для проведения опытов Фурье накалял докрасна часть этого кольца и закапывал его в мелкий песок. После этого проводил замеры температуры на противоположной его части. Первоначально распределение тепла является нерегулярным: часть кольца - холодная, а другая - горячая, между данными зонами можно наблюдать резкий градиент температуры. Однако в процессе распространения тепла по всей поверхности металла она становится более равномерной. Так, вскоре данный процесс приобретает вид синусоиды. Сначала график плавно нарастает и так же плавно убывает, точно по законам изменения функции косинуса или синуса. Волна постепенно выравнивается и в результате температура становится одинаковой на всей поверхности кольца.

Автор данного метода предположил, что начальное нерегулярное распределение вполне можно разложить на ряд элементарных синусоид. Каждая из них будет иметь свою фазу (первоначальное положение) и свой температурный максимум. При этом каждая такая компонента изменяется от минимума к максимуму и обратно на полном обороте вокруг кольца целое число раз. Составляющая, имеющая один период, была названа основной гармоникой, а значение с двумя и более периодами - второй и так далее. Так, математическая функция, которая описывает температурный максимум, фазу или позицию называет преобразованием Фурье от функции распределения. Ученый свел единую составляющую, которая трудно поддается математическому описанию, к удобному в обращении инструменту - рядам косинуса и синуса, в сумме дающим исходное распределение.

Суть анализа

Применяя данный анализ к преобразованию распространения тепла по твердому предмету, имеющему кольцевую форму, математик рассудил, что повышение периодов синусоидальной компоненты приведет к ее быстрому затуханию. Это хорошо прослеживается на основной и второй гармониках. В последней температура дважды достигает максимального и минимального значений на одном проходе, а в первой - только один раз. Получается, что расстояние, преодолеваемое теплом во второй гармонике, будет вдвое меньше, чем в основной. Кроме того, градиент во второй также будет вдвое круче, чем у первой. Следовательно, поскольку более интенсивный тепловой поток проходит расстояние вдове меньшее, то данная гармоника будет затухать в четыре раза быстрее, чем основная, как функция времени. В последующих данный процесс будет проходить еще быстрее. Математик считал, что данный метод позволяет рассчитать процесс первоначального распределения температуры во времени.

Вызов современникам

Алгоритм преобразования Фурье стал вызовом теоретическим основам математики того времени. В начале девятнадцатого века большинство выдающихся ученых, в том числе и Лагранж, Лаплас, Пуассон, Лежандр и Био, не приняли его утверждение о том, что начальное распределение температуры раскладывается на составляющие в виде основной гармоники и более высокочастотные. Однако академия наук не могла проигнорировать результаты, полученные математиком, и удостоила его премии за теорию законов теплопроводности, а также проведение сравнения ее с физическими экспериментами. В подходе Фурье главное возражение вызывал тот факт, что разрывная функция представлена суммой нескольких синусоидальных функций, которые являются непрерывными. Ведь они описывают разрывающиеся прямые и кривые линии. Современники ученого никогда не сталкивались с подобной ситуацией, когда разрывные функции описывались комбинацией непрерывных, таких как квадратичная, линейная, синусоида либо экспонента. В том случае, если математик был прав в своих утверждениях, то сумма бесконечного ряда тригонометрической функции должна сводиться к точной ступенчатой. В то время подобное утверждение казалось абсурдным. Однако, несмотря на сомнения, некоторые исследователи (например Клод Навье, Софи Жермен) расширили сферу исследований и вывели их за пределы анализа распределения тепловой энергии. А математики тем временем продолжали мучиться вопросом о том, может ли сумма нескольких синусоидальных функций сводиться к точному представлению разрывной.

200-летняя история

Данная теория развивалась на протяжении двух столетий, на сегодняшний день она окончательно сформировалась. С ее помощью пространственные или временные функции разбиваются на синусоидальные составляющие, которые имеют свою частоту, фазу и амплитуду. Данное преобразование получается двумя разными математическими методами. Первый из них применяется в том случае, когда исходная функция является непрерывной, а второй - в том случае, когда она представлена множеством дискретных отдельных изменений. Если выражение получено из значений, которые определены дискретными интервалами, то его можно разбить на несколько синусоидальных выражений с дискретными частотами - от наиболее низкой и далее вдвое, втрое и так далее выше основной. Такую сумму принято называть рядом Фурье. Если начальное выражение задано значением для каждого действительного числа, то его можно разложить на несколько синусоидальных всех возможных частот. Его принято называть интегралом Фурье, а решение подразумевает под собой интегральные преобразования функции. Независимо от способа получения преобразования, для каждой частоты следует указывать два числа: амплитуду и частоту. Данные значения выражаются в виде единого Теория выражений комплексных переменных совместно с преобразованием Фурье позволила проводить вычисления при конструировании различных электрических цепей, анализ механических колебаний, изучение механизма распространения волн и другое.

Преобразование Фурье сегодня

В наши дни изучение данного процесса в основном сводится к нахождению эффективных методов перехода от функции к ее преобразованному виду и обратно. Такое решение называется прямое и обратное преобразование Фурье. Что это значит? Для того чтобы и произвести прямое преобразование Фурье, можно воспользоваться математическими методами, а можно и аналитическими. Несмотря на то что при их использовании на практике возникают определенные трудности, большинство интегралов уже найдены и внесены в математические справочники. С помощью численных методов можно рассчитывать выражения, форма которых основывается на экспериментальных данных, либо функции, интегралы которых в таблицах отсутствуют и их сложно представить в аналитической форме.

До появления вычислительной техники расчеты таких преобразований были весьма утомительными, они требовали ручного выполнения большого количества арифметических операций, которые зависели от числа точек, описывающих волновую функцию. Для облегчения расчетов сегодня существуют специальные программы, позволившие реализовать новые Так, в 1965 году Джеймс Кули и Джон Тьюки создали программное обеспечение, получившее известность как «быстрое преобразование Фурье». Оно позволяет экономить время проведения расчетов за счет уменьшения числа умножений при анализе кривой. Метод «быстрое преобразование Фурье» основан на делении кривой на большое число равномерных выборочных значений. Соответственно количество умножений снижается вдвое при таком же снижении количества точек.

Применение преобразования Фурье

Данный процесс используется в различных областях науки: в физике, обработке сигналов, комбинаторике, теории вероятности, криптографии, статистике, океанологии, оптике, акустике, геометрии и других. Богатые возможности его применения основаны на ряде полезных особенностей, которые получили название "свойства преобразования Фурье". Рассмотрим их.

1. Преобразование функции является линейным оператором и с соответствующей нормализацией является унитарным. Данное свойство известно как теорема Парсеваля, или в общем случае теорема Планшереля, или дуализм Понтрягина.

2. Преобразование является обратимым. Причем обратный результат имеет практически аналогичную форму, как и при прямом решении.

3. Синусоидальные базовые выражения являются собственными дифференцированными функциями. Это означает, что такое представление изменяет с постоянным коэффициентом в обычные алгебраические.

4. Согласно теореме «свертки», данный процесс превращает сложную операцию в элементарное умножение.

5. Дискретное преобразование Фурье может быть быстро рассчитано на компьютере с использованием «быстрого» метода.

Разновидности преобразования Фурье

1. Наиболее часто данный термин используется для обозначения непрерывного преобразования, предоставляющего любое квадратично интегрируемое выражение в виде суммы комплексных показательных выражений с конкретными угловыми частотами и амплитудами. Данный вид имеет несколько различных форм, которые могут отличаться постоянными коэффициентами. Непрерывный метод включает в себя таблицу преобразований, которую можно найти в математических справочниках. Обобщенным случаем является дробное преобразование, посредством которого данный процесс можно возвести в необходимую вещественную степень.

2. Непрерывный способ является обобщением ранней методики рядов Фурье, определенных для различных периодических функций или выражений, которые существуют в ограниченной области и представляют их как ряды синусоид.

3. Дискретное преобразование Фурье. Этот метод используется в компьютерной технике для проведения научных расчетов и для цифровой обработки сигналов. Для проведения данного вида расчетов требуется иметь функции, определяющие на дискретном множестве отдельные точки, периодические или ограниченные области вместо непрерывных интегралов Фурье. Преобразование сигнала в таком случае представлено как сумма синусоид. При этом использование «быстрого» метода позволяет применять дискретные решения для любых практических задач.

4. Оконное преобразование Фурье является обобщенным видом классического метода. В отличие от стандартного решения, когда используется который взят в полном диапазоне существования данной переменной, здесь особый интерес представляет всего лишь локальное распределение частоты при условии сохранения изначальной переменной (время).

5. Двумерное преобразование Фурье. Данный метод используется для работы с двумерными массивами данных. В таком случае сначала преобразование производится в одном направлении, а затем - в другом.

