Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так, неравенство вида
является стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем:
Недостатком данного метода является необходимость решения семи неравенств, не считая двух систем и одной совокупности. Уже при данных квадратичных функциях решение совокупности может потребовать много времени.
Можно предложить альтернативный, менее трудоемкий способ решения этого стандартного неравенства. Для этого учтем следующую теорему.
Теорема 1. Пусть непрерывная возрастающая функция на множестве X. Тогда на этом множестве знак приращения функции будет совпадать со знаком приращения аргумента, т.е. , где .
Примечание: если непрерывная убывающая функция на множестве X, то .
Вернемся к неравенству . Перейдем к десятичному логарифму (можно переходить к любому с постоянным основанием больше единицы).
Теперь можно воспользоваться теоремой, заметив в числителе приращение функций и в знаменателе . Таким образом, верно
В результате количество вычислений, приводящих к ответу, уменьшается примерно в два раза, что экономит не только время, но и позволяет потенциально сделать меньше арифметических ошибок и ошибок “по невнимательности”.
Пример 1.
Сравнивая с (1) находим , , .
Переходя к (2) будем иметь:
Пример 2.
Сравнивая с (1) находим , , .
Переходя к (2) будем иметь:
Пример 3.
Поскольку левая часть неравенства – возрастающая функция при и , то ответом будет множество .
Множество примеров, в которых можно применять терему 1 может быть легко расширено, если учесть терему 2.
Пусть на множестве X определены функции , , , и на этом множестве знаки и совпадают, т.е. , тогда будет справедливо .
Пример 4.
Пример 5.
При стандартном подходе пример решается по схеме: произведение меньше нуля, когда сомножители разных знаков. Т.е. рассматривается совокупность двух систем неравенств, в которых, как было указано в начале, каждое неравенство распадается еще на семь.
Если же учесть терему 2, то каждый из сомножителей, учитывая (2), можно заменить на другую функцию, имеющую тот же знак на данном примером О.Д.З.
Метод замены приращения функции приращением аргумента с учетом теоремы 2, оказывается очень удобным при решении типовых задач С3 ЕГЭ.
Пример 6.
Пример 7.
. Обозначим . Получим
. Заметим, что из замены следует: . Возвращаясь к уравнению, получим .
Пример 8.
В используемых нами теоремах нет ограничении на классы функций. В данной статье, для примера, теоремы были применены к решению логарифмических неравенств. Несколько следующих примеров продемонстрируют перспективность метода при решении других видов неравенств.
Логарифмические неравенства
На предыдущих уроках мы с вами познакомились с логарифмическими уравнениями и теперь знаем, что это такое и как их решать. А сегодняшний урок будет посвящен изучению логарифмических неравенств. Что же это за такие неравенства и в чем разница между решением логарифмического уравнения и неравенства?
Логарифмические неравенства - это неравенства, которые имеют переменную, стоящую под знаком логарифма или в его основании.
Или же, можно еще сказать, что логарифмическое неравенство – это такое неравенство, в котором его неизвестная величина, как и в логарифмическом уравнении, будет стоять под знаком логарифма.
Простейшие логарифмические неравенства имеют такой вид:
где f(x) и g(x) являются некоторыми выражениями, которые зависят от x.
Давайте это рассмотрим на таком примере: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Решение логарифмических неравенств
Перед решением логарифмических неравенств, стоит отметить, что они при решении имеют сходство с показательными неравенствами, а именно:
Во-первых, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, нам также необходимо сравнить основание логарифма с единицей;
Во-вторых, решая логарифмическое неравенство, используя замену переменных, нам необходимо решать неравенства относительно замены до того момента, пока мы не получим простейшее неравенство.
Но это мы с вами рассмотрели сходные моменты решения логарифмических неравенств. А сейчас обратим внимание на довольно таки существенное отличие. Нам с вами известно, что логарифмическая функция обладает ограниченной областью определения, поэтому переходя от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, нужно брать в расчет область допустимых значений (ОДЗ).
То есть, следует учитывать, что решая логарифмическое уравнение мы с вами, можем сначала находить корни уравнения, а потом делать проверку этого решения. А вот решить логарифмическое неравенство так не получится, поскольку переходя от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, необходимо будет записывать ОДЗ неравенства.
Вдобавок стоит запомнить, что теория неравенств состоит из действительных чисел, которыми являются положительные и отрицательные числа, а также и число 0.
Например, когда число «а» является положительным, то необходимо использовать такую запись: a >0. В этом случае, как сумма, так и произведение таких этих чисел также будут положительными.
Основным принципом решения неравенства является его замена на более простое неравенство, но главное, чтобы оно было равносильно данному. Дальше, также мы получили неравенство и снова его заменили на то, которое имеет более простой вид и т.д.
Решая неравенства с переменной нужно находить все его решения. Если два неравенства имеют одну переменную х, то такие неравенства равносильны, при условии, что их решения совпадают.
Выполняя задания на решение логарифмических неравенств, необходимо запомнить, что когда a > 1, то логарифмическая функция возрастает, а когда 0 < a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Способы решения логарифмических неравенств
Сейчас рассмотрим некоторые способы, которые имеют место при решении логарифмических неравенств. Для лучшего понимания и усвоения, попытаемся в них разобраться на конкретных примерах.
Нам с вами известно, что простейшее логарифмическое неравенство имеет такой вид:
В этом неравенстве V – является одним из таких знаков неравенства, как: <,>, ≤ или ≥.
Когда основание данного логарифма больше единицы (a>1), осуществляя переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, то в этом варианте знак неравенства сохраняется, и неравенство будет иметь такой вид:
что равносильно такой вот системе: