Многокритериальный выбор на языке бинарных отношений. Решение мкз с помощью сверстки

Метод (последовательных) уступок заключается в анализе точек на границе Парето и выбора одной из них - компромиссной.

Назначение сервиса . Сервис предназначен для онлайн решения многокритериальных задач оптимизации методом последовательных уступок .

Инструкция . Выберите количество переменных и количество строк (количество ограничений). Полученное решение сохраняется в файле Word и Excel .

При этом ограничения типа x i ≥ 0 не учитывайте. Если в задании для некоторых x i отсутствуют ограничения, то ЗЛП необходимо привести к КЗЛП, или воспользоваться этим сервисом .

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Графический метод решения ЗЛП

Решение транспортной задачи

Решение матричной игры
С помощью сервиса в онлайн режиме можно определить цену матричной игры (нижнюю и верхнюю границы), проверить наличие седловой точки, найти решение смешанной стратегии методами: минимакс, симплекс-метод, графический (геометрический) метод, методом Брауна.

Экстремум функции двух переменных

Задачи динамического программирования
Распределить 5 однородных партий товара между тремя рынками так, чтобы получить максимальный доход от их продажи. Доход от продажи на каждом рынке G(X) зависит от количества реализованных партий товара Х и представлен в таблице.

Объем товара Х (в партиях)	Доход G(X)
Объем товара Х (в партиях)	1	2	3
0	0	0	0
1	28	30	32
2	41	42	45
3	50	55	48
4	62	64	60
5	76	76	72

Алгоритм метода последовательных уступок (компромиссов)

Вначале производится качественный анализ относительной важности критериев. На основании такого анализа критерии нумеруются в порядке убывания важности.
Ищем максимальное значение f 1 * первого критерия f=f 1 (x) на всем множестве допустимых решений. Затем назначаем величину «допустимого» снижения (уступки ) Δ 1 критерия f 1 (x) и определяем наибольшее значение f 2 * второго критерия f=f 2 (x) при условии, что значение первого критерия должно быть не меньше, чем f 1 (x)-Δ 1 . Затем назначаем величину «допустимого» снижения (уступки ) Δ 2 критерия f 2 (x) и определяем наибольшее значение f 3 * третьего критерия f=f 3 (x) при условии, что значение второго критерия должно быть не меньше, чем f 2 * - Δ 2 и т. д. Таким образом, оптимальным решением многокритериальной задачи считается всякое решение последней из задач последовательности:
1) найти max f 1 (x)=f 1 * в области x ∈ X;
2) найти max f 2 (x)=f 2 * в области, задаваемой условиями x ∈ X; f 1 (x) ≥ f 1 * -Δ 1 (6)
……………………………………………………………….
m) найти max f m (x)=f m * в области, задаваемой условиями
x ∈ X; f i (x) ≥ f i * -Δ i , i=1,...,m-1
Очевидно, что если все Δ i =0, то метод уступок находит только лексикографически оптимальные решения, которые доставляют первому по важности критерию наибольшее на Х значение. В другом крайнем случае, когда величины уступок очень велики, решения, получаемые по этому методу, доставляют последнему по важности критерию наибольшее на Х значение. Поэтому величины уступок можно рассматривать как своеобразную меру отклонения приоритета частных критериев от жесткого лексикографического.
Метод последовательных уступок не всегда приводит к получению только эффективных точек, но среди этих точек всегда существует хотя бы одна эффективная. Это следует из следующих утверждений.
Утверждение 3 . Если X ⊂ R n - множество замкнутое и ограниченное, а функции f i (x) непрерывны, то решением m-й задачи из (6) является, по крайней мере, одна эффективная точка.
Утверждение 4 . Если x * - единственная (с точностью до эквивалентности) точка, являющаяся решением m-й задачи из (6), то она эффективна.

Примеры решения многокритериальной задачи методом последовательных уступок

Пример №1 . Решить методом последовательных уступок многокритериальную задачу.
f 1 (x)=7x 1 +2x 3 -x 4 +x 5 → max ,

при ограничениях
-x 1 +x 2 +x 3 =2 ;
3x 1 -x 2 +x 4 =3 ;
5x 1 +2x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =11;
x i ≥ 0 для i=1,2,...,5.
Упорядочим критерии согласно их нумерации, то есть будем в начале работать с критерием f 1 (x), а затем с критерием f 2 (x).
При решении примера методом искусственного базиса была получена симплекс-таблица (табл.). Возьмем ее в качестве начальной, вычислив относительные оценки для функции f=f 1 (x). Получим таблицу 10. Таблица 11 определяет точку, доставляющую функции f1(x) наибольшее значение f 1 * , равное 16.
Таблица 10. Таблица 11.

		7	0
c в		X 1	x 2			x 4	x 2
2	x 3	-1	1	2	x 3	1/3	2/3	3
-1	x 4	3	-1	3	x 1	1/3	-1/3	1
1	x 5	3	2	6	x 5	-1	3	3
	f 1	-9	5	7	f 1	3	2	16

Далее переходим к решению задачи
f 2 (x)=x 1 -5x 2 -4x 3 +x 4 → max
при ограничениях задачи, к которым добавлено новое ограничение f 1 (x)≥f 1 * -Δ:
-x 1 +x 2 +x 3 =2,
3x 1 -x 2 +x 4 =3 , (7)
5x 1 +2x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =11,
7x 1 +2x 3 - x 4 +x 5 ³16-Δ,
x i ≥ 0 для i=1,2,...,5.
Новое ограничение преобразуем в равенство и заменим переменные x 1 , x 3, x 5 , используя таблицу 11, выражениями
x 1 =1/3x 2 -1/3x 4 +1, x 3 =-2/3x 2 -1/3x 4 +3, x 5 =-3x 2 +x 4 +3.
В результате этих преобразований дополнительно введенное ограничение примет вид -2x 2 -x 4 +x 6 =-16+Δ. Итак, получили задачу параметрического программирования с параметром в правой части ограничений.
В качестве начальной таблицы для задачи (7) можно использовать таблицу 12, которая получена из таблицы 11 в результате пополнения ее еще одной строкой и пересчета строки относительных оценок. Решим задачу (7) для произвольного параметра Δ≥0. Для этого столбец правых частей ограничений в таблице 12 представим в виде двух столбцов z′, z″: z i 0 =z i ′+z i ″Δ. При выборе главной строки в таблице 12 следует использовать значения из столбца z′. Полученная далее таблица 13 является оптимальной при Δ=0 и при всех значениях Δ, удовлетворяющих условиям
3+(-1/9) Δ ≥ 0, 1+(-1/9) Δ ≥ 0, 3+1/3 Δ ≥ 0, 0+1/3 Δ ≥ 0.
Из этой системы неравенств получаем 0 ≤ Δ ≤ 9. При этих значениях параметра решением задачи является точка x*=(1+(-1/9)Δ, 0, 3+(-1/9)Δ, 0+1/3Δ, 3+1/3Δ).
Таблица 12. Таблица 13.

		1	-5
с в		x 4	x 2	z′	z″		x 6	x 2	z′	z″
-4	x 3	1/3	2/3	3	0	x 3	-1/9	4/9	3	-1/9
1	x 1	1/3	-1/3	1	0	x 1	-1/9	-5/9	1	-1/9
0	x 5	-1	3	3	0	x 5	1/3	11/3	3	1/3
0	x 6	3	2	0	1	x 4	1/3	2/3	0	1/3
	f 2	-2	2	-11	0	f 2	2/3	10/3	-11	2/3

При Δ > 9 таблица 13 не является оптимальной, и нужно выполнить шаг двойственного симплекс-метода с главным элементом, стоящим на пересечение второй строки и первого или второго столбцов. Получим таблицу 14, из которой видно, что при Δ > 9 решениями являются точки, доставляющие функции f 2 (x) значение –5. Таблица 14 определяет опорное решение x ** =(0,0,2,3,6).
Таблица 14.

	x 1	x 2	z′	z″
x 3	-1	1	2	0
x 6	-9	5	-9	1
x 5	3	2	6	0
x 4	3	-1	3	0
f 2	6	0	-5	0

Найдем эти решения. Выберем главным столбец с 0-оценкой. В зависимости от Δ главной строкой будет первая или вторая строка. Если
(-9+Δ)/5 > 2, то главной строкой будет выбрана 1-я. А значит, следующей будет таблица 15. Она определяет опорное решение X=(0,2,0,5,2) , если
–19+Δ≥0. Итак, если D≥19, оптимальными решениями будут все точки выпуклой комбинации
ax ** +(1-a)x * =(0, 2-2a, 2a,5-2a,2+4a), где a∈.
Таблица 15.

