Силовые линии напряженности электрического поля - линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором Е По их направлению можно судить, где расположены положительные (+) и отрицательные (–) заряды, создающие электрическое поле. Густота линий (количество линий, пронизывающих единичную площадку поверхности, перпендикулярную к ним) численно равно модулю вектора Е.
Силовые линии напряженности электрического поля Силовые линии напряженности электрического поля не замкнуты, имеют начало и конец. Можно говорить, что электрическое поле имеет «источники» и «стоки» силовых линий. Силовые линии начинаются на положительных (+) зарядах (Рис. а), заканчиваются на отрицательных (–) зарядах (Рис. б). Силовые линии не пересекаются.
Поток вектора напряженности электрического поля Произвольная площадка dS. Поток вектора напряженности электрического поля через площадку dS: - псевдовектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направление вектора n к площадке dS. Е = constdФ Е = N - числу линий вектора напряженности электрического поля Е, пронизывающих площадку dS.
Поток вектора напряженности электрического поля Если поверхность не плоская, а поле неоднородное, то выделяют малый элемент dS, который считать плоским, а поле – однородным. Поток вектора напряженности электрического поля: Знак потока совпадает со знаком заряда.
Закон (теорема) Гаусса в интегральной форме. Телесный угол – часть пространства, ограниченная конической поверхностью. Мера телесного угла – отношение площади S сферы, вырезаемой на поверхности сферы конической поверхностью к квадрату радиуса R сферы. 1 стерадиан – телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающий на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, по длине равной радиусу этой сферы.
Теорема Гаусса в интегральной форме Электрическое поле создается точечным зарядом +q в вакууме. Поток d Ф Е, создаваемого этим зарядом, через бесконечно малую площадку dS, радиус вектор которой r. dS n – проекция площадки dS на плоскость перпендикулярную в ектору r. n – единичный вектор положительной нормали к площадке dS.
Если произвольная поверхность окружает k– зарядов, то согласно принципу суперпозиции: Теорема Гаусса: для электрического поля в вакууме поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленных на ε 0.
Методика применения теоремы Гаусса для расчета электрических полей – второй способ определения напряженности электрического поля Е Теорема Гаусса применяется для нахождения полей, созданных телами, обладающими геометрической симметрией. Тогда векторное уравнение сводится к скалярному.
Методика применения теоремы Гаусса для расчета электрических полей – второй способ определения напряженности электрического поля Е 1) Находится поток Ф Е вектора Е по определению потока. 2) Находится поток Ф Е по теореме Гаусса. 3) Из условия равенства потоков находится вектор Е.
Примеры применения теоремы Гаусса 1. Поле бесконечной однородно заряженной нити (цилиндра) с линейной плотностью τ (τ = dq/dl, Кл/м). Поле симметричное, направлено перпендикулярно нити и из соображений симметрии на одинаковом расстоянии от оси симметрии цилиндра (нити) имеет одинаковое значение.
2.Поле равномерно заряженной сферы радиуса R. Поле симметричное, линии напряженности Е электрического поля направлены в радиальном направлении, и на одинаковом расстоянии от точки О поле имеет одно и то же значение. Вектор единичной нормали n к сфере радиуса r совпадает с вектором напряженности Е. Охватим заряженную (+q) сферу вспомогательной сферической поверхностью радиуса r.
2.Поле равномерно заряженной сферы При поле сферы находится как поле точечного заряда. При r
(σ = dq/dS, Кл/м 2). Поле симметричное, вектор Е перпендикулярен плоскости с поверхностной плотностью заряда +σ и на одинаковом расстоянии от плоскости имеет одинаковое значение. 3. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда + σ В качестве замкнутой поверхности возьмем цилиндр, основания которого параллельны плоскости, и который делится заряженной плоскостью на две равные половины.
Теорема Ирншоу Система неподвижных электрических зарядов не может находиться в устойчивом равновесии. Заряд + q будет находиться в равновесии, если при его перемещении на расстояние dr со стороны всех остальных зарядов системы, расположенных вне поверхности S, будет действовать сила F, возвращающая его в исходное положение. Имеется система зарядов q 1, q 2, … q n. Один из зарядов q системы охватим замкнутой поверхностью S. n – единичный вектор нормали к поверхности S.
