Одним из важнейших классов функций, интегралы от которых выражаются через элементарные функции, является класс рациональных функций.
Определение 1.
Функция вида
где
-
многочлены степеней
n
и
m
называется рациональной. Целая
рациональная функция, т.е. многочлен,
интегрируется непосредственно. Интеграл
от дробно-рациональной функции можно
найти путем разложения на слагаемые,
которые стандартным образом преобразуются
к основным табличным интегралам.
Определение 2.
Дробь
называется
правильной, если степень числителя
n
меньше степени знаменателя
m
.
Дробь, у которой степень числителя
больше или равна степени знаменателя,
называется неправильной.
Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Это делается посредством деления многочлена на многочлен «столбиком», подобно делению чисел.
Пример.
Представим дробь
в виде суммы многочлена и правильной
дроби:
x
- 1
3
3
3
Первое слагаемое
в частном получается как результат
деления старшего члена
,
делимого на старший членх
делителя. Затем умножаем
на делительх-1
и полученный результат вычитаем из
делимого; аналогично находятся остальные
слагаемые неполного частного.
Выполнив деление многочленов, получим:
Это действие называется выделением целой части.
Определение 3. Простейшими дробями называются правильные рациональные дроби следующих типов:
I.
II.
(K=2,
3, …).
III.
где квадратный трехчлен
IV.
где К=2, 3, …; квадратный трехчлен
не имеет действительных корней.
а) разложить
знаменатель
на простейшие действительные множители
(согласно основной теореме алгебры это
разложение может содержать линейные
двучлены вида
и квадратные трехчлены
,
не имеющие корней);
б) написать схему
разложения данной дроби на сумму
простейших дробей. При этом каждому
сомножителю вида
соответствуетk
слагаемых видов I
и II:
каждому сомножителю
вида
соответствует
е слагаемых видовIII
и IV:
Пример.
Записать схему
разложения дроби
в сумму простейших.
в) выполнить сложение полученных простейших дробей. Записать равенство числителей полученной и исходной дробей;
г) найти коэффициенты
соответствующего разложения:
(методы решения будут рассмотрены
ниже);
д) найденные значения коэффициентов подставить в схему разложения.
Интегрирование всякой правильной рациональной дроби после разложения на простейшие слагаемые сводится к нахождению интегралов одного из типов:
(k и e =2, 3, …).
Вычисление
интеграла
сводится к формулеIII:
интеграла
- к формулеII:
интеграл
можно найти по правилу, указанному в
теории интегрирования функций, содержащих
квадратный трехчлен;
- путем преобразований, показанных
ниже в примере 4.
Пример 1.
а) разложим знаменатель на множители:
б) напишем схему разложения подынтегральной функции на слагаемые:
в) выполним сложение простейших дробей:
Запишем равенство числителей дробей:
г) для нахождения неизвестных коэффициентов A, B, C существуют два метода.
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х , поэтому можно составить соответствующую систему уравнений. В этом заключается один из методов решения.
Коэффициенты
при
свободные члены
(коэф. при
):4А=8.
Решив систему, получим А=2 , В=1 , С= - 10 .
Другой метод - частных значений будет рассмотрен в следующем примере;
д) подставим найденные значения в схему разложения:
Подставляя под знак интеграла полученную сумму, и интегрируя каждое слагаемое отдельно, найдем:
Пример 2.
Тождество есть равенство, справедливое при любых значениях входящих в него неизвестных. На этом основан метод частных значений. Можно придавать х любые значения. Удобнее для вычислений брать те значения, которые обращают в нуль какие-либо слагаемые в правой части равенства.
Пусть х = 0 . Тогда 1 = А 0(0+2)+В 0 (0-1)+С (0-1)(0+2).
Аналогично при х = - 2 имеем 1= - 2В*(-3 ), при х = 1 имеем 1 = 3А .
Следовательно,
Пример 3.
г) сначала воспользуемся методом частных значений.
Пусть х = 0 , тогда 1 = А 1, А = 1 .
При х = - 1 имеем - 1+4+2+1 = - В(1+1+1) или 6 = - 3В , В = - 2 .
Для нахождения
коэффициентов С и D
нужно составить еще два уравнения. Для
этого можно взять любые другие значения
х
,
например х
= 1
и х
= 2
. Можно
воспользоваться первым методом, т.е.
приравнять коэффициенты при каких-либо
одинаковых степенях х
,
например при
и
.
Получим
1 = А+В+С и 4 = С + D – В.
Зная А = 1 , В = -2 , найдем С = 2 , D = 0 .
Таким образом, при вычислении коэффициентов можно сочетать оба метода.
Последний интеграл
находим отдельно по правилу, указанному
в методе веления новой переменной.
Выделим полный квадрат в знаменателе:
положим,
тогда
Получим:
=
Подставляя в предыдущее равенство, найдем
Пример 4.
Найти
б)
д)
Интегрируя, имеем:
Первый интеграл преобразуем к формуле III:
Второй интеграл преобразуем к формуле II:
В третьем интеграле
заменим переменную:
(При выполнении
преобразований воспользовались формулой
тригонометрии
Найти интегралы:
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
Вопросы для самопроверки.
Какие из данных рациональных дробей являются правильными:
2. Верно ли записана схема разложения дроби на сумму простейших дробей?
Контрольную работу на интегрирование функций, в том числе и рациональных дробей задают студентам 1, 2 курсов. Примеры интегралов в основном будут интересны для математиков, экономистов, статистов. Данные примеры задавали на контрольной работе в ЛНУ им. И. Франка. Условия следующих примеров "Найти интеграл" или "Вычислить интеграл", поэтому для экономии места и Вашего времени их не выписывали.
Пример 15. Мы пришли к интегрированию дробно-рациональных функций . Они занимают особое место среди интегралов, поскольку требуют много времени на вычисление и помогают преподавателям проверить Ваши знания не только по интегрированию. Для упрощения функции под интегралом добавим и вычтем в числителе выражение, которое позволит разбить функцию под интегралом на две простые
В результате один интеграл находим довольно быстро, во втором нужно дробь разложить на суму элементарных дробей
При сведении к общему знаменателю получим такие числительные
Далее раскрываем скобки и группируем
Приравниваем значение при одинаковых степенях "икс" справа и слева. В результате придем к системе трех линейных уравнений (СЛАУ) с тремя неизвестными.
Как решать системы уравнений описано в других статьях сайта. В конечном варианте Вы получите следующее решения СЛАУ
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Подставляем постоянные в разложение дроби на простейшие и выполняем интегрирование
На этом пример решен.
Пример 16.
Опять нужно найти интеграл от дробно-рациональной функции. Для начала кубическое уравнение, которое содержится в знаменателе дроби разложим на простые множители
Далее выполняем разложение дроби на простейшие
Сводим правую сторону к общему знаменателю и раскрываем скобки в числителе.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Снова придем к СЛАУ с тремя неизвестными
Подставляем значения А,В,С
в разложение и вычисляем интеграл 
Первые два слагаемых дают логарифм, последний тоже легко найти.
Пример 17.
В знаменателе дробно-рациональной функции имеем разницу кубов. Ее по формулам сокращенного умножения раскладываем на два простых множителя
Далее полученную дробную функцию расписываем на сумму простых дробей и сводим их под общий знаменатель
В числителе получим следующее выражение.
Из него формируем систему линейных уравнений для вычисления 3 неизвестных
A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Подставляем А, В, С
в формулу и выполняем интегрирование. В результате придем к такому ответу
Здесь числитель второго интеграла превращали в логарифм, при этом остаток под интегралом дает арктангенс.
Подобных примеров на интегрирование рациональных дробей в интернете очень много. Похожие примеры Вы можете найти из приведенных ниже материалов.
Рациональная функция - это дробь вида , числитель и знаменатель которой - многочлены или произведения многочленов.
Пример 1. Шаг 2.
.
Умножаем неопределённые коэффициенты на многочлены, которых нет в данной отдельной дроби, но которые есть в других полученных дробях:
Раскрываем скобки и приравниваем полученое к полученному выражению числитель исходной подынтегральной дроби:
В обеих частях равенства отыскиваем слагаемые с одинаковыми степенями икса и составляем из них систему уравнений:
.
Сокращаем все иксы и получаем эквивалентную систему уравнений:
.
Таким образом, окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Пример 2. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
.
Теперь начинаем искать неопределённые коэффициенты. Для этого числитель исходной дроби в выражении функции приравниваем к числителю выражения, полученного после приведения суммы дробей к общему знаменателю:
Теперь требуется составить и решить систему уравнений. Для этого приравниваем коэффициенты при переменной в соответствующей степени в числителе исходного выражения функции и аналогичные коэффициенты в полученном на предыдущем шаге выражения:
Решаем полученную систему:
Итак, , отсюда
.
Пример 3. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
Начинаем искать неопределённые коэффициенты. Для этого числитель исходной дроби в выражении функции приравниваем к числителю выражения, полученного после приведения суммы дробей к общему знаменателю:
Как и в предыдущих примерах составляем систему уравнений:
Сокращаем иксы и получаем эквивалентную систему уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Пример 4. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
.
Как приравнивать числитель исходной дроби к выражению в числителе, полученному после разложения дроби на сумму простых дробей и приведения этой суммы к общему знаменателю, мы уже знаем из предыдуших примеров. Поэтому лишь для контроля приведём получившуюся систему уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
Пример 5. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
.
Самостоятельно приводим к общему знаменателю эту сумму, приравнивать числитель этого выражения к числителю исходной дроби. В результате должна получиться следующая система уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
.
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Пример 6. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
Производим с этой суммой те же действия, что и в предыдущих примерах. В результате должна получиться следующая система уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
.
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Пример 7. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
.
После известных действий с полученной суммой должна получиться следующая система уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Пример 8. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
.
Внесём некоторые изменения в уже доведённые до автоматизма действия для получения системы уравнений. Есть искусственный приём, который в некоторых случаях помогает избежать лишних вычислений. Приводя сумму дробей к общему знаменателю получаем и приравнивая числитель этого выражения к числителю исходной дроби, получаем.
Интегрирование рациональных функций Дробно – рациональная функция Простейшие рациональные дроби Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование простейших дробей Общее правило интегрирования рациональных дробей
многочлен степени n. Дробно – рациональная функция Дробно – рациональной функцией называется функция, равная отношению двух многочленов: Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть m < n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P
Дробно – рациональная функция Привести неправильную дробь к правильному виду: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x
Простейшие рациональные дроби Правильные рациональные дроби вида: Называются простейшими рациональными дробями типов. ax A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Теорема: Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой разложен на множители: можно представить, притом единственным образом в виде суммы простейших дробей: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx. M)(
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Поясним формулировку теоремы на следующих примерах: Для нахождения неопределенных коэффициентов A, B, C, D … применяют два метода: метод сравнивания коэффициентов и метод частных значений переменной. Первый метод рассмотрим на примере. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Представить дробь в виде суммы простейших дробей: Приведем простейшие дроби к общему знаменателю Приравняем числители получившейся и исходной дробей Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х)52)(1(332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx)52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x
Интегрирование простейших дробей Найдем интегралы от простейших рациональных дробей: Интегрирование дроби 3 типа рассмотрим на примере. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k
Интегрирование простейших дробейdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg. C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln
Интегрирование простейших дробей Интеграл данного типа с помощью подстановки: приводится к сумме двух интегралов: Первый интеграл вычисляется методом внесения t под знак дифференциала. Второй интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt
Интегрирование простейших дробей a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1(4)1(
Общее правило интегрирования рациональных дробей Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами Найти неопределенные коэффициенты методом сравнения коэффициентов или методом частных значений переменной. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
Пример Приведем дробь к правильному виду. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 xx
Пример Разложим знаменатель правильной дроби на множители Представим дробь в виде суммы простейших дробей Найдем неопределенные коэффициенты методом частных значений переменной xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2)1(1 x C x B x A 2 2)1()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx
Пример dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln