Теперь стоило бы заняться немного математикой; мы запишем уравнения Максвелла в более простой форме. Вы, пожалуй, сочтете, что мы усложняем их, но если вы наберетесь терпения, то внезапно обнаружите их большую простоту. Хотя вы уже вполне привыкли к каждому из уравнений Максвелла, имеется все же много частей, которые стоит соединить воедино. Вот как раз этим мы и займемся.
Начнем с - простейшего из уравнений. Мы знаем, что оно подразумевает, что - есть ротор чего-то. Поэтому, если вы записали
то считайте, что уже решили одно из уравнений Максвелла. (Между прочим, заметьте, что оно остается верно для другого вектора , если , где - любое скалярное поле, потому что ротор - нуль и - по-прежнему то же самое. Мы говорили об этом раньше.)
Теперь
разберем закон Фарадея 
, потому что он не содержит никаких
токов или зарядов. Если мы запишем как и продифференцируем по , то сможем
переписать закон Фарадея в форме
.
Поскольку мы можем дифференцировать сначала либо по времени, либо по координатам, то можно написать это уравнение также в виде
. (18.17)
Мы видим, что - это вектор, ротор которого равен нулю. Поэтому такой вектор есть градиент чего-то. Когда мы занимались электростатикой, у нас было , и мы тогда решили, что - само градиент чего-то. Пусть это градиент от (минус для технических удобств). То же самое сделаем и для ; мы полагаем
. (18.18)
Мы используем то же обозначение , так что в электростатическом случае, когда ничто не меняется со временем и исчезает, будет нашим старым . Итак, закон Фарадея можно представить в форме
. (18.19)
Мы уже решили два из уравнений Максвелла и нашли, что для описания электромагнитных полей и нужны четыре потенциальные функции: скалярный потенциал и векторный потенциал , который, разумеется, представляет три функции.
Итак, определяет часть , так же как и . Что же произойдет, когда мы заменим на ? В общем, должно было бы измениться, если не принять особых мер. Мы можем, однако, допустить, что изменяется так, чтобы не влиять на поля и (т. е. не меняя физики), если будем всегда изменять и вместе по правилам
. (18.20)
Тогда ни , ни , полученные из уравнения (18.19), не меняются.
Раньше мы выбирали , чтобы как-то упростить уравнения статики. Теперь мы не собираемся так поступать; мы хотим сделать другой выбор. Но подождите немного, прежде чем мы скажем, какой это выбор, потому что позднее станет ясно, почему вообще делается выбор.
Сейчас мы вернемся к двум оставшимся уравнениям Максвелла, которые свяжут потенциалы и источники и . Раз мы можем определить и из токов и зарядов, то можно всегда получить и из уравнений (18.16) и (18.19) и мы будем иметь другую форму уравнений Максвелла.
Начнем с подстановки уравнения (18.19) в ; получаем
;
это можно записать еще в виде
. (18.21)
Таково первое уравнение, связывающее и с источниками.
Наше последнее уравнение будет самым трудным. Мы начнем с того, что перепишем четвертое уравнение Максвелла:
,
а затем выразим и через потенциалы, используя уравнения (18.16) и (18.19):
.
Первый член можно переписать, используя алгебраическое тождество ; мы получаем
. (18.22)
Не очень-то оно простое!
К счастью, теперь мы можем использовать нашу свободу в произвольном выборе дивергенции . Сейчас мы собираемся сделать такой выбор, чтобы уравнения для и для разделились, но имели одну и ту же форму. Мы можем сделать это, выбирая
. (18.23)
Когда мы поступаем так, то второе и третье слагаемые в уравнении (18.22) погашаются, и оно становится много проще:
. (18.24)
И наше уравнение (18.21) для принимает такую же форму:
. (18.25)
Какие красивые уравнения! Они великолепны прежде всего потому, что хорошо разделились - с плотностью заряда стоит , а с током стоит . Далее, хотя левая сторона выглядит немного нелепо - лапласиан вместе с , когда мы раскроем ее, то обнаружим
. (18.26)
Это уравнение имеет приятную симметрию по , , , ; здесь нужно, конечно, потому, что время и координаты различаются; у них разные единицы.