	x 1	x 3	z′	z″
x 2	-1	1	2	0
x 6	-4	-5	-19	1
x 5	5	-2	2	0
x 4	2	1	5	0
f 2	6	0	-5	0

Если (-9+Δ)/5 > 2, то главной строкой будет выбрана 2-я. А значит, следующей после таблицы 14 будет таблица 16. Таблица 16 определяет решение X=(0, (-9+Δ)/5, (19-Δ)/5, (6+Δ)/5, (48-2Δ)/5), если –19+Δ≤0. Итак, если Δ≤19, оптимальными решениями будут все точки выпуклой комбинации
ax**+(1-a)x*=(0, (1-a)(-9+Δ)/5, (19-Δ)/5+a(-9+Δ)/5, (6+Δ)/5+a(9-Δ)/5, (48-2Δ)/5+a(-18+2Δ)/5), где a∈.
Таблица 16.

	x 1	x 6	z′	z″
x 3	4/5	-1/5	19/5	-1/5
x 2	-9/5	1/5	-9/5	1/5
x 5	33/5	-2/5	48/5	-2/5
x 4	6/5	1/5	6/5	1/5
f 2	6	0	-5	0

Окончательный результат формулируется следующим образом: решением многокритериальной задачи являются:
точки x*=(1+(-1/9)Δ, 0, 3+(-1/9)Δ, 0+1/3Δ, 3+1/3Δ), если 0 ≤ Δ ≤ 9,
точки x**=(0, (1-a)(-9+Δ)/5, (19-Δ)/5+a(-9+Δ)/5,
(6+Δ)/5+a(9-Δ)/5,(48-2Δ)/5+a(-18+2Δ)/5), если 9 < Δ ≤ 19,
точки x *** =(0, 2-2a, 2a,5-2a,2+4a), если Δ ≥ 19,
где a∈.

Пример №2 . Методом последовательных уступок найти решение задачи, считая, что критерии упорядочены по важности в последовательности {f 2 ,f 1 }, и Δ 2 =1.
f 1 =-x 1 +3x 2 → max,
f 2 (x)=4x 1 -x 2 → max ,
Первая задача из последовательности (6) в данном случае имеет вид:
f 2 (x)=4x 1 -x 2 → max ,
при ограничениях
-x 1 +x 2 ≤1, x 1 +x 2 ≥3, x 1 -2x 2 ≤0 , x 1 ≤4 , x 2 ≤3.
Решение этой задачи можно найти графически. Из рисунка 14 видно, что максимум критерия f 2 (x) на множестве X достигается в вершине x 5 =(4,2) и f 2 * =f 2 (x 5)=14.
Графическое решение примера №2.

Рис.
Добавим к ограничениям задачи условие f 2 ≥f 2 * -Δ и сформулируем вторую задачу последовательности (6):
f 1 =-x 1 +3x 2 → max,
-x 1 +x 2 1 , x 1 +x 2 3, x 1 -2x 2 0 , x 1 4 , x 2 3,
4x 1 -x 2 13
Ее решением (рис.) будет вершина x 4 =(4,3) и f 1 * =f 1 (x 4)=5. Так как, оптимальное решение последней задачи единственно, то в силу утверждения 5, x 4 принадлежит множеству Парето.
Отметим, что при Δ∈ методом последовательных уступок будет найдена одна из точек отрезка , а при Δ>1, одна из точек отрезка . Все эти точки и только они принадлежит множеству Парето.

Из презентаций

здесь x – альтернатива из множества Парето

fi (x ) – оценка альтернативы x по i -му критерию

Ci – коэффициенты относительной важности критериев

Использование линейной свертки

Это задачи, связанные с критериями

суммарного ущерба или прибыли ,

дохода ,

денежных или временных затрат

по годам планирования или по этапам

жизненного цикла экономических информационных систем и т. п.,

т.е. там, где допускается, что низкая ценность одной частной характеристики результата компенсируется высокой ценностью другой

Квадратичная свертка

При решении практических задач ЛПР, как правило, ранжирует критерии в соответствии со своими предпочтениями. В этом случае в качестве интегрального критерия используются различные виды сверток

, – линейная свертка ,

здесь x – альтернатива из множества W;

f i (x) – оценка альтернативы x по i-му критерию;

с i – весовые коэффициенты, с которыми оценки альтернатив входят в интегральный критерий. с i – коэффициенты значимости, или коэффициенты относительной важности критериев.

