Одним из важнейших основных понятий теории вероятностей является понятие о случайной величине.
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.
Примеры случайных величин:
1) число попаданий при трех выстрелах;
2) число вызовов, поступавших на телефонную станцию за сутки;
3) частота попадания при 10 выстрелах.
Во всех трех приведенных примерах случайные величины могут принимать отдельные, изолированные значения, которые можно заранее перечислить.
Так, в примере 1) эти значения:
в примере 2):
в примере 3)
0; 0,1; 0,2; …; 1,0.
Такие случайные величины, принимающие только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются прерывными или дискретными случайными величинами.
Существуют случайные величины другого типа, например:
1) абсцисса точки попадания при выстреле;
2) ошибка взвешивания тела на аналитических весах;
3) скорость летательного аппарата в момент выхода на заданную высоту;
4) вес наугад взятого зерна пшеницы.
Возможные значения таких случайных величин не отделены друг от друга; они непрерывно заполняют некоторый промежуток, который иногда имеет резко выраженные границы, а чаще – границы неопределенные, расплывчатые.
Такие случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными случайными величинами.
Понятие случайной величины играет весьма важную роль в теории вероятностей. Если «классическая» теория вероятностей оперировала по преимуществу с событиями, то современная теория вероятностей предпочитает, где только возможно, оперировать со случайными величинами.
Приведем примеры типичных для теории вероятностей приемов перехода от событий к случайным величинам.
Производится опыт, в результате которого может появиться или не появиться некоторое событие. Вместо события можно рассмотреть случайную величину , которая равна 1, если событие происходит, и равна 0, если событие не происходит. Случайная величина, очевидно, является прерывной; она имеет два возможных значения: 0 и 1. Эта случайная величина называется характеристической случайной величиной события . На практике часто вместо событий оказывается удобнее оперировать их характеристическими случайными величинами. Например, если производится ряд опытов, в каждом из которых возможно появление события , то общее число появлений события равно сумме характеристических случайных величин события во всех опытах. При решении многих практических задач пользование таким приемом оказывается очень удобным.
С другой стороны, очень часто для вычисления вероятности события оказывается удобно связать это событие с какой-то непрерывной случайной величиной (или системой непрерывных величин).
Пусть, например, измеряются координаты какого-то объекта О для того, чтобы построить точку М, изображающую этот объект на панораме (развертке) местности. Нас интересует событие , состоящее в том, что ошибка R в положении точки М не превзойдет заданного значения (рис. 2.4.1). Обозначим случайные ошибки в измерении координат объекта. Очевидно, событие равносильно попаданию случайной точки М с координатами в пределы круга радиуса с центром в точке О. Другими словами, для выполнения события случайные величины и должны удовлетворять неравенству
Вероятность события есть не что иное, как вероятность выполнения неравенства (2.4.1). Эта вероятность может быть определена, если известны свойства случайных величин .
Такая органическая связь между событиями и случайными величинами весьма характерна для современной теории вероятностей, которая, где только возможно, переходит от «схемы событий» к «схеме случайных величин». Последняя схема сравнительно с первой представляет собой гораздо более гибкий и универсальный аппарат для решения задач, относящихся к случайным явлениям.
Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения вероятностей и ее свойства. Плотность распределения вероятности и ее свойства. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и их свойства, среднее квадратическое отклонение, мода и медиана; начальные и центральные моменты, асимметрия и эксцесс. Числовые характеристики среднего арифметического n независимых случайных величин.Понятие случайной величины
Случайной называется величина, которая в результате испытаний принимает то или иное (но при этом только одно) возможное значение, заранее неизвестное, меняющееся от испытания к испытанию и зависящее от случайных обстоятельств. В отличие от случайного события, являющегося качественной характеристикой случайного результата испытания, случайная величина характеризует результат испытания количественно. Примерами случайной величины могут служить размер обрабатываемой детали, погрешность результата измерения какого-либо параметра изделия или среды. Среди случайных величин, с которыми приходится встречаться на практике, можно выделить два основных типа: дискретные и непрерывные.
Дискретной называется случайная величина, принимающая конечное или бесконечное счетное множество значений. Например: частота попаданий при трех выстрелах; число бракованных изделий в партии из n штук; число вызовов, поступающих на телефонную станцию в течение суток; число отказов элементов прибора за определенный промежуток времени при испытании его на надежность; число выстрелов до первого попадания в цель и т. д.
Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного интервала. Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Например: ошибка при измерении дальности радиолокатора; время безотказной работы микросхемы; погрешность изготовления деталей; концентрация соли в морской воде и т. д.
Случайные величины обычно обозначают буквами X,Y и т. д., а их возможные значения - x,y и т. д. Для задания случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения. Необходимо также знать, как часто могут появиться те или иные ее значения в результате испытаний при одних и тех же условиях, т. е. нужно задать вероятности их появления. Совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей составляет распределение случайной величины.