Уравнения Максвелла привели нас к нового типа уравнению для потенциалов и , но с одной и той же математической формой для всех четырех функций , , и . Раз мы научились решать эти уравнения, то можем получить и из и . Мы приходим к другой форме электромагнитных законов, в точности эквивалентной уравнениям Максвелла; с ними во многих случаях обращаться гораздо проще. и
Группой дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, которым должен удовлетворять каждый из векторов поля отдельно, можно получить исключением остальных векторов. Для области поля, которая не содержит свободных зарядов и токов ($\overrightarrow{j}=0,\ \rho =0$) уравнения для векторов $\overrightarrow{B}$ и $\overrightarrow{E}$ имеют вид:
Уравнения (1) и (2) - это обычные уравнения волнового движения, которые обозначают, что световые волны распространяются в среде со скоростью ($v$) равной:
Примечание 1
Надо заметить, что понятие скорости электромагнитной волны имеет определенный смысл лишь в связи с волнами простого вида, например плоскими. Скорость $v$ не является скоростью распространения волны в случае произвольного решения уравнений (1) и (2), так как эти уравнения допускают решения в виде стоячих волн.
В любой волновой теории света элементарным процессом считают гармоническую волну в пространстве и времени. Если частота этой волны лежит в интервале $4\cdot {10}^{-14}\frac{1}{c}\le \nu \le 7,5\cdot {10}^{-14}\frac{1}{c}$, такая волна вызывает у человека физиологическое ощущение определенного цвета.
Для прозрачных веществ диэлектрическая проницаемость $\varepsilon $ обычно больше единицы, магнитная проницаемость среды $\mu $ почти равна единице, получается, в соответствии с уравнением (3) скорость $v$ меньше скорости света в вакууме. Что было впервые экспериментально показано для случая распространения света в воде учеными Фуко и Физо .
Обычно определяют не саму величину скорости ($v$), а отношение $\frac{v}{c}$, для чего пользуются законом преломления . В соответствии с данным законом при падении плоской электромагнитной волны на плоскую границу, которая разделяет две однородные среды, отношение синуса угла ${\theta }_1$ падения к синусу угла преломления ${\theta }_2$ (рис.1) постоянно и равно отношению скоростей распространения волн в двух средах ($v_1\ и{\ v}_2$):
Значение постоянного отношения выражения (4) обычно обозначают как $n_{12}$. Говорят, что $n_{12}$ -- относительный показатель преломления второго вещества по отношению к первому, который испытывает волновой фронт (волна) при прохождении из первой среды во вторую.
Рисунок 1.
Определение 1
Абсолютным показателем преломления (просто показателем преломления) среды $n$ называют показатель преломления вещества по отношению к вакууму:
Вещество, имеющее больший показатель преломления является оптически более плотным. Относительный показатель преломления двух веществ ($n_{12}$) связан с их абсолютными показателями ($n_1,n_2$) как:
Формула Максвелла
Определение 2
Максвелл получил, что показатель преломления среды зависит от ее диэлектрических и магнитных свойств. Если в формулу(5) подставить выражение для скорости распространения света из уравнения (3), то мы получим:
\ \
Выражение (7) называется формулой Максвелла . Для большинства немагнитных прозрачных веществ, которые рассматриваются в оптике магнитная проницаемость вещества приблизительно можно считать равной единице, поэтому часто равенство (7) применяют в виде:
Часто предполагается, что $\varepsilon $ является постоянной величиной. Однако нам хорошо известны опыты Ньютона с призмой по разложению света, в результате этих экспериментов становится очевидным, что показатель преломления зависит от частоты света. Следовательно, если считать, что формула Максвелла справедлива, то следует признать, что диэлектрическая проницаемость вещества зависит от частоты поля. Связь $\varepsilon $ с частотой поля можно объяснить только в том случае, если принять во внимание атомное строение вещества.