Коэффициенты с i можно найти, например, из специально организованной экспертизы: m экспертов должны расставить (ранжировать) критерии по важности:ранг 1 присвоить самому важному критерию и т.д. Пусть r ij – ранг, который присвоил j-ый экперт i-му критерию. Чтобы получить числовую оценку, введем новый коэффициент

Тогда коэффициент значимости i-го критерия с точки зрения j-го эксперта:

Обобщенные коэффициенты получим, усреднив оценки экспертов.

Пусть g j – компетентность j-го эксперта, тогда

Еще один метод назначения коэффициентов относительной важности основан на внесении предпочтений во множество критериев. Он состоит в следующем.

Пусть удается количественно выразить отношения предпочтения между критериями: критерий f i предпочтительнее критерия f j в h раз: . Тогда коэффициенты относительной важности этих критериев связаны между собой линейным уравнением C i =hC j . Это следует из теоремы:

Th. Если , то C i =hC j , C i >0, åC i =1.

Решая систему линейных уравнений, получим искомые коэффициенты.

Пример. Пусть варианты некоторой системы оцениваются по четырем критериям с пятибалльной шкалой. Значения критериевf i (х) даны в табл.13.

Пусть известно, что , f 2 ~ f 3 , .

Решение . Составим систему линейных уравнений для определения коэффициентов C i :

C 1 =1,5C 2 ; C 2 =C 3 ; C 3 =C 4 ; C 1 +C 2 +C 3 +C 4 =1;

Отсюда следует, что C 1 =3/8; C 2 =2/8; C 3 =2/8; C 4 =1/8.

В табл. 13 приведены значения интегрального критерия «Линейная свертка ».

Таблица 13

Оценки вариантов по критериям

	f 1 f 2 f 3 f 4
Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6	2 5 4 5 5 3 4 3 3 2 5 5 4 3 4 4 3 4 4 4 4 3 3 4	3/82+2/85+2/84+1/85=29/8 32/8 28/8 30/8 29/8 28/8

По этому критерию лучшая альтернатива – Х 2 .

Задачи, в которых выполняются условия для использования линейной свертки, часто встречаются в практике. Это задачи, связанные с критериями суммарного ущерба или прибыли, дохода, денежных или временных затрат по годам планирования или по этапам жизненного цикла экономических информационных систем и т. п., т.е. там, где допускается, что низкая ценность одной частной характеристики результата компенсируется высокой ценностью другой.

Свертка может быть не только линейной , но и квадратичной :

сверткой порядка t :

Величина t, стоящая в показателе степени, отражает допустимую степень компенсации малых значений одних равноценных критериев большими значениями других. Чем больше значение t, тем больше степень возможной компенсации.

Например, при , т.е. когда недопустима никакая компенсация и требуется выравнивание значений всех критериев (равномерное «подтягивание» значение всех критериев к их наилучшему уровню), интегральный критерий приобретает вид

Если t →0, т.е. требуется обеспечение примерно одинаковых уровней значений отдельных частных критериев, то интегральный критерий имеет вид

– мультипликативная функция.

При t=1 имеем линейную свертку, при t=2 – квадратичную.

В задачах планирования ударов «по узкому месту» допустима компенсация увеличения одного из критериев сколь угодно большим уменьшением остальных, т.е. , тогда интегральный критерий можно использовать в виде

Используя в качестве интегрального критерия свертку, выбирают в качестве лучшей ту альтернативу, для которой F(x) имеет максимальное значение .

Замечание . Входящие в интегральный критерий целевые функции имеют разную размерность и выражены в разных шкалах. Поэтому необходимо предварительно выразить все оценки в одной однородной шкале. Целесообразно использовать для этого следующий прием

где f i * (x) – оценка альтернативы x по i-му критерию в «родной» шкале, f i max и f i min – максимальное и минимальное значения альтернатив по i -му критерию. Полученные оценки принадлежат отрезку и являются дробными, что не всегда удобно для расчетов. Поэтому можно, умножив все оценки по соответствующим критериям на наименьшее общее кратное, перейти в целочисленную шкалу. Сдвиг по шкале на общую для каждого из критериев величину позволит избавиться от отрицательных оценок.