Заключение

Сегодня метод Фурье прочно закрепился в различных областях науки. Например, в 1962 году была открыта форма двойной ДНК-спирали с использованием анализа Фурье в сочетании с Последние фокусировались на кристаллах волокон ДНК, в результате изображение, которое получалось при дифракции излучения, фиксировались на пленке. Данная картинка дала информацию о значении амплитуды при использовании преобразования Фурье к данной кристаллической структуре. Данные о фазе получили путем сопоставления дифракционной карты ДНК с картами, которые получены при анализе подобных химических структур. В результате биологи восстановили кристаллическую структуру - исходную функцию.

Преобразования Фурье играют огромную роль в изучении космического пространства, физики полупроводниковых материалов и плазмы, микроволновой акустике, океанографии, радиолокации, сейсмологии и медицинских обследованиях.

Эти преобразования являются функциональными, так как они преобразовывают некоторую функцию переменного в совершенно иную функцию переменного , и наоборот.

Преобразования Фурье имеют вид:

Интегральное уравнение (4.34) называется прямым, а уравнение (4.35) - обратным преобразованием Фурье. Сокращенная форма записи этих уравнений

Интеграл Фурье (прямое преобразование Фурье) позволяет разложить непериодическую функцию обладающую свойством абсолютной интегрируемости в заданных пределах, в бесконечный ряд гармоник, образующих непрерывный спектр частот в интервале от до с бесконечно малым интервалом частот между смежными гармониками (т. е. в пределе

Метод преобразования Фурье непригоден при ненулевых начальных (или граничных) условиях. Этот метод может применяться лишь тогда, когда искомые функции имеют изображение Фурье, т. е. для абсолютно интегрируемых функций времени, удовлетворяющих неравенству

Наиболее часто встречающимися в теории регулирования функциями являются единичная ступенчатая функция (1.44) и произведение синусоидальной функции на единичную функцию (1.51). Преобразование Фурье неприменимо ни к одной из этих функций, так как не удовлетворяется условие (4.38).

Указанные недостатки ограничивают использование метода преобразования Фурье.

Чтобы применить интеграл Фурье, необходимо выбрать функцию, Достаточно близкую к исследуемой, например, к ступенчатой функции при конечных значениях но в то же время удовлетворяющую условию (4.38). Такую функцию можно получить, умножив

ступенчатую функцию на где с - достаточно малая положительная величина. Вновь полученная вспомогательная функция

Устремляя с к нулю и делая предельный переход, можно от вспомогательной функции перейти к основной Кроме того, если ограничиться функциями , тождественно равными нулю при то для большого класса функций будет справедливо условие (4.38) и можно найти частотный спектр функции, используя выражение (4.34). Вместо введем новое обозначение так как эта величина теперь зависит и от с:

Положив с находим

Эта формула совпадает с прямым преобразованием Лапласа (4.9).

Отсюда следует, что преобразование Фурье можно рассматривать как частный случай преобразования Лапласа.

Изложенные выше методы преобразований позволяют сделать следующие заключения:

1) интегро-дифференциальные уравнения заменяются алгебраическими уравнениями;

2) отпадает операция определения постоянных интегрирования, так как начальные условия учитываются с самого начала при нахождении изображения искомой величины;

3) операция определения корней характеристического уравнения полностью сохраняется.

Наиболее удобным для решения практических задач является метод преобразования Лапласа. В несколько измененной форме он может быть применен к исследованию дискретных САУ (см. гл. 7).

Рассмотрим использование метода преобразований Лапласа для решения дифференциального уравнения вида

Преобразуем это дифференциальное уравнение, используя прямое преобразование Лапласа (4.9) и теоремы 1 и 2. В результате получим алгебраическое уравнение, записанное для изображений:

где - сумма всех членов, содержащих начальные условия.

Отсюда находится изображение искомой функции

При нулевых начальных условиях выражения (4.41) и (4.42) упрощаются:

Зная изображение искомой функции можно найти оригинал например, по таблицам изображений.

Если изображение искомой величины представляет собой рациональную алгебраическую дробь, то ее стараются записать в виде суммы простых дробей с постоянными коэффициентами. Обратное преобразование для каждой из этих простых дробей может быть получено из таблиц, а окончательное выражение оригинала представлено как сумма отдельных найденных значений. Для определения оригинала можно также воспользоваться теоремой разложения.

Если изображение Лапласа представляет собой рациональную алгебраическую дробь вида

Научившись вычислять спектральные плотности достаточно простых, но часто встречающихся импульсных сигналов, перейдем к систематическому изучению свойств преобразования Фурье.