Законы распределения случайной величины
Законом распределения случайной величины называется соответствие между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину говорят, что она подчиняется данному закону распределения. Две случайные величины называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит то того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми . Несколько случайных величин называются взаимно независимыми , если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.
Закон распределения случайной величины может быть задан в виде таблицы, функции распределения либо плотности распределения. Таблица, содержащая возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности, является простейшей формой задания закона распределения случайной величины.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline{X}&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_{n-1}&x_n\\\hline{P}&p_1&p_2&p_3&\cdots&p_{n-1}&p_n\\\hline\end{array}
Табличное задание закона распределения можно использовать только для дискретной случайной величины с конечным числом возможных значений. Табличная форма задания закона случайной величины называется также рядом распределения.
Для наглядности ряд распределения представляют графически. При графическом изображении в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают все возможные значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие вероятности. Точки (x_i,p_i) , соединенные прямолинейными отрезками, называют многоугольником распределения (рис. 5). Следует помнить, что соединение точек (x_i,p_i) выполняется только с целью наглядности, так как в промежутках между x_1 и x_2 , x_2 и x_3 и т. д. не существует значений, которые может принимать случайная величина X , поэтому вероятности её появления в этих промежутках равны нулю.
Многоугольник распределения, как и ряд распределения, является одной из форм задания закона распределения дискретной случайной величины. Они могут иметь различную форму, однако все обладают одним общим свойством: сумма ординат вершин многоугольника распределения, представляющая собой сумму вероятностей всех возможных значений случайной величины, всегда равна единице. Это свойство следует из того, что все возможные значения случайной величины X образуют полную группу несовместных событий, сумма вероятностей которых равна единице.
Функция распределения вероятностей и ее свойства
Функция распределения является наиболее общей формой задания закона распределения. Она используется для задания как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Обычно ее обозначают F(x)
. Функция распределения
определяет вероятность того, что случайная величина X
принимает значения, меньшие фиксированного действительного числа x
, т. е. F(x)=P\{X
Геометрическая интерпретация функции распределения очень проста. Если случайную величину рассматривать как случайную точку X оси Ox (рис. 6), которая в результате испытания может занять то или иное положение на оси, то функция распределения F(x) - это вероятность того, что случайная точка X в результате испытания попадет левее точки x .
Для дискретной случайной величины X , которая может принимать значения , функция распределения имеет вид
F(x)=\sum\limits_{x_i Непрерывная случайная величина имеет непрерывную функцию распределения, график этой функции имеет форму плавной кривой (рис. 8). Рассмотрим общие свойства функций распределения. Свойство 1.
Функция распределения - неотрицательная, функция, заключенная между нулем и единицей: 0\leqslant{F(x)}\leqslant1
Справедливость этого свойства вытекает из того, что функция распределения F(x)
определена как вероятность случайного события, состоящего в том, что X Свойство 2.
Вероятность попадания случайной величины в интервал [\alpha;\beta)
равна разности значений функции распределения на концах этого интервала, т. е. P\{\alpha\leqslant{X}<\beta\}=F(\beta)-F(\alpha)
Отсюда следует, что вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Свойство 3.
Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция, т. е. F(\beta)\geqslant{F(\alpha)}
. Свойство 4.
На минус бесконечности функция распределения равна нулю, а на плюс бесконечности - единице, т. е. \lim_{x\to-\infty}F(x)=0
и \lim_{x\to+\infty}F(x)=1
. Пример 1.
Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением F(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant1\\a(x-1)^2,&1 Найти коэффициент a
и построить график F(x)
. Определить вероятность того, что случайная величина X
в результате опыта примет значение на интервале
. Решение.
Так как функция распределения непрерывной случайной величины X
непрерывна, то при x=3
получим a(3-1)^2=1
. Отсюда a=\frac{1}{4}
. График функции F(x)
изображен на рис. 9. Исходя из второго свойства функции распределения, имеем P\{1\leqslant{X}<2\}=F(2)-F(1)=\frac{1}{4}.
Функция распределения непрерывной случайной величины является ее вероятностной характеристикой. Но она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси. Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины дает функция, которая называется плотностью распределения вероятности, или дифференциальной функцией распределения случайной величины. Плотность распределения
f(x)
равна производной от функции распределения F(x)
, т. е. F(x)=F"(x).
Смысл плотности распределения f(x)
состоит в том, что она указывает на то, как часто случайная величина X
появляется в некоторой окрестности точки x
при повторении опытов. Кривая, изображающая плотность распределения f(x)
случайной величины, называется кривой распределения.
Рассмотрим свойства плотности распределения.
Свойство 1.
Плотность распределения неотрицательна, т. е. F(x)\geqslant0.
Свойство 2.
