Которые уже порядком поднадоели. И я чувствую, что настал момент, когда из стратегических запасов теории пора извлечь новые консервы. Нельзя ли разложить функцию в ряд как-нибудь по-другому? Например, выразить отрезок прямой линии через синусы и косинусы? Кажется невероятным, но такие, казалось бы, далекие друг от друга функции поддаются
«воссоединению». Помимо примелькавшихся степеней в теории и практике существуют и другие подходы к разложению функции в ряд.
На данном уроке мы познакомимся с тригонометрическим рядом Фурье, коснёмся вопроса его сходимости и суммы и, конечно же, разберём многочисленные примеры на разложение функций в ряд Фурье. Искренне хотелось назвать статью «Ряды Фурье для чайников», но это было бы лукавством, поскольку для решения задач потребуются знания других разделов математического анализа и некоторый практический опыт. Поэтому преамбула будет напоминать подготовку космонавтов =)
Во-первых, к изучению материалов страницы следует подойти в отличной форме. Выспавшимися, отдохнувшими и трезвыми. Без сильных эмоций по поводу сломанной лапы хомячка и навязчивых мыслей о тяготах жизни аквариумных рыбок. Ряд Фурье не сложен с точки зрения понимания, однако практические задания требуют просто повышенной концентрации внимания – в идеале следует полностью отрешиться от внешних раздражителей. Ситуация усугубляется тем, что не существует лёгкого способа проверки решения и ответа. Таким образом, если ваше самочувствие ниже среднего, то лучше заняться чем-нибудь попроще. Правда.
Во-вторых, перед полётом в космос необходимо изучить приборную панель космического корабля. Начнём со значений функций, которые должны щёлкаться на автомате:
При любом натуральном значении :
1) . И в самом деле, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»:
. В случае отрицательных значений аргумента результат, само собой, будет таким же: .
2) . А вот это знали не все. Косинус «пи эн» представляет собой эквивалент «мигалки»:
Отрицательный аргумент дела не меняет: 
.
Пожалуй, достаточно.
И, в-третьих, уважаемый отряд космонавтов, необходимо уметь… интегрировать
.
В частности, уверенно подводить функцию под знак дифференциала
, интегрировать по частям
и быть в ладах с формулой Ньютона-Лейбница
. Начнём важные предполётные упражнения. Категорически не рекомендую пропускать, чтобы потом не плющило в невесомости:
Пример 1
Вычислить определённые интегралы
где принимает натуральные значения.
Решение : интегрирование проводится по переменной «икс» и на данном этапе дискретная переменная «эн» считается константой. Во всех интегралах подводим функцию под знак дифференциала :
Короткая версия решения, к которой хорошо бы пристреляться, выглядит так:
Привыкаем:
Четыре оставшихся пункта самостоятельно. Постарайтесь добросовестно отнестись к заданию и оформить интегралы коротким способом. Образцы решений в конце урока.
После КАЧЕСТВЕННОГО выполнения упражнений надеваем скафандры
и готовимся к старту!
Рассмотрим некоторую функцию , которая определена
по крайне мере на промежутке (а, возможно, и на бОльшем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке , то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье
:
, где – так называемые коэффициенты Фурье
.
При этом число называют периодом разложения , а число – полупериодом разложения .
Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов:
Действительно, распишем его подробно:
Нулевой член ряда принято записывать в виде .
Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:
Прекрасно понимаю, что начинающим изучать тему пока малопонятны новые термины: период разложения , полупериод , коэффициенты Фурье и др. Без паники, это не сравнимо с волнением перед выходом в открытый космос. Во всём разберёмся в ближайшем примере, перед выполнением которого логично задаться насущными практическими вопросами:
Что нужно сделать в нижеследующих заданиях?Разложить функцию в ряд Фурье. Дополнительно нередко требуется изобразить график функции , график суммы ряда , частичной суммы и в случае изощрённых профессорский фантазий – сделать что-нибудь ещё.