Линейность преобразования Фурье.

Это важнейшее свойство формулируется так: если имеется некоторая совокупность сигналов причем то взвешенная сумма сигналов преобразуется по Фурье следующим образом:

Здесь - произвольные числовые коэффициенты.

Для доказательства формулы (2.26) следует подставить сумму сигналов в преобразование Фурье (2.16).

Свойства вещественной и мнимой частей спектральной плотности.

Пусть - сигнал, принимающий вещественные значения. Его спектральная плотность в общем случае является комплексной:

Подставам это выражение в формулу обратного преобразования фурье (2.18):

Для того чтобы сигнал, полученный путем такого двукратного преобразования, оставался вещественным, необходимо потребовать, чтобы

Это возможно лишь в том случае, если вещественная часть спектральной плотности сигнала есть четная, а мнимая часть - нечетная функция частоты:

Спектральная плотность сигнала, смещенного во времени.

Предположим, что для сигнала известно соответствие Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий на секунд позднее. Принимая точку за новое начало отсчета времени, обозначим этот смещенный сигнал как Покажем, что

Доказательство очень простое. Действительно,

Модуль комплексного числа при любых равен единйце, поэтому амплитуды элементарных гармонических составляющих, из которых складывается сигнал, не зависят от его положения на оси времени. Информация об этой характеристике сигнала заключена в частотной зависимости аргумента его спектральной плотности (фазовом спектре).

Зависимость спектральной плотности сигнала от выбора масштаба измерения времени.

Предположим, что исходный сигнал подвергнут изменению масштаба времени. Это означает, что роль времени t играет новая независимая переменная (k - некоторое вещественное число). Если то происходит «сжатие» исходного сигнала; если же то сигнал «растягивается» во времени.

Оказывается, что если то

Действительно,

откуда следует формула (2.29).

Итак, для того чтобы, например, сжать сигнал во времени, сохраняя его форму, необходимо распределить те же спектральные составляющие в более широком интервале частот при соответствующем пропорциональном уменьшении их амплитуд.

К рассматриваемому здесь вопросу близко примыкает Следующая задача.

Дан импульс отличный от нуля на отрезке и характеризуемый спектральной плотностью Требуется иайти спектральную плотность «обращенного во времени» сигнала который представляет собой «зеркальную копию» исходного импульсного колебания. Поскольку очевидно, что то

Выполнив замену переменной находим, что

Спектральная плотность производной и неопределенного интеграла.

Пусть сигнал s(t) и его спектральная плотность заданы. Будем изучать новый сигнал и Поставим цель найти его спектральную плотность - .

По определению,

Преобразование Фурье - линейная операция, значит, равенство (2.31) справедливо и по отношению к спектральным плотностям. Учитывая (2.28), получаем

Представляя экспоненциальную функцию рядом Тейлора: подставляя этот ряд в (2.32) и ограничиваясь первыми двумя членами, находим

При дифференцировании скорость изменения сигнала во времени возрастает. Как следствие модуль спектра производной имеет большие значения в области высоких частот по сравнению с модулем спектра исходного сигнала.

Формула (2.33) обобщается на случай спектра производной порядка. Легко доказать, что если , то

Итак, дифференцирование сигнала по времени эквивалентно простой алгебраической операции умножения спектральной плотности на множитель Поэтому принято говорить, что мнимое число является оператором дифференцирования, действующим в частотной области.

Рассмотренная функция является первообразной (неопределенным интегралом) по отношению к функции Из (2.33) формально следует, что спектр первообразной

Таким образом, множитель служит оператором интегрирования в частотной области.

Спектральная плотность сигнала на выходе интегратора.

Во многих радиотехнических устройствах находят применение так называемые интеграторы - физические системы, выходной сигнал которых пропорционален интегралу от входного воздействия. Рассмотрим конкретно интегратор, осуществляющий преобразование входного сигнала в выходной сигнал по следующему закону:

Здесь - фиксированный параметр.

Определенный интеграл, входящий в (2.36), равен, очевидно, разности двух значений первообразной сигнала одно из которых вычисляется при аргументе t, а другое - при аргументе . Используя соотношения (2.28) и (2.35), получаем формулу связи между спектральными плотностями сигналов на входе и выходе:

Сомножитель в скобках ограничен при любых частотах, в то же время модуль знаменателя линейно растет с увеличением частоты. Это свидетельствует о том, что рассматриваемый интегратор действует подобно фильтру нижних частот, ослабляя высокочастотные спектральные составляющие входного сигнала.