Функция распределения случайной величины равна интегралу от плотности в интервале от -\infty
до x
, т. е. F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(x)\,dx.
Свойство 3.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины X
на участок (\alpha;\beta)
равна интегралу от плотности распределения, взятому по этому участку, т. е. P\{\alpha\leqslant{X}\leqslant\beta\}=\int\limits_{\alpha}^{\beta}f(x)\,dx.
Свойство 4.
Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице: \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1.
Пример 2.
Случайная величина X
подчинена закону распределения с плотностью F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\a\sin{x},&0 Определить коэффициент а; построить график плотности распределения; найти вероятность попадания случайной величины на участок от 0
до \frac{\pi}{2}
определить функцию распределения и построить ее график. \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=a\int\limits_{0}^{\pi}\sin{x}\,dx=\Bigl.{-a\cos{x}}\Bigl|_{0}^{\pi}=2a.
Учитывая свойство 4 плотности распределения, находим a=\frac{1}{2}
. Следовательно, плотность распределения можно выразить так: F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\\dfrac{1}{2}\sin{x},&0 График плотности распределения на рис. 10. По свойству 3, имеем P\!\left\{0 Для определения функции распределения воспользуемся свойством 2: F(x)=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{x}\sin{x}\,dx=\Bigl.{\-\frac{1}{2}\cos{x}}\Bigl|_{0}^{x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos{x}.
Таким образом, имеем F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos{x},&0 График функции распределения изображен на рис. 11 Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Но при решении ряда практических задач нет необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями. Такие показатели называются числовыми характеристиками случайной величины.
Основными из них являются математическое ожидание, дисперсия, моменты различных порядков, мода и медиана. Математическое ожидание иногда называют средним значением случайной величины. Рассмотрим дискретную случайную величину X
, принимающую значения x_1,x_2,\ldots,x_n
с вероятностями соответственно p_1,p_2,\ldots,p_n
Определим среднюю арифметическую значений случайной величины, взвешенных по вероятностям их появлений. Таким образом, вычислим среднее значение случайной величины, или ее математическое ожидание M(X)
: M(X)=\frac{x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_ip_i}{\sum\limits_{i=1}^{n}p_i}.
Учитывая, что \sum\limits_{i=1}^{n}p_i=1
получаем M(X)=\sum\limits_{i=1}^{n}x_ip_i}.~~~~~~~(4.1)
Итак, математическим ожиданием
дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности. Для непрерывной случайной величины математическое ожидание M(X)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}xf(x)\,dx.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины
X
, возможные значения которой принадлежат отрезку
, M(X)=\int\limits_{a}^{b}xf(x)\,dx.~~~~~~~(4.2)
Используя функцию распределения вероятностей F(x)
, математическое ожидание случайной величины можно выразить так: M(X)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}x\,d(F(x)).
Свойство 1.
Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Свойство 2.
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY)=M(X)M(Y).
Свойство 3.
Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(c)=c.
Свойство 4.
Постоянный множитель случайной величины можно вынести за знак математического ожидания: M(cX)=cM(X).
Свойство 5.
Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю: M(X-M(X))=0.
Пример 3.
Найти математическое ожидание количества бракованных изделий в выборке из пяти изделий, если случайная величина X (количество бракованных изделий) задана рядом распределения. \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline{X}&0&1&2&3&4&5\\\hline{P}&0,\!2373&0,\!3955&0,\!2637&0,\!0879&0,\!0146&0,\!0010\\\hline\end{array}
Решение.
По формуле (4.1) находим M(X)=0\cdot0,\!2373+1\cdot0,\!3955+2\cdot0,\!2637+3\cdot0,\!0879+4\cdot0,\!0146+5\cdot0,\!0010
=1,\!25.
Модой M_0
дискретной случайной величины
называется наиболее вероятное ее значение. Модой M_0
непрерывной случайной величины
называется такое ее значение, которому соответствует наибольшее значение плотности распределения. Геометрически моду интерпретируют как абсциссу точки глобального максимума кривой распределения (рис. 12). Медианой M_e
случайной величины
называется такое ее значение, для которого справедливо равенство P\{X С геометрической точки зрения медиана - это абсцисса точки, в которой площадь фигуры, ограниченной кривой распределения вероятностей и осью абсцисс, делится пополам (рис. 12). Так как вся площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице, то функция распределения в точке, соответствующей медиане, равна 0,5, т. е. F(M_e)=P\{X С помощью дисперсии и среднеквадратического отклонения можно судить о рассеивании случайной величины вокруг математического ожидания. В качестве меры рассеивания случайной величины используют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, которое называют дисперсией случайной величины
X
и обозначают D[X]
: D[X]=M((X-M(X))^2).
Для дискретной случайной величины дисперсия равна сумме произведений квадратов отклонений значений случайной величины от ее математического ожидания на соответствующие вероятности: D[X]=\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-M(X))^2p_i.