Как разложить функцию в ряд Фурье?По существу, нужно найти коэффициенты Фурье , то есть, составить и вычислить три определённых интеграла .
Пожалуйста, перепишите общий вид ряда Фурье и три рабочие формулы к себе в тетрадь. Я очень рад, что у некоторых посетителей сайта прямо на моих глазах осуществляется детская мечта стать космонавтом =)
Пример 2
Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке . Построить график , график суммы ряда и частичной суммы .
Решение : первая часть задания состоит в разложении функции в ряд Фурье.
Начало стандартное, обязательно записываем, что:
В данной задаче период разложения , полупериод .
Разложим функцию в ряд Фурье на промежутке :
Используя соответствующие формулы, найдём коэффициенты Фурье . Теперь нужно составить и вычислить три определённых интеграла . Для удобства я буду нумеровать пункты:
1) Первый интеграл самый простой, однако и он уже требует глаз да глаз:
2) Используем вторую формулу:
Данный интеграл хорошо знаком и берётся он по частям
: 
При нахождении использован метод подведения функции под знак дифференциала .
В рассматриваемом задании сподручнее сразу использовать формулу интегрирования по частям в определённом интеграле
:
Пара технических замечаний. Во-первых, после применения формулы всё выражение нужно заключить в большие скобки
, так как перед исходным интегралом находится константа . Не теряем её
! Скобки можно раскрыть на любом дальнейшем шаге, я это сделал в самую последнюю очередь. В первом «куске» 
проявляем крайнюю аккуратность в подстановке, как видите, константа не при делах, и пределы интегрирования подставляются в произведение . Данное действие выделено квадратными скобками. Ну а интеграл второго «куска» формулы вам хорошо знаком из тренировочного задания;-)
И самое главное – предельная концентрация внимания!
3) Ищем третий коэффициент Фурье:
Получен родственник предыдущего интеграла, который тоже интегрируется по частям
:
Этот экземпляр чуть сложнее, закомментирую дальнейшие действия пошагово:
(1) Выражение полностью заключаем в большие скобки . Не хотел показаться занудой, слишком уж часто теряют константу .
(2) В данном случае я немедленно раскрыл эти большие скобки. Особое внимание
уделяем первому «куску»: константа курит в сторонке и не участвует в подстановке пределов интегрирования ( и ) в произведение . Ввиду загромождённости записи это действие снова целесообразно выделить квадратными скобками. Со вторым «куском» 
всё проще: здесь дробь появилась после раскрытия больших скобок, а константа – в результате интегрирования знакомого интеграла;-)
(3) В квадратных скобках проводим преобразования , а в правом интеграле – подстановку пределов интегрирования.
(4) Выносим «мигалку» из квадратных скобок: , после чего раскрываем внутренние скобки: .
(5) Сокращаем 1 и –1 в скобках, проводим окончательные упрощения.
Наконец-то найдены все три коэффициента Фурье:
Подставим их в формулу 
:
При этом не забываем разделить пополам. На последнем шаге константа («минус два»), не зависящая от «эн», вынесена за пределы суммы.
Таким образом, мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке : 
Изучим вопрос сходимости ряда Фурье. Я объясню теорию, в частности теорему Дирихле , буквально «на пальцах», поэтому если вам необходимы строгие формулировки, пожалуйста, обратитесь к учебнику по математическому анализу (например, 2-й том Бохана; или 3-й том Фихтенгольца, но в нём труднее) .
Во второй части задачи требуется изобразить график , график суммы ряда и график частичной суммы .
График функции представляет собой обычную прямую на плоскости
, которая проведена чёрным пунктиром: 
Разбираемся с суммой ряда . Как вы знаете, функциональные ряды сходятся к функциям. В нашем случае построенный ряд Фурье 
при любом значении «икс»
сойдётся к функции , которая изображена красным цветом. Данная функция терпит разрывы 1-го рода
в точках , но определена и в них (красные точки на чертеже)
Таким образом: 
. Легко видеть, что заметно отличается от исходной функции , именно поэтому в записи 
ставится значок «тильда», а не знак равенства.