Однако надо сказать, что формула Максвелла с постоянной диэлектрической проницаемостью вещества, в некоторых случаях может быть использована как хорошее приближение. Примером могут служить газы с простой химической структурой, в которых нет существенной дисперсии света, что означает, слабую зависимость оптических свойств от цвета. Формула (8), также хорошо работает для жидких углеводородов. С другой стороны, у большинства твердых тел, например у стекол, и большой части жидкостей наблюдается сильное отклонение от формулы (8), если считать $\varepsilon $ постоянной.
Пример 1
Задание: Какова концентрация свободных электронов в ионосфере, если известно, что для радиоволн с частотой $\nu$ показатель ее преломления равен $n$.
Решение:
За основу решения задачи возьмем формулу Максвелла:
\[\varepsilon =1+\varkappa =1+\frac{P}{{\varepsilon }_0E}\left(1.2\right),\]
где $\varkappa $ -- диэлектрическая восприимчивость, P - мгновенное значение поляризованности. Из (1.1) и (1.2) следует, что:
В том случае, если концентрация атомов в ионосфере равна $n_0,$ то мгновенное значение поляризованности равно:
Из выражений (1.3) и (1.4) имеем:
где $\omega $ -- циклическая частота. Уравнение вынужденных колебаний электрона без учета силы сопротивления можно записать как:
\[\ddot{x}+{{\omega }_0}^2x=\frac{q_eE_0}{m_e}cos\omega t\left(1.7\right),\]
где $m_e$ -- масса электрона, $q_e$ -- заряд электрона. Решением уравнения (1.7) служит выражение:
\ \
Нам известна частота радиоволн, следовательно, можно найти циклическую частоту:
\[\omega =2\pi \nu \left(1.10\right).\]
Подставим в (1.5) правую часть выражения (1.9) вместо $x_{max}$ и используем (1.10), получим:
Ответ: $n_0=\frac{E_0m_e4\pi ^2\nu ^2}{{q_e}^2}\left(1-n^2\right).$
Пример 2
Задание: Объясните, почему формула Максвелла противоречит некоторым экспериментальным данным.
Решение:
Из классической электромагнитной теории Максвелла следует, что показатель преломления среды можно выразить как:
где в оптической области спектра для большинства веществ можно считать, что $\mu \approx 1$. Получается, что показатель преломления для вещества должен быть постоянной величиной, так как $\varepsilon $ -- диэлектрическая проницаемость среды постоянна. Тогда как эксперимент показывает, что показатель преломления зависит от частоты. Трудности, которые возникли перед теорией Максвелла в данном вопросе, устраняет электронная теория Лоренца. Лоренц рассматривал дисперсию света как результат взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами, которые входят в состав вещества и совершают вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле волны света. Используя свою гипотезу, Лоренц получил формулу, связывающую показатель преломления с частотой электромагнитной волны (см. пример 1).
Ответ: Проблема теории Максвелла в том, что она является макроскопической и не рассматривает структуру вещества.
Система уравнений Максвелла включает в себя четыре основных уравнения
, (3.2)
, (3.3)
. (3.4)
Эта система дополняется тремя материальными уравнениями, определяющими связь между физическими величинами, входящими в уравнения Максвелла:
(3.5)
Вспомним физический смысл этих математических фраз.
В первом уравнении
(3.1) утверждается, что электростатическое
поле может быть создано только
электрическими зарядами.В этом
уравнении
- вектор электрического смещения, ρ -
объемная плотность электрического
заряда.
Поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность равен заряду, заключенному внутри этой поверхности.
Как свидетельствует эксперимент, поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность всегда равен нулю (3.2)
Сопоставление уравнений (3.2) и (3.1) позволяет сделать вывод о том, что магнитные заряды в природе отсутствуют.