Теорема Ирншоу Сила F обусловлена полем Е, созданным всеми остальными зарядами. Поле всех внешних зарядов Е должно быть направлено противоположно направлению вектора перемещения dr, то есть от поверхности S к центру. Согласно теореме Гаусса, если заряды не охватываются замкнутой поверхностью, то Ф Е = 0. Противоречие доказывает теорему Ирншоу.
0 вытекает больше, чем втекает. Ф 0 вытекает больше, чем втекает. Ф 33 Закон Гаусса в дифференциальной форме Дивергенция вектора – число силовых линий, приходящихся на единицу объема, или плотность потока силовых линий. Пример: из объема вытекает и втекает вода. Ф > 0 вытекает больше, чем втекает. Ф 0 вытекает больше, чем втекает. Ф 0 вытекает больше, чем втекает. Ф 0 вытекает больше, чем втекает. Ф 0 вытекает больше, чем втекает. Ф title="Закон Гаусса в дифференциальной форме Дивергенция вектора – число силовых линий, приходящихся на единицу объема, или плотность потока силовых линий. Пример: из объема вытекает и втекает вода. Ф > 0 вытекает больше, чем втекает. Ф
Изображение электростатического поля с помощью векторов напряженности в различных точках поля является очень неудобным, так как картина получается весьма запутанной. Фарадей предложил более простой и наглядный метод изображения электростатического поля с помощьюлиний напряженностей или силовых линий . Силовыми линиями называются кривые, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности поля (рис.1.2). Направление силовой линии совпадает с направлением . Силовые линии начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных. Силовые линии не пересекаются, так как в каждой точке поля векторимеет лишь одно направление. Электростатическое поле считается однородным, если напряженность во всех его точках одинакова по величине и направлению. Силовыми линиями такого поля являются прямые, параллельные вектору напряженности.
Силовые линии поля точечных зарядов - радиальные прямые, выходящие из заряда и уходящие в бесконечность, если он положителен (рис.1.3а). Если заряд отрицателен, направление силовых линий оказывается обратным: они начинаются в бесконечности и оканчиваются на заряде -q (рис.1.3б). Поле точечных зарядов обладает центральной симметрией.
Рис.1.3. Линии напряженности точечных зарядов: а - положительного, б - отрицательного.
На рис.1.3 изображены плоские сечения электростатических полей системы двух одинаковых по величине зарядов: а) заряды, одинаковые по знаку, б) заряды, разные по знаку.1. 5. Принцип суперпозиции электростатических полей.
Основной задачей электростатики является определение величины и направления вектора напряженности в каждой точке поля, создаваемого либо системой неподвижных точечных зарядов, либо заряженными поверхностями произвольной формы. Рассмотрим первый случай, когда поле создано системой зарядовq 1 , q 2 ,..., q n . Если в какую-либо точку этого поля поместить пробный заряд q 0 , то на него со стороны зарядов q 1 , q 2 ,..., q n будут действовать кулоновские силы . Согласно принципу независимости действия сил, рассмотренного в механике, равнодействующая силаравна их векторной сумме
.
Используя
формулу напряженности электростатического
поля, левую часть равенства можно
записать:
,
где- напряженность результирующего поля,
создаваемого всей системой зарядов в
точке, где расположен пробный зарядq 0 .
Правую часть равенства соответственно
можно записать
,
где- напряженность поля, создаваемая
одним зарядомq i .
Равенство примет вид
.
Сокращая наq 0 ,
получим
.
Напряженность электростатического поля системы точечных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из этих зарядов в отдельности. В этом заключается принцип независимости действия электростатических полей или принцип суперпозиции (наложения) полей .
Обозначим
через
радиус-вектор, проведенный из точечного
зарядаq i
в исследуемую точку поля. Напряженность
поля в ней от заряда q i
равна
.
Тогда результирующая напряженность,
создаваемая всей системой зарядов равна
.
Полученная формула применима и для
расчета электростатических полей
заряженных тел произвольной формы
так как любое тело можно разделить на
очень малые части, каждую из которых
можно считать точечным зарядомq i .
Тогда расчет
в любой точке пространства будет
аналогичен выше приведенному.
Тела или частицы, обладающие электрическим зарядом, создают в окружающем их пространстве электрическое поле, являющееся одним из двух компонентов электромагнитного поля.