Изучим алгоритм, по которому удобно строить сумму ряда.
На центральном интервале ряд Фурье сходится к самой функции (центральный красный отрезок совпадает с чёрным пунктиром линейной функции).
Теперь немного порассуждаем о природе рассматриваемого тригонометрического разложения. В ряд Фурье 
входят только периодические функции (константа, синусы и косинусы), поэтому сумма ряда 
тоже представляет собой периодическую функцию
.
Что это значит в нашем конкретном примере? А это обозначает то, что сумма ряда 
– непременно периодична
и красный отрезок интервала обязан бесконечно повторяться слева и справа.
Думаю, сейчас окончательно прояснился смысл фразы «период разложения ». Упрощённо говоря, через каждые ситуация вновь и вновь повторяется.
На практике обычно достаточно изобразить три периода разложения, как это сделано на чертеже. Ну и ещё «обрубки» соседних периодов – чтобы было понятно, что график продолжается.
Особый интерес представляют точки разрыва 1-го рода
. В таких точках ряд Фурье сходится к изолированным значениям, которые расположены ровнёхонько посередине «скачка» разрыва (красные точки на чертеже). Как узнать ординату этих точек? Сначала найдём ординату «верхнего этажа»: для этого вычислим значение функции в крайней правой точке центрального периода разложения: . Чтобы вычислить ординату «нижнего этажа» проще всего взять крайнее левое значение этого же периода: 
. Ордината среднего значения – это среднее арифметическое суммы «верха и низа»: . Приятным является тот факт, что при построении чертежа вы сразу увидите, правильно или неправильно вычислена середина.
Построим частичную сумму ряда и заодно повторим смысл термина «сходимость». Мотив известен ещё из урока о сумме числового ряда
. Распишем наше богатство подробно:
Чтобы составить частичную сумму необходимо записать нулевой + ещё два члена ряда. То есть,
На чертеже график функции изображен зелёным цветом, и, как видите, он достаточно плотно «обвивает» полную сумму . Если рассмотреть частичную сумму из пяти членов ряда , то график этой функции будет ещё точнее приближать красные линии, если сто членов – то «зелёный змий» фактически полностью сольётся с красными отрезками и т.д. Таким образом, ряд Фурье сходится к своей сумме .
Интересно отметить, что любая частичная сумма – это непрерывная функция , однако полная сумма ряда всё же разрывна.
На практике не так уж редко требуется построить и график частичной суммы. Как это сделать? В нашем случае необходимо рассмотреть функцию на отрезке , вычислить её значения на концах отрезка и в промежуточных точках (чем больше точек рассмотрите – тем точнее будет график). Затем следует отметить данные точки на чертеже и аккуратно изобразить график на периоде , после чего «растиражировать» его на соседние промежутки. А как иначе? Ведь приближение – это тоже периодическая функция… …чем-то мне её график напоминает ровный ритм сердца на дисплее медицинского прибора.
Выполнять построение, конечно, не сильно удобно, так как и приходится проявлять сверхаккуратность, выдерживая точность не меньше, чем до половины миллиметра. Впрочем, читателей, которые не в ладах с черчением, обрадую – в «реальной» задаче выполнять чертёж нужно далеко не всегда, где-то в 50% случаев требуется разложить функцию в ряд Фурье и всё.
После выполнения чертежа завершаем задание:
Ответ
: 
Во многих задачах функция терпит разрыв 1-го рода прямо на периоде разложения:
Пример 3
Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке . Начертить график функции и полной суммы ряда.