Огромный интерес и важность представляют
уравнения (3.3) и (3.4). Здесь рассматриваются
циркуляции векторов напряженности
электрического (
)
и магнитного (
)
полей по замкнутому контуру.
В уравнении (3.3)
утверждается, что переменное магнитное
поле (
)
является источником вихревого
электрического поля (
).Это не что иное, как математическая
запись явления электромагнитной индукции
Фарадея.
В уравнении (3.4)
устанавливается связь магнитного поля
и переменного электрического. Согласно
этому уравнению магнитное поле может
быть создано не только током проводимости
(
),
но и переменным электрическим полем
.
В этих уравнениях:
- вектор электрического смещения,
H - напряженность магнитного поля,
E - напряженность электрического поля,
j - плотность тока проводимости,
μ - магнитная проницаемость среды,
ε -диэлектрическая проницаемость среды.
Электромагнитные волны. Свойства электромагнитных волн
В прошлом семестре, завершая рассмотрение
системы уравнений классической
электродинамики Максвелла, мы установили,
что совместное решение двух последних
уравнений (о циркуляции векторов
и
)
приводит к дифференциальному волновому
уравнению.
Так мы получили волновое уравнение «Y» волны:
. (3.6)
Электрическая компонента y – волны распространяется в положительном направлении оси X с фазовой скоростью
(3.7)
Аналогичное уравнение описывает изменение в пространстве и во времени магнитного поля y – волны:
. (3.8)
Анализируя полученные результаты, можно сформулировать ряд свойств, присущих электромагнитным волнам.
1. Плоская «y» - волна является линейно
поляризованной поперечной волной.
Векторы напряженности электрического
(
),
магнитного (
)
поля и фазовой скорости волны (
)
взаимно перпендикулярны и образуют
«правовинтовую» систему (рис.3.1).
2. В каждой точке пространства компонента волны H z пропорциональна напряженности электрического поляE y:
Здесь знаку «+» соответствует волна, распространяющаяся в положительном направлении оси X. Знак «-» - в отрицательном.
3. Электромагнитная волна движется вдоль оси X с фазовой скоростью
Здесь
.
При распространении электромагнитной волны в вакууме (ε = 1, μ = 1) фазовая скорость
Здесь электрическая постоянная ε 0 = 8.85 · 10 -12
магнитная постоянная μ 0 = 4π · 10 -7
.
.
Совпадение скорости электромагнитной волны в вакууме со скоростью света стало первым доказательством электромагнитной природы света.
В вакууме упрощается связь напряженности магнитного и электрического полей в волне.
.
При распространении электромагнитной
волны в диэлектрической среде (μ = 1)
и
.
Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения заряда. 3. Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отчета. 4. Уравнения Максвелла симметричны.
6.3.4. Электромагнитные волны
Из уравнений Максвелла следует, что электромагнитное поле способно существовать самостоятельно, без электрических зарядов и токов. Изменяющееся электромагнитное поле имеет волновой характер и распространяется в вакууме в виде электромагнитных волн со скоростью света.
Существование
электромагнитных волн вытекает из
уравнений Максвелла, которые описываются
волновыми уравнениями для векторов
и
соответственно:
,
(5.18)
,
(5.19)
Изменение
во времени магнитного поля возбуждает
переменное электрическое поле и,
наоборот, изменение во времени
электрического поля возбуждает переменное
магнитное поле. Вихревое электрическое
поле, индуцированное переменным магнитным
полем
,
образует с вектором
левовинтовую систему (рис. 7.2), а вихревое
магнитное поле, индуцированное
электрическим полем
,
образует с вектором
правовинтовую систему (рис. 5.2).
Происходит непрерывное их взаимопревращение, что и дает возможность
существовать и распространяться им в пространстве и времени при отсутствии зарядов и токов.
Таким образом, теория Максвелла не только предсказала существование электромагнитных волн, но и установила их важнейшие свойства:
Скорость распространения электромагнитной волны в нейтральной непроводящей и неферромагнитной среде
(5.20)
где c скорость света в вакууме.
Рис. 5.3 Рис. 5.4
3. В электромагнитной волне векторы
и
всегда колеблются в одинаковых фазах
(рис. 5.4), причем между мгновенными
значениями Е и В в любой точке
пространствасуществует
связь, а именно: Е = vB
или
.
(5.21)
Существование электромагнитных волн позволило Максвеллу объяснить волновую природу света. Свет это электромагнитные волны.
6.3.5. Поток энергии электромагнитного поля
При распространении электромагнитных волн в пространстве и времени они несут с собой энергию. Она заключена во взаимно превращающихся электрическом и магнитном полях.
Объемная плотность энергии электрического поля
,
(5.22)
где Е напряженность электрического поля.
Объемная плотность энергии магнитного поля
,
(5.23)
где В индукция магнитного поля.
Следовательно, объемная плотность энергии электромагнитного поля в той области пространства, где находится в произвольный момент времени электромагнитная волна,
W
= w
э +
w м
=
.
(5.24)
Или
с учетом того, что Е = сВ и
,
имеем
w = o E 2 , (5.25)
или
.
(5.26)
Энергию, переносимую электромагнитной волной в единицу времени через единичную площадку, называют плотностью потока электромагнитной энергии. Вектор плотности потока электромагнитной энергии называют вектором Пойнтинга.
Направление
вектора Пойнтинга
совпадает с направлением распространения
электромагнитной волны, т. е. с направлением
переноса энергии. Скорость переноса
энергии равна фазовой скорости этой
волны.
Если электромагнитная волна при распространении проходит сквозь некотoрую площадку S, перпендикулярную к направлению распространения ее, например, вдоль оси Х, то за некоторый промежуток времени dt волна пройдет расстояние dx = cdt, где с скорость распространения волны.
Так как объемная плотность энергии электромагнитной волны
то полная энергия dW электромагнитной волны, заключенная в объеме
dW = wdV = o E 2 cdtS. (5.27)
Следовательно, плотность потока электромагнитной энергии, проходящей через площадку S за время dt
.
(5.28)
Вектор
Пойнтинга
совпадает
по направлению со скоростью распространения
электромагнитной волны, которая
перпендикулярна
и
,
т. е.
.
(5.29)
Используем формулу Стокса , согласно которой циркуляция вектора по замкнутому контуру L равна потоку ротора этого вектора через поверхность, опирающуюся на этот контур. Тогда:
Пусть S — произвольная неизменная во времени поверхность, ограниченная контуром L. Тогда система уравнений (1.2.7) перепишется так:
Поскольку контур интегрирования в полученных интегралах произволен, равенство нулю интегралов возможно только при равенстве нулю подынтегральных выражений. Тогда:
Уравнения (1.3.2) и есть уравнения Максвелла.
В большей части курса мы будем рассматривать поля, изменяющиеся во времени по гармоническому закону:
Для которых принята комплексная форма записи:
Где — комплексная амплитуда. При комплексной форме записи гармонических полей производная по времени заменяется умножением на .
Тогда уравнения Максвелла (1.3.2) для полей, изменяющихся по гармоническому закону, принимают вид:
Найдем решение уравнений Масквелла для простейшего случая распространения электромагнитной волны в вакууме.
В вакууме , . Поэтому для вакуума уравнения Максвелла (1.3.4) принимают вид:
Исключим Из (1.3.5). Для этого применим операцию Rot К обеим частям первого уравнения: . Теперь подставим значение из второго уравнения. В результате получим:
Используем известное соотношение векторной алгебры
Вспомним, что в соответствии с теоремой Гаусса-Остроградского
И учтем, что в вакууме свободных зарядов нет (т. е. ). Подставим (1.3.8) и (1.3.7) в (1.3.6). В результате получаем:
Полученное уравнение носит название Волновое уравнение . Аналогичным образом можно получить волновое уравнение относительно вектора магнитного поля .