Что такое электрическое поле
После того как тело получило заряд, оно способно действовать на другие заряженные тела: притягивать тела с противоположным зарядом и отталкивать их, если они имеют такой же заряд.
Каким же образом происходит такое взаимодействие?
Зарядим металлический шарик, закреплённый на металлической подставке. Точно такой же по знаку заряд сообщим другому шарику из пенопласта, подвешенному на нити. Назовём его пробным. Перемещая его на разные расстояния, увидим, что нить с шариком отклоняется в любой точке пространства. Этот способ исследования называется методом пробного заряда .
Почему отклоняется пробный шарик?
Причина в том, что электрические заряды взаимодействуют друг с другом с помощью электрического поля, которое они создают в окружающем их пространстве. - это особый вид материи, с помощью которого это взаимодействие и происходит. Такое поле окружает каждый электрический заряд и действует на другие заряды с некоторой силой. Следовательно, электрическое поле – разновидность силового поля.
Характеризуется электрическое поле физической величиной, которую называют напряжённостью электрического поля . Это количественная характеристика , векторная величина. Она равна отношению силы, действующей на точечный заряд в данной точке поля, к величине этого заряда:
где - напряжённость электрического поля;
Сила, действующая на точечный заряд;
q – величина заряда.
Точечным называют заряженное тело, размеры которого настолько малы, что ими можно пренебречь по сравнению с расстоянием, на котором рассматривается воздействие этого заряда. Электрические поля, создаваемые такими зарядами, называют кулоновскими полями .
Силы, действующие на пробный заряд в разных точках электрического поля, отличаются по величине и направлению. Соответственно, различны и напряжённости в этих точках поля. Такое поле называют неоднородным .
Если модуль и направление напряжённости электрического поля одинаковы во всех его точках, то такое поле называется однородным .
Однородное поле создаётся в центре между двумя параллельными заряженными пластинами.
Электростатическое поле
Электрическое поле, созданное неподвижным и не меняющимся во времени зарядом, называется электростатическим полем .
Если электрическое поле образовано несколькими зарядами, то напряжённость в данной точке пространства равна сумме напряжённостей электрических полей, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности.
Графическое изображение электрического поля
Графически электрическое поле изображают с помощью силовых линий.
Силовая линия – это такая линия, касательная к которой в каждой её точке совпадает с направлением вектора напряжённости в этой точке.
Начинаются силовые линии на положительных зарядах или на бесконечности и заканчиваются на отрицательных, либо уходят в бесконечность. Они никогда не пересекаются и не касаются друг друга.
Силовые линии указывают направление действия силы, которая действует на положительно заряженную частицу со стороны электрического поля.
В общем эти линии имеют форму кривых . Но они могут быть и прямыми линиями в случае, если описывается поле одиночного точечного заряда.
Силовые линии положительного точечного заряда уходят в бесконечность.
Силовые линии отрицательного точечного заряда начинаются в бесконечности.
Совокупность двух точечных зарядов, равных по величине, но противоположных по знаку, находящихся на некотором расстоянии друг от друга, называется электрическим диполем . В целом электрический диполь нейтрален.
Вот так выглядят силовые линии электрического диполя.
А вот так располагаются силовые линии двух одинаковых по знаку электрических зарядов.
Электростатический потенциал
Другой величиной, характеризующей электростатическое поле, является электростатический потенциал (точечный потенциал) . Это скалярная величина, равная отношению потенциальной энергии взаимодействия электрического заряда с полем к величине этого заряда. Электростатический потенциал – это энергетическая характеристика электрического поля:
В вакууме электростатический потенциал точечного заряда определяют по формуле:
где q - величина заряда, r - расстояние от заряда-источника до точки, для которой рассчитывается потенциал;
Напряжённость электрического поля связана с его потенциалом следующим отношением:
Так как электрическое поле является потенциальным полем, то работа, совершаемая при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, равна:
A = W 1 – W 2 = qψ 1 – qψ 2 = q(ψ 1 – ψ 2)
Разность потенциалов ( ψ 1 – ψ 2) в электростатическом поле называется электрическим напряжением :
U = ( ψ 1 – ψ 2) = A/ q
Электрическое поле, созданное электрическими зарядами, называют потенциальным . Его силовые линии начинаются на положительном заряде и заканчиваются на отрицательном. Электрическое поле, возникшее за счёт электромагнитной индукции, называется вихревым . Силовые линии такого поля замкнуты. Существуют комбинации потенциальных и вихревых полей.