Для непрерывной случайной величины, закон распределения которой задан плотностью распределения вероятности f(x)
, дисперсия D[X]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(x-M(X))^2f(x)\,dx.
Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины и поэтому ее нельзя интерпретировать геометрически. Этих недостатков лишено среднее квадратическое отклонение случайной величины, которое вычисляется по формуле \sigma=\sqrt{D[X]}.
Свойство 1.
Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D=D[X]+D[Y].
Свойство 2.
Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X
и квадратом ее математического ожидания: D[X]=M(X^2)-(M(X))^2.~~~~~~~(4.3).
Свойство 3.
Дисперсия постоянной величины равна нулю: D[c]=0.
Свойство 4.
Постоянный множитель случайной величины, можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D=c^2D[X].
Свойство 5.
Дисперсия произведения двух независимых случайных величин X
и Y
определяется по формуле D=D[X]D[Y]+(M(X))^2D[Y]+(M(X))^2D[X].
Пример 4.
Вычислить дисперсию количества бракованных изделий для распределения примера 3. Решение.
По определению дисперсии Обобщением основных числовых характеристик случайной величины является понятие моментов случайной величины. Начальным моментом q-го порядка
случайной величины называют математическое ожидание величины X^q
: Начальный момент первого порядка представляет собой математическое ожидание, а центральный момент второго порядка - дисперсию случайной величины. Нормированный центральный момент третьего порядка служит характеристикой скошенности или асимметрии распределения (коэффициент асимметрии
): A_s=\frac{\mu_{{}_3}}{\sigma^3}.
Нормированный центральный момент четвертого порядка служит характеристикой островершинности или плосковершинности распределения (эксцесс
): E=\frac{\mu_{{}_4}}{\sigma^4}-3.
Пример 5.
Случайная величина X
задана плотностью распределения вероятностей F(x)=\begin{cases}0,&x<0;\\ax^2,&0 Найти коэффициент a
, математическое ожидание, дисперсию, асимметрию и эксцесс. Решение.
Площадь, ограниченная кривой распределения, численно равна \int\limits_{0}^{2}f(x)\,dx=a\int\limits_{0}^{2}x^2\,dx=\left.{a\,\frac{x^3}{3}}\right|_{0}^{2}=\frac{8}{3}\,a.
Учитывая, что эта площадь должна быть равна единице, находим a=\frac{3}{8}
. По формуле (4.2) найдем математическое ожидание: M(X)=\int\limits_{0}^{2}xf(x)\,dx=\frac{3}{8}\int\limits_{0}^{2}x^3\,dx=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^4}{4}}\right|_{0}^{2}=1,\!5.
Дисперсию определим по формуле (4.3). Для этого найдем сначала математическое ожидание квадрата случайной величины: M(X^2)=\int\limits_{0}^{2}x^2f(x)\,dx=\frac{3}{8}\int\limits_{0}^{2}x^4\,dx=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^5}{5}}\right|_{0}^{2}=2,\!4.
Таким образом, \begin{aligned}D(X)&=M(X^2)-(M(X))^2=2,\!4-(1,\!5)^2=0,\!15;\\ \sigma(X)&=\sqrt{D(X)}=\sqrt{0,\!15}\approx0,\!3873.\end{aligned}
Используя начальные моменты, вычисляем центральные моменты третьего и четвертого порядка: \begin{aligned}\nu_1&=M(X)=1,\!5;\quad\nu_2=M(X^2)=2,\!4.\\ \nu_3&=M(X^3)=\int\limits_0^2{x^3f(x)\,dx}=\frac{3}{8}\int\limits_0^2{x^5\,dx}=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^6}{6}}\right|_0^2=4;\\ \nu_4&=M(X^4)=\int\limits_0^2{x^4f(x)\,dx}=\frac{3}{8}\int\limits_0^2{x^6\,dx}=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^7}{7}}\right|_0^2\approx6,\!8571;\\ \mu_3&=\nu_3-3\nu_1\nu_2+2\nu_1^3=4-3\cdot1,\!5\cdot2,\!4+2\cdot(1,\!5)^3=-0,\!05.\\ \mu_4&=\nu_4-4\nu_1\nu_3+6\nu_1^2\nu_2-3\nu_1^4=\\&=6,\!8571-4\cdot1,\!5\cdot4+6\cdot(1,\!5)^2\cdot2,\!4-3\cdot(1,\!5)^4=0,\!0696.\\ A_s&=\frac{\mu_3}{\sigma^3}=-\frac{0,\!05}{(0,\!3873)^3}=-0,\!86.\\ E&=\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3=\frac{0,\!0696}{(0,\!3873)^4}-3=-0,\!093.\end{aligned}
Пусть x_1,x_2,\ldots,x_n
- значения случайной величины X
, полученные при n
независимых испытаниях. Математическое ожидание случайной величины равно M(X)
, а ее дисперсия D[X]
. Эти значения можно рассматривать как независимые случайные величины X_1,X_2,\ldots,X_n
с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями: M(X_i)=M(X); \quad D=D[X],~~i=1,2,\ldots,n.