Предложенная функция задана кусочным образом (причём, заметьте, только на отрезке )
и терпит разрыв 1-го рода
в точке . Можно ли вычислить коэффициенты Фурье? Без проблем. И левая и правая части функции интегрируемы на своих промежутках, поэтому интегралы в каждой из трёх формул следует представить в виде суммы двух интегралов. Посмотрим, например, как это делается у нулевого коэффициента:
Второй интеграл оказался равным нулю, что убавило работы, но так бывает далеко не всегда.
Аналогично расписываются два других коэффициента Фурье.
Как изобразить сумму ряда? На левом интервале чертим отрезок прямой , а на интервале – отрезок прямой (жирно-жирно выделяем участок оси ). То есть, на промежутке разложения сумма ряда совпадает с функцией везде, кроме трёх «нехороших» точек. В точке разрыва функции ряд Фурье сойдётся к изолированному значению, которое располагается ровно посередине «скачка» разрыва. Его нетрудно увидеть и устно: левосторонний предел: , правосторонний предел: 
и, очевидно, что ордината средней точки равна 0,5.
В силу периодичности суммы , картинку необходимо «размножить» на соседние периоды, в частности изобразить то же самое на интервалах и . При этом, в точках ряд Фурье сойдётся к срединным значениям.
По сути-то ничего нового здесь нет.
Постарайтесь самостоятельно справиться с данной задачей. Примерный образец чистового оформления и чертёж в конце урока.
Разложение функции в ряд Фурье на произвольном периодеДля произвольного периода разложения , где «эль» – любое положительное число, формулы ряда Фурье и коэффициентов Фурье отличаются немного усложнённым аргументом синуса и косинуса:
Если , то получаются формулы промежутка , с которых мы начинали.
Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но возрастает техническая сложность вычислений:
Пример 4
Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы.
Решение : фактически аналог Примера №3 с разрывом 1-го рода в точке . В данной задаче период разложения , полупериод . Функция определена только на полуинтервале , но это не меняет дела – важно, что оба куска функции интегрируемы.
Разложим функцию в ряд Фурье:
Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов:
1) Первый интеграл распишу максимально подробно:
2) Тщательным образом вглядываемся в поверхность Луны:
Второй интеграл берём по частям
:
На что следует обратить пристальное внимание, после того, как мы звёздочкой открываем продолжение решения?
Во-первых, не теряем первый интеграл 
, где сразу же выполняем подведение под знак дифференциала
. Во-вторых, не забываем злополучную константу перед большими скобками и не путаемся в знаках
при использовании формулы 
. Большие скобки, всё-таки удобнее раскрывать сразу же на следующем шаге.
Остальное дело техники, затруднения может вызвать только недостаточный опыт решенияинтегралов.
Да, не зря именитые коллеги французского математика Фурье возмущались – как это тот посмел раскладывать функции в тригонометрические ряды?! =) К слову, наверное, всем интересен практический смысл рассматриваемого задания. Сам Фурье работал над математической моделью теплопроводности, а впоследствии ряд, названный его именем стал применяться для исследования многих периодических процессов, коих в окружающем мире видимо-невидимо. Сейчас, кстати, поймал себя на мысли, что не случайно сравнил график второго примера с периодическим ритмом сердца. Желающие могут ознакомиться с практическим применением преобразования Фурье в сторонних источниках. …Хотя лучше не надо – будет вспоминаться, как Первая Любовь =)
3) Учитывая неоднократно упоминавшиеся слабые звенья, разбираемся с третьим коэффициентом:
Интегрируем по частям:
Подставим найдённые коэффициенты Фурье в формулу 
, не забывая поделить нулевой коэффициент пополам:
Построим график суммы ряда. Кратко повторим порядок действий: на интервале строим прямую , а на интервале – прямую . При нулевом значении «икс» ставим точку посередине «скачка» разрыва и «тиражируем» график на соседние периоды:
На «стыках» периодов сумма также будет равна серединам «скачка» разрыва .