Электрическое поле является одной из составляющих электромагнитного поля. Оно возникает не только вокруг электрических зарядов, но и при изменении магнитного поля.
В свою очередь, магнитное поле появляется при изменении электрического поля или создаётся током заряженных частиц.
Электростатическое поле удобно изображать графически с помощью силовых линий и эквипотенциальных поверхностей.
Силовая линия – это линия, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением вектора напряженности (см. рис.). Силовым линиям придают направление стрелкой. Свойства силовых линий:
1 ) Силовые линии непрерывны. Они имеют начало и конец – начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах.
2 ) Силовые линии не могут пересекаться друг с другом, т.к. напряженность – это сила, а две силы в данной точке от одного заряда не могут быть.
3 ) Силовые линии проводят так, чтобы их количество через единичную перпендикулярную площадку было пропорционально величине напряженности.
4 ) Силовые линии «выходят» и «входят» всегда перпендикулярно поверхности тела.
5 ) Силовую линию не следует путать с траекторией движущегося заряда. Касательная к траектории совпадает с направлением скорости, а касательная к силовой линии – с силой и, следовательно, с ускорением.
Эквипотенциальной поверхностью называют поверхность, в каждой точке которой потенциал имеет одинаковое значение j = const.
Силовые линии всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Докажем это. Пусть вдоль эквипотенциальной поверхности перемещается точечный заряд q . Элементарная работа, совершаемая при этом равна dA=qE×cosa×dl = q×dj = 0, т.к. dj = 0. Поскольку q ,E и ×dl ¹ 0, следовательно
cosa = 0 и a = 90 о.
 | На рисунке изображено электростатическое поле двух одинаковых точечных зарядов. Линии со стрелками – это силовые линии, замкнутые кривые – эквипотенциальные поверхности. В центре осевой линии, соединяющей заряды напряженность равна 0. На очень большом расстоянии от зарядов эквипотенциальные поверхности становятся сферическими. . |
 | На этом рисунке показано однородноеполе – это поле, в каждой точке которого вектор напряженности остается постоянным по величине и направлению Эквипотенциальные поверхности – это плоскости, перпендикулярные силовым линиям. Вектор напряженности всегда направлен в сторону убывания потенциала. |
Принцип суперпозиции.
На основе опытных данных был получен принципа суперпозиции (наложения) полей: «Если электрическое поле создается несколькими зарядами, то напряженность и потенциал результирующего поля складываются независимо, т.е. не влияя друг на друга». При дискретном распределении зарядов напряженность результирующего поля равна векторной сумме, а потенциал алгебраической (с учетом знака) сумме полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности. При непрерывном распределении заряда в теле векторные суммы заменяется на интегралы, где dE и dj – напряженность и потенциал поля элементарного (точечного) заряда, выделенного в теле. Математически принцип суперпозиции можно записать так.
В качестве примера получения выражения для напряженности поля с помощью принципа суперпозиции найдем напряженность поля тонкого стержня конечной длины , равномерно заряженного с линейной плотностью заряда t
Выберем бесконечно малый элемент dl стержня с зарядом dq . Поскольку напряженности от различных элементов направлены по-разному, введем оси проекций х и у . Итегрируя, найдем результирующие напряженности Е х и Е у .
  | dE - напряженность от элемента стержня dl с зарядом dq = t×dl , dE х и dE y – проекции dE на направления х и у . |  |
||
 | Чтобы проинтегрировать, сведем к одной переменной a | |||
 | длина дуги АС при малых углах, она же из треугольника (А, С, dl ) | |||
 |
||||
 |  | модуль напряженности | ||
Этот пример показывает, что вычисление напряженности полей представляет собой достаточно сложную задачу даже в нашем случае, когда мы не учитывали поле вблизи концов стержня.
Основной задачей электростатики является вычисление полей заряженных тел. Найти напряженность поля заряженного тела можно с помощью:
1) принципа суперпозиции - это сложная математическая задача, решаемая только в некоторых простых случаях или
2) теоремы Гаусса, которая упрощает расчеты, но только в случае бесконечной плоскости, бесконечной нити (цилиндра) или сфер и шаров (см. ниже).
Теорема Гаусса.