Средняя арифметическая этих случайных величин \overline{X}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{X_i}{n}.
Используя свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины, можно записать: \begin{aligned}M(\overline{X})&=M\!\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}M(X_i)=M(X).~~~~~~~(4.4)\\ D[\overline{X}]&=D\!\left[\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right]=\frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^{n}D=\frac{D[X]}{n}.~~~~~~~(4.5)\end{aligned}
– количество мальчиков среди 10 новорождённых. Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться: Либо мальчиков – один и только один
из перечисленных вариантов. И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры: – дальность прыжка в длину (в некоторых единицах)
. Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта:) Тем не менее, ваши гипотезы? 2) Непрерывная случайная величина – принимает все
числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Примечание
: в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ
Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную
. – этосоответствие
между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей: А теперь очень важный момент
: поскольку случайная величина обязательно
примет одно из значений
, то соответствующие события образуют полную группу
и сумма вероятностей их наступления равна единице: или, если записать свёрнуто: Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид: Без комментариев. Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми: Пример 1
Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша: …наверное, вы давно мечтали о таких задачах:) Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля
. Решение
: так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу
, а значит, сумма их вероятностей равна единице: Разоблачаем «партизана»: Контроль: , в чём и требовалось убедиться. Ответ
: Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности
, теоремы умножения / сложения вероятностей событий
и другие фишки тервера
: Пример 2
В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет. Решение
: как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания
. Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно рублей. Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению
: С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша рублей составляет: Проверка: – и это особенно приятный момент таких заданий! Ответ
: искомый закон распределения выигрыша: Следующее задание для самостоятельного решения: Пример 3
Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов. …я знал, что вы по нему соскучились:) Вспоминаем теоремы умножения и сложения
. Решение и ответ в конце урока. Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики
. Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение
при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями или в свёрнутом виде: Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков: Теперь вспомним нашу гипотетическую игру: Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный
по вероятностям выигрыш: Таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно
. Не верь впечатлениям – верь цифрам! Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры:) Ну, может, только ради развлечения
. Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина. Творческое задание для самостоятельного исследования: Пример 4
Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем
проигрывает игрок с каждой поставленной сотни? Справка
: европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино
Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны. Размещено на http://www.allbest.ru/ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет)» Факультет «Приборостроительный (КТУР)»
Кафедра «Информационно-измерительная техника» Реферат на тему «Что такое случайная величина?» по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» Проверил: ______________/ А.П. Лапин Выполнил: студент группы ПС-236 _______________/Загоскин Я.С./ Челябинск 2015 ВВЕДЕНИЕ 1. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА ЗАКЛЮЧЕНИЕ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ВВЕДЕНИЕ Теория вероятностей - относительно молодая, но уже ставшая классической, ветвь математики. Развитие ее как отдельной науки пришлось на середину XVII века, и началось с переписки двух известных во всем мире французских математиков: Блеза Паскаля и Пьера де Ферма. Однако задачами, относящимися к просчету вероятностей в азартных играх, ученые начали интересоваться значительно раньше. Так, например, итальянский математик Лука Пачоли еще в 1494 в своем труде «Сумма арифметики, геометрии, отношений и пропорций» («Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalitа»), рассмотрел одну из задач о вероятностях, но, к сожалению, привел ошибочное решение. Сегодня методы теории вероятностей и математической статистики являются неотъемлемой частью практически любой дисциплины, как технической, так и гуманитарной направленности. Законы распределения случайных величин оказались применимыми не только к математике, физике, химии, и так далее, но и к дисциплинам, носящим отчасти прогностический характер, таким как социология, экономика, политология, etc. В данной работе, познакомимся с основными понятиями, терминами и законами теории вероятностей и математической статистики, а так же с применением последних на практике. 1. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА 1.1 Определение случайной величины Случайная величина - это фундаментальное понятие теории вероятностей и математической статистики. Каждый автор по-своему формулирует понятие случайной величины. Е.С. Вентцель, например, определяет случайную величину, как величину, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно . Иначе говоря, случайная величина это величина, имеющая целый набор допустимых значений, но принимающая лишь одно, и какое именно, заранее точно сказать нельзя. Формальное математическое определение случайной величины звучит следующим образом: Пусть (Щ, F, P) - вероятностное пространство, тогда случайной величиной называют функцию X: Щ > R . Случайную величину на практике обычно обозначают заглавными буквами, например: X, Y, Z, тогда, как возможные значения самой величины определяются строчными знаками: x, y, z. 1.2 Виды и примеры случайных величин Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные. К дискретным относятся те случайные величины, множество значений которых конечно или фиксировано. Примером дискретной случайной величины, можно считать количество попаданий в цель при заранее определенном числе выстрелов. Непрерывная случайная величина это такая величина, множество значений которой несчётно или бесконечно. В качестве примера для непрерывной случайной величины, можно взять количество кругов на воде, после попадания в нее камня, или расстояние, которое пролетит стрела, прежде чем упасть на землю. Все случайные величины, ко всему прочему, имеют еще одну важную характеристику - ряд допустимых значений, который, в свою очередь, может как ограниченным, так и неограниченным. Отсюда, имеем, в зависимости от числа допустимых значений, ограниченные случайные величины, ряд допустимых значений конечен или фиксирован, и неограниченные, количество допустимых значений которых бесконечно. Дискретные случайные величины могут иметь ограниченный и неограниченный ряд возможных значений, когда как непрерывные - только неограниченный. На практике в теории вероятностей и математической статистике, как правило, имеют дело только с непрерывными случайными величинами. 2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ 2.1 Закон распределения дискретной случайной величины Любое соотношение между допустимыми значениями случайной величины и вероятностями их наступления называют законом распределения дискретной случайной величины. Существует два способа задания закона распределения: · Аналитически, когда закон распределения задается в виде таблицы соответствия значений случайной величины и их вероятностью, именуемой рядом распределения: Таблица 1 - ряд распределения случайной величины Здесь, в первой строке располагаются возможные значения случайной величины, а во второй - их вероятности, при этом сумма всех вероятностей равна единице: · Графически, когда таблица распределения случайно величины принимает многоугольника распределения: Рисунок 1 - многоугольник распределения случайной величины Где сумма всех ординат многоугольника является вероятностью всех допустимых значений случайной величины, следовательно, также равна единице. Существует также биномиальный закон распределения дискретной случайной величины или, второе название - закон распределения Бернулли. Определение: дискретная случайная величина о распределена по биномиальному закону, если вероятность того, что событие A наступит ровно m раз в серии из n испытаний по схеме Бернулли, равна: Или в виде таблицы: Таблица 2 - ряд биномиального распределения Примером является выборочный контроль качества производственных изделий, при котором отбор изделий для пробы производится по схеме случайной повторной выборки, т.е. когда проверенные изделия возвращаются в исходную партию. Тогда количество нестандартных изделий среди отобранных есть случайная величина с биномиальным законом распределения вероятностей. Дискретная случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если она имеет неограниченное счетное множество допустимых значений 0, 1, 2, …, m, … Тогда соответствующие вероятности определяются формулой (3): M = 0, 1, 2,…; (3) Примером явления, распределенного по закону Пуассона, является последовательность радиоактивного распада частиц. 2.2 Законы распределения непрерывной случайной величины случайный величина теория вероятность Рассмотренные выше правила распределения случайной величины являются справедливыми лишь по отношению к дискретным величинам, в силу того, что все перечисленные законы строятся исключительно из соображения, что количество возможных значений случайной величины конечно и строго фиксировано. Именно поэтому, например, распределить непрерывную случайную величину по закону Пуассона или Бернулли не получится, так как невозможно перечислить количество допустимых значений данной величины - оно бесконечно. Для описания распределения непрерывных случайных величин существуют следующие законы: Рассмотрим значения случайной величины Х такие, что Х<х. Вероятность события X<х зависит от x, т.е. является функцией x. Эта функция и называется интегральной функцией распределения и обозначается через F(x): Равенство (4) читается: Вероятность того, что случайное значение X находится левее значения х, определяется функцией распределения F(x). Рисунок 2 - Графическое представление функции распределения с.в. Стоит отметить, что в виде функции распределения, можно описывать как непрерывную, так и дискретную случайные величины - это универсальная характеристика. Для непрерывных случайных величин на практике, наравне с функцией распределения F(x), также принято использовать другой закон распределения - плотность распределения вероятностей случайной величины: Равенство (5) - дифференциальный закон распределения случайной величины, который выражает крутизну функции распределения F(x). Рисунок 3 - Графическое представление дифференциального закона распределения с.в. Заметим, что дифференциальный закон распределения случайной величины не является универсальным - он применим исключительно к непрерывным случайным величинам. Одним из часто используемых на практике законов, является нормальный закон распределения - закон распределения Гаусса. Закон характеризует плотность вероятности нормально распределенной случайной величины X и имеет вид: Где a и у параметры распределения имеют значения: Кривая распределения (рисунок 4а), или кривая Гаусса, получается симметричной относительной точки x = a - точки максимума. При уменьшении значения у ордината точки максимума безгранично возрастает, кривая же при этом пропорционально расходится вдоль оси абсцисс, сохраняя площадь графика постоянной величиной, равной единице (рисунок 4б). Рисунок 4 - Кривые распределения: 4а - кривая Гаусса, 4б - поведение кривой Гаусса при изменении параметра у; На практике, нормальное распределение играет значимую роль во многих областях знаний, но особенное внимание ей уделяют в физике. Физическая величина подчиняется закону Гаусса, когда она подвергается влиянию большого числа случайных помех, что является крайне распространенной ситуацией, вследствие чего нормальное распределение чаще всего встречается в природе, и именно отсюда пошло ее название. Непрерывная случайная величина называется равномерно распределенной на промежутке (a, b), если все ее возможные значения принадлежат этому промежутку и плотность распределения вероятностей постоянна - закон равномерного распределения непрерывной случайной величины, имеющий вид: Для случайной величины Х, равномерно распределенной в интервале (a, b) (рисунок 5), вероятность попадания в любой интервал (x1, x2), лежащий внутри интервала (a, b), равна: Рисунок 5 - График плотности равномерного распределения В качестве примера равномерно распределенных величин, можно взять ошибки округления. Так, если все табличные значения некоторой функции округлены до одного и того же разряда, то выбирая наугад табличное значение, мы считаем, что ошибка округления выбранного числа - случайная величина, равномерно распределенная в интервале, где. Непрерывная случайная величина X называется показательно распределенной, если плотность распределения ее вероятностей имеет вид: В качестве примера, возьмем время Т безотказной работы компьютерной системы, где Т - случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром л, физический смысл которого - среднее число отказов в единицу времени, не считая простоев системы для ремонта. Рисунок 6 - График плотности показательного распределения ЗАКЛЮЧЕНИЕ Методы, средства и законы теории вероятностей и математической статистики на протяжении всех этапов формирования дисциплины, являлись актуальным, какими и остаются вплоть до наших дней. Главный принцип методов, позволивший затронуть столь огромное количество отраслей и сфер знания - универсальность. Их с легкостью можно применять в любой дисциплине, и при этом они не теряют своей силы, остаются справедливыми. Но никогда еще теория вероятностей не была столь востребована, как сегодня. Связано это в первую очередь с невероятными темпами развития и роста вычислительной техники. С каждым годом она становится все сложнее, повышается быстродействие, количество производимых в секунду операций, и все это происходит не без участия математической статистики, которая, в свою помогает оптимизировать работу вычислительных систем и комплексов, повышает точность расчетов, осуществляет прогностическую функцию. Данная работа частично помогает разобраться в азах дисциплины. Знакомит с фундаментальными понятиями, такими как дискретные и непрерывные случайные величины, поясняет разницу между последними. Знакомит с законами их распределения, с дальнейшим применением всех полученных знаний на практике. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей/ Е.С. Вентцель - М.:Наука, 1969г. 2. Смирнов, Н.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений./ Н.В. Смирнов, И.В. Дунин-Барковский - М.: «Наука», 1969г. 3. Пустыльник, Е.И. Статистические методы анализа и обработка наблюдений: учебное пособие/ Е.И. Пустыльник. - М.:«Наука», 1968г. 4. Джонсон, Н. Статистика и планирование в науке и технике./ Н. Джонсон, Ф. Лион - М.: «Мир», 1969г. 5.http://www.wikipedia.org/ Аннотация Загоскин Я.С. «Что такое случайная величина?» Челябинск: Юургу Библиогр. Список - 5 наим. Цель реферата: Познакомиться с базовыми терминами теории вероятностей и математической статистики. Задачи реферата: Разобраться с понятием случайной величины. Рассмотрено понятие случайной величины, определена классификация случайных величин, рассмотрены законы их распределения, примеры применения законов и методов на практике, а также проанализирована перспективность дисциплины. Размещено на Allbest.ru Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал. Построение графика функции распределения случайной величины. Определение вероятности того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту. Закон распределения дискретной случайной величины. контрольная работа , добавлен 24.01.2013 Непрерывная случайная величина и функция распределения. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Среднее квадратичное отклонение. Кривая распределения для непрерывной случайной величины. Понятие однофакторного дисперсионного анализа. контрольная работа , добавлен 03.01.2012 Описание случайных ошибок методами теории вероятностей. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Нормальный закон распределения. Понятие функции случайной величины. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел. реферат , добавлен 19.08.2015 Случайные величины. Функция и плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины. Сингулярные случайные величины. Математическое ожидание случайной величины. Неравенство Чебышева. Моменты, кумулянты и характеристическая функция. реферат , добавлен 03.12.2007 Задачи математической статистики. Распределение случайной величины на основе опытных данных. Эмпирическая функция распределения. Статистические оценки параметров распределения. Нормальный закон распределения случайной величины, проверка гипотезы. курсовая работа , добавлен 13.10.2009 Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания, дисперсия случайной величины, их суммы. Функция от случайных величин, ее математическое ожидание. Коэффициент корреляции, виды сходимости последовательности случайных величин. лекция , добавлен 17.12.2010 Дискретные системы двух случайных величин. Композиция законов распределения, входящих в систему. Определение вероятности попадания случайной величины в интервал; числовые характеристики функции; математическое ожидание и дисперсия случайной величины. контрольная работа , добавлен 22.11.2013 Плотность распределения непрерывной случайной величины. Характеристика особенностей равномерного и нормального распределения. Вероятность попадания случайной величины в интервал. Свойства функции распределения. Общее понятие о регрессионном анализе. контрольная работа , добавлен 26.04.2013 Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения. контрольная работа , добавлен 25.03.2015 Функция распределения непрерывной случайной величины. Математическое ожидание непрерывной случайной величины, плотность распределения вероятностей системы. Ковариация. Коэффициент корреляции. Расширением понятия случайных событий, состоящих в появлении некоторых числовых значений в результате эксперимента, является случайная величина
Х. Определение. Случайной
называют величину, принимающую в результате эксперимента одно только значение
из некоторой их совокупности и неизвестное заранее, какое именно. Случайная величина
, к примеру, представляет собой обоснованную модель описания геологических данных, учитывающую влияние различных факторов на физическое поле
. Как и результат отдельного эксперимента, точное значение
случайной величины предсказать нельзя, можно лишь установить ее статистические закономерности, т.е. определить вероятности значений случайной величины. Например, измерения физических свойств горных пород являются наблюдениями соответствующих случайных величин. Среди случайных величин, с которыми приходится встречаться геологу, можно выделить два основных типа: величины дискретные
и величины непрерывные
. Определение. Дискретной
случайной величиной называется такая, которая может принимать конечное или бесконечное счетное множество значений. В качестве типичных примеров дискретной случайной величины могут выступать все результаты полевых работ
, все результаты экспериментов, привезенные c поля образцы и пр. Всевозможные значений случайной величины образуют полную группу
событий, т.е. , где - конечное или бесконечное. Поэтому можно говорить, что случайная величина
обобщает понятие случайного события. Пусть в результате исследований был получен следующий ряд данных по количественному составу некоторой породы: 4; 3; 1; 2; 5; 4; 2; 2; 3; 1; 5; 4; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Всего было проведено 20 испытаний. Для того, чтобы с данными было удобно работать, их преобразовали: расположили полученные значения по возрастанию и подсчитали количество появления каждого из значений. В результате получили (Таблица 7.1): Определение
. Распределение данных по возрастанию называется ранжированием
. Определение
. Наблюдаемое значение
некоторого признака случайной величины называется вариантом. Определение
. Ряд, составленный из вариант, называется вариационным рядом
. Определение
. Изменение некоторого признака случайной величины называется варьированным
. Определение
. Число, показывающее сколько раз варьируется данная варианта, называется частотой и обозначается . Определение. Вероятность
появления данной варианты равно отношению частоты к общей сумме вариационного ряда С учетом введенных определений перепишем таблицу 7.1 . При статистическом анализе экспериментальных данных главным образом используется дискретные величины. В таблице 7.3 приведены основные числовые характеристики этих величин, имеющих важное практическое значение
при обработке экспериментальных данных.
где неравенство x_i
Плотность распределения вероятности и ее свойства
Числовые характеристики случайных величин
Свойства математического ожидания
Свойства дисперсии случайных величин
Числовые характеристики среднего арифметического n независимых случайных величин
Перейти к следующему разделу
Многомерные случайные величины
В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Закон распределения дискретной случайной величины
Довольно часто встречается термин ряд
распределения
, но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».
– таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.
– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.
Математическое ожидание дискретной случайной величины
соответственно. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно сумме произведений
всех её значений на соответствующие вероятности:
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Подобные документы
(1)
Таблица
7.2.
Ранжированный ряд
Вариант
1
2
3
4
5
6
Частота
3
4
3
3
6
1
Вероятность
3/20
4/20
3/20
3/20
6/20
1/20
Таблица
7.3.
Числовые характеристики случайных величин
N п/п
Характеристика (параметр) случайной величины и ее обозначение
Формула для нахождения характеристики случайной величины
Примечание
1
Математическое ожидание
(2)
Характеризует положение случайной величины на числовой оси
2
Среднее значение
(3)
Если случайная величина независимая, то
3
Мода
Это такое значение , для которого наиболь-шее
Равна наиболее часто встречающемуся значению . Если таких значений в вариационном ряду несколько, то не определяется.
4
Медиана
Если четное, то
Если нечетное, то 
Это такое значение, которое находится в центре ранжированного ряда.
5
Дисперсия
Характеризует действительное рассеяние случайной величины вокруг среднего значения.
7
Коэффициент вариации
(6)
Наряду с дисперсией характеризует изменчивость случайной величины
8
Центрированное нормированное уклонение