Наиболее наглядным решением волнового уравнения является сферическая волна, распространяющаяся вокруг точечного излучателя. Чтобы получить решение для сферической волны, нужно представить оператор Лапласа в уравнении (1.3.9) в сферической системе координат, что приведет к достаточно громоздким математическим выражениям. С целью упрощения математических процедур мы рассмотрим решение волнового уравнения для плоской волны, являющейся функцией одной координаты.
Рис.1.3.1. показана схема расположения силовых линий сферической электромагнитной волны. Рисунок иллюстрирует тот факт, что на больших расстояниях от излучателя электромагнитное поле можно рассматривать как плоскую волну, распространяющуюся вдоль направления, перпендикулярного плоскости постоянной фазы, причем характеристики волны зависят только от одной координаты вдоль направления распространения. Несмотря на то, что в общем случае волна имеет сферическую симметрию, в ограниченной области, обозначенной квадратом, можно говорить о плоской волне, характеристики которой зависят только от одной координаты.
Примем во внимание, что одномерный оператор Лапласа имеет следующий вид:
И получим одномерное волновое уравнение для плоской волны:
Рис.1.3.1. Схема силовых линий напряженности электрического и магнитного полей сферической электромагнитной волны.
Любое дифференциальное уравнение приобретает физический смысл, если заданы граничные условия для его решения. Решение уравнения (1.3.11) получается в виде двух волн, распространяющихся вдоль положительного и отрицательного направлений оси z. Примем в качестве граничных условий утверждение, что в рассматриваемой среде плоская волна может распространяться только в одном направлении. Итак, мы имеем решение уравнения (1.3.11) для плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси z:
Фаза волны:
Где K — волновое число (в общем случае волновой вектор).
Фиксированная ориентация вектора напряженности поля вдоль заданной координатной оси носит название Поляризации волны . Соотношение (1.3.12) задает поляризацию напряженности электрического поля вдоль оси Х .
На рис.1.3.2. показано положение плоскости постоянной фазы для двух моментов времени.
Рис.1.3.2. Движение плоскости постоянной фазы.
Для плоскости постоянной фазы (φ = const), которая движется вдоль оси z, ее производная по времени равна нулю:
В соответствии с (1.1.26) получаем:
Где - скорость движения поверхности неизменной фазы или Фазовая скорость.
Подставив (1.3.12) в (1.3.11) получим
И, сократив , получим Дисперсионное уравнение для плоской волны в свободном пространстве :
Или (1.3.16)
Разные знаки в выражении для K соответствуют волнам, распространяющимся вдоль оси Z в разных направлениях. В соответствии с (1.3.14):
В свободном пространстве , где C — скорость света.
Таким образом, из уравнений Максвелла следует, что скорость света в свободном пространстве определяется диэлектрической и магнитной проницаемостями вакуума:
Диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума – это характеристики пространства, связанные со статическими полями. Первая из них характеризует только диэлектрические свойства среды. А вторая – только магнитные свойства. Результат решения уравнений Масквелла, представленный формулой (1.3.18), связывает воедино электростатику, магнитостатику и динамический процесс распространения света.
Действительно, диэлектрическую проницаемость можно получить экспериментально путем измерения силы взаимодействия двух известных зарядов Q1 и Q2 расположенных на расстоянии R друг от друга:
(закон Кулона).
.
Магнитную проницаемость можно получить, измерив силу взаимодействия двух проводников длиной и с током и соответственно, расположенных на расстоянии R друг от друга:
(закон Био-Савара-Лапласа)
Таким образом, из статического эксперимента можно получить численное значение .
Следовательно, уравнения Максвелла позволяют выразить скорость света через характеристики, полученные с помощью статических измерений.
Уравнения Максвелла связывают воедино электрическое поле, магнитное поле и электромагнитные волны (свет). Создание концепции электромагнитного поля и формулировка уравнений, его описывающих, послужили одной из важнейших отправных точек физики XX века.
-