Сначала введем понятие «поток вектора » - это скалярная величина
(Н×м 2 /Кл = В×м)
| элементарный поток вектора напряженности Е , n – нормаль к площадке, dS – элементарная площадка – это такая малая площадка, в пределах которой Е = const; Е n – проекция вектора Е на направление нормали n | ||
 | поток вектора напряженности через конечную площадку S | ||
 | -²- -²- -²-через замкнутую поверхность S | ||
а б
).
Силовые линии напряженности проводят
так, чтобы касательная к ним в каждой
точке совпадала с направлением вектора
напряженности
(рис. 1.4,а
).Число
линий, пронизывающих единичную площадку
dS,
перпендикулярную к ним, проводят
пропорционально модулю вектора
(рис. 1.4,б
).
Силовым
линиям приписывают направление,
совпадающее с направлением вектора
.
Полученная картина распределения линий
напряженности позволяет судить о
конфигурации данного электрического
поля в разных его точках. Силовые линии
начинаются на положительных зарядах и
оканчиваются на отрицательных зарядах.
На
рис. 1.5 приведены линии напряженности
точечных зарядов (рис. 1.5, а
,
б
);
системы двух разноименных зарядов (рис.
1.5, в
)
пример неоднородного электростатического
поля и двух параллельных разноименно
заряженных плоскостей (рис. 1.5, г
)
пример однородного электрического
поля.
1.5. Распределение зарядов
В некоторых случаях для упрощения математических расчетов истинное распределение точечных дискретных зарядов удобно заменить фиктивным непрерывным распределением. При переходе к непрерывному распределению зарядов используют понятие о плотности зарядов линейной , поверхностной и объемной , т. е.
(1.12)
где dq
заряд, распределенный соответственно
по элементу длины
,
элементу поверхностиdS
и элементу объема dV.
С учетом этих распределений формула (1.11) может быть записана в другой форме. Например, если заряд распределен по объему, то вместо q i нужно использовать dq = dV, а символ суммы заменить интегралом, тогда
.
(1.13)
1.6. Электрический диполь
Для объяснения явлений, связанных с зарядами в физике используется понятие электрического диполя .
Систему двух равных по величине разноименных точечных зарядов, расстояние между которыми много меньше расстояния до исследуемых точек пространства, называют электрическим диполем. Согласно определению диполя +q=q= q.
,
направленным от отрицательного заряда
к положительному. Основной характеристикой
диполя являетсяэлектрический
дипольный момент
= q
.
(1.14)По абсолютной величине
р
= q
.
(1.15)
В СИ электрический дипольный момент измеряется в кулонах умноженных на метр (Кл м).
Рассчитаем потенциал
и напряженность электрического поля
диполя, считая его точечным, если
r.
Потенциал
электрического поля, созданного системой
точечных зарядов в произвольной точке,
характеризуемой радиусвектором
,
запишем в виде:
где r 1 r 2
r 2 ,
r 1
r 2
r
=
,
так как
r;
угол между радиус-векторами
и
(рис. 1.6).
С учетом этого получим
.
(1.16)
Используя формулу,
связывающую градиент потенциала с
напряженностью, найдем напряженность,
создаваемую электрическим полем диполя.
Разложим вектор
электрического
поля
диполя на две взаимно перпендикулярные
составляющие, т. е.
(рис. 1. 6).
Первая их них
определяется движением точки,
характеризуемой радиусвектором
(при фиксированном значении угла),
т. е. значение Е
найдем дифференцированием (1.81) по r,
т. е.
.
(1.17)
Вторая составляющая
определяется движением точки, связанным
с изменением угла
(при фиксированном r),
т. е. Е
найдем дифференцированием (1.16) по :
,
(1.18)
где
,d
=
rd.
Результирующая
напряженность Е 2
= Е 2
+ Е 2
или после подстановки
.
(1.19)
Замечание
:
При
= 90 о
,
(1.20)
т. е. напряженность в точке на прямой проходящей через центр диполя (т. О) и перпендикулярно оси диполя.
При
= 0 о
,
(1.21)
т. е. в точке на продолжении прямой, совпадающей с осью диполя.
Анализ формул (1.19), (1.20), (1.21) показывает, что напряженность электрического поля диполя убывает с расстоянием обратно пропорционально r 3 , т. е. быстрее, чем для точечного заряда (обратно пропорционально r 2).
-