Готово. Напоминаю, что сама функция по условию определена только на полуинтервале и, очевидно, совпадает с суммой ряда на интервалах
Ответ :
Иногда кусочно-заданная функция бывает и непрерывна на периоде разложения. Простейший образец: 
. Решение (см. 2-й том Бохана)
такое же, как и двух предыдущих примерах: несмотря на непрерывность функции
в точке , каждый коэффициент Фурье выражается суммой двух интегралов.
На промежутке разложения точек разрыва 1-го рода и/или точек «стыка» графика может быть и больше (две, три и вообще любое конечное количество). Если функция интегрируема на каждой части, то она также разложима в ряд Фурье. Но из практического опыта такую жесть что-то не припоминаю. Тем не менее, встречаются более трудные задания, чем только что рассмотренное, и в конце статьи для всех желающих есть ссылки на ряды Фурье повышенной сложности.
А пока расслабимся, откинувшись в креслах и созерцая бескрайние звёздные просторы:
Пример 5
Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке и построить график суммы ряда.
В данной задаче функция непрерывна на полуинтервале разложения, что упрощает решение. Всё очень похоже на Пример №2. С космического корабля никуда не деться – придётся решать =) Примерный образец оформления в конце урока, график прилагается.
Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функцийС чётными и нечётными функциями процесс решения задачи заметно упрощается. И вот почему. Вернёмся к разложению функции в ряд Фурье на периоде «два пи» 
и произвольном периоде «два эль» 
.
Предположим, что наша функция чётна. Общий же член ряда, как вы видите, содержит чётные косинусы и нечётные синусы. А если мы раскладываем ЧЁТНУЮ функцию, то зачем нам нечётные синусы?! Давайте обнулим ненужный коэффициент: .
Таким образом, чётная функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам
:
Поскольку интегралы от чётных функций по симметричному относительно нуля отрезку интегрирования можно удваивать, то упрощаются и остальные коэффициенты Фурье.
Для промежутка :
Для произвольного промежутка:
К хрестоматийным примерам, которые есть практически в любом учебнике по матанализу, относятся разложения чётных функций 
. Кроме того, они неоднократно встречались и в моей личной практике:
Пример 6
Дана функция . Требуется:
1) разложить функцию в ряд Фурье с периодом , где – произвольное положительное число;
2) записать разложение на промежутке , построить функцию и график полной суммы ряда .
Решение : в первом пункте предлагается решить задачу в общем виде, и это очень удобно! Появится надобность – просто подставьте своё значение.
1) В данной задаче период разложения , полупериод . В ходе дальнейших действий, в частности при интегрировании, «эль» считается константой
Функция является чётной, а значит, раскладывается в ряд Фурье только по косинусам: 
.
Коэффициенты Фурье ищем по формулам 
. Обратите внимание на их безусловные преимущества. Во-первых, интегрирование проводится по положительному отрезку разложения, а значит, мы благополучно избавляемся от модуля 
, рассматривая из двух кусков только «икс». И, во-вторых, заметно упрощается интегрирование.
Два:
Интегрируем по частям:
Таким образом:
, при этом константу , которая не зависит от «эн», выносим за пределы суммы.
Ответ
: 
2) Запишем разложение на промежутке , для этого в общую формулу подставляем нужное значение полупериода :
Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:
,
где r n
– так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:
, где число x заключено между х и а.
f(x)=
в точке x 0 = Количество элементов ряда 3 4 5 6 7
Использовать разложение элементарных функций e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m
Правила ввода функций :
Если для некоторого значения х
r n
→0 при n
→∞, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора
:
,
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:
1) она имеет производные всех порядков;
2) построенный ряд сходится в этой точке.
При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена
:
,
Разложение простейших (элементарных) функций в ряд Маклорена:
Показательные функции
, R=∞
Тригонометрические функции
, R=∞
, R=∞
, (-π/2 < x < π/2), R=π/2
Функция actgx не разлагается по степеням x, т.к. ctg0=∞
Гиперболические функции
Логарифмические функции
, -1