Вариант8,19 Методы решения МКЗ при равнозначных критериях

Тема 10: Формирование решений в условиях многокритериальности

Вопросы:

10.1. Основные подходы к решению многокритериальных задач. Система критериев. Методы «свертки» критериев

10.2. Решения, оптимальные по Парето

10.3. Процедура многокритериального сравнения и выбора объектов («Электра»)

Критерий – это правило или показатель, позволяющий оценивать и сравнивать анализируемые объекты (альтернативные решения, результаты деятельности, варианты производства и т.д.). Критерии могут быть объективными (например, рентабельность) и субъективными (например, престижность), формальными и содержательными, количественными и качественными.

На рис. 5.6 представлена классификация ситуаций принятия решений в зависимости от количества критериев и фактора неопределенности.

Рис. 5.6. Классификация ситуаций принятия решений

По сложности решения делятся на однокритериальные и многокритериальные.

1. Однокритериальные методы выбора . Считается известным:

Исходное множество альтернатив ;

Оценки результатов выбираемых альтернатив ;

Критерий выбора или .

В процессе решения задачи определяется альтернатива А*, для которой или .

2. Многокритериальные методы выбора . В достаточно большом количестве случаев принятия решений приходится учитывать не один, а несколько критериев.

Пример : Выбор интегрированной информационной системы предприятия осуществляется по следующим критериям :

1. Соответствие функций системы требованиям, выработанным в процессе анализа и построения информационной модели предприятия.

2. Соответствие системы современным технологическим стандартам (архитектура клиент-сервер, используемые СУБД, возможность распределенной работы и интеграция с Интернет).

3. Возможности системы по настройке и изменению.

4. Уровень сложности сопровождения и администрирования.

5. Адаптивность системы к конкретным условиям деятельности.

6. Стоимость системы.

7. Другие.

Известен целый ряд методов решения многокритериальных задач , которые можно разбить на следующие группы:

1. Сведение многих критериев к одному путем введения весовых коэффициентов для каждого критерия (более важный критерий получает больший вес).

2. Минимизация максимальных отклонений от наилучших значений по всем критериям.

3. Оптимизация одного критерия (почему-либо признанного наиболее важным), а остальные критерии выступают в роли дополнительных ограничений.

4. Упорядочение (ранжирование) множества критериев и последовательная оптимизация по каждому из них.

5. Поиск согласованного по некоторым правилам экспертного решения.

Чаще всего задачу выбора пытаются решить на основе построения интегрального (обобщающего) критерия . Для этого используются разнообразные способы «свертки» показателей, т.е. построение различных обобщающих показателей, прежде всего, аддитивных и мультипликативных.

Аддитивный обобщающий показатель (критерий) получается как взвешенная сумма оценок по частным показателям (критериям).

Мультипликативный обобщающий показатель строится как взвешенное произведение оценок по отдельным показателям.

где pi – значение i-го показателя (критерия);

li – вес (значимость) i-го показателя (критерия).

Общей особенностью данных обобщающих критериев является то, что они предусматривают возможность малой степени достижения одних целей за счет большей степени достижения других. При этом в оценке «стираются» различия отдельных критериев. Также проблемой является определение весов критериев.

В целом ряде хозяйственных ситуаций нежелательно сведение оценок объектов по разным критериям к одной, так как противоречивость критериев имеет существенное значение.

Для преодоления этого недостатка исследователи стараются представить пространство критериев. Одним из возможных средств решения этой задачи являются различные графические представления альтернатив в пространстве критериев. Примером подобного подхода, получившего широкое распространение в маркетинговых исследованиях, является так называемый «профильный анализ» (табл. 5.6). Пример:

Таблица 5.6

«Профили» программных продуктов

ПП Критерии

ПП - 1

ПП - 2

ПП - 3

ПП - 4

ПП - 5

Универсальность

Интегрируемость

Модульность

Развиваемость

Надежность

Защита информации

Соответствие техническим стандартам

Квалификация

Стоимость ПП

Стоимость обслуживания

Экономическая эффективность

Обозначения приоритетов:

В – высокий,

С – средний,

Н – низкий.

В таблице сравниваются 5 программных продуктов (ПП) по нескольким критериям.

В многокритериальных задачах, когда из первоначальной постановки не удается выделить критерий, преобладающий по важности над другими - главный критерий, довольно часто критерии искусственно комбинируют посредством агрегирующей функции, с параметрами - весовыми коэффициентами, назначаемыми каждому критерию согласно его относительной важности. Этот подход часто называют скаляризацией или сверткой векторного критерия. А получающуюся при этом параметризованную функцию, сводящую исходную многокритериальную задачу к однокритериальной, - обобщенным, агрегированным, глобальным критерием или суперкритерием. Наиболее широко распространенным видом обобщенного критерия является линейная свертка, когда глобальный критерий представляется в виде суммы (иногда произведения) частных критериев, умноженных на соответствующие весовые коэффициенты.

При применении этого способа определенные трудности вызывает правильный выбор весовых коэффициентов, проблематична интерпретация получаемых результатов. Использовать рассмотренный прием образования обобщенного критерия имеет смысл только в тех случаях, когда интерес представляет сумма отдельных критериальных функций. В общем же случае происходит просто замена одних неопределенностей другими, замаскированная математическими выкладками .

Существуют также случаи, когда довольно проблематично назначить каждому критерию определенный весовой коэффициент, соответствующий его важности относительно остальных. Тогда прибегают к свертке критериев где весовые коэффициенты не отражают относительной важности критериев, а изменяясь в определенных пределах, способствуют тем самым локализации точек в множестве Парето. При этом еще больше возрастает роль ЛПР, т.к. при выборе весовых коэффициентов он руководствуется в основном собственным опытом и интуицией, что также требует от него определенной квалификации.

Неоднократно отмечались ошибки и противоречия, которые делает человек при назначении весов критериев. Достаточно обстоятельный обзор различных методов назначения весов подводит к выводу, что не существует корректных методов решения человеком этой задачи. Такое поведение человека при решении многокритериальных зада является повторяющимся и устойчивым.

Имеются результаты экспериментов, из которых следует, что человек назначает веса критериев с существенными ошибками по сравнению с объективно известными, что назначаемые веса противоречат его непосредственным оценкам альтернатив и т.д. Хотя дискуссия о возможности использования весов в методах принятия решений еще продолжается, полученных данных уже достаточно, чтобы считать эту операцию достаточно сложной для ЛПР .

Суммируя сказанное можно сделать следующий вывод. Метод сверток применялся и применяется наиболее часто, но имеет труднопреодолимые недостатки :

- не всегда потеря качества по одному критерию компенсируется приращением по другому. «Оптимальное» по свертке решение может характеризоваться низким качеством некоторых частных критериев и в связи с этим будет неприемлемым;
- не всегда можно задать веса критериев. Зачастую известна лишь сопоставимая важность критериев, иногда нет никакой информации о важности;
- результат сильно зависит от предпочтений ЛПР, который чаще всего назначает веса, исходя из интуитивного представления о сравнительной важности критериев;
- величина функции цели, полученная по свертке, не имеет никакого физического смысла;
- многократный запуск алгоритма по свертке может давать только несколько различных точек Парето (или одну и ту же) даже в случае, когда в действительности этих точек очень много;
- данный подход не способен генерировать истинные Парето-оптимальные решения в условиях невыпуклых поисковых пространств, что является серьезным препятствием при решении многих практических задач.

Итак, для решения любой многокритериальной задачи необходимо учитывать сведения об относительной важности частных критериев.

В некоторых многокритериальных задачах частные критерии строго упорядочены по важности так, что следует добиваться приращения более важного критерия за счет любых потерь по всем остальным менее важным критериям. Но в большинстве случаев возникает ситуация, когда выделить главный или упорядочить критерии по важности не удается. Тогда зачастую прибегают к свертке критериев в обобщенный критерий. Применение данного подхода к формированию множества Парето, также как методов последовательных уступок и выделения основного частного критерия, связано с рядом возникающих при этом трудностей, что ставит вопрос о целесообразности использования подобных подходов и необходимости разработки методов, лишенных их недостатков.

К тому же, характерной чертой, объединяющей 3 рассмотренных подхода, является то, что в каждом из них задача многокритериальной оптимизации сводится к одной или нескольким задачам однокритериальной оптимизации.

Таким образом, теряется суть решаемой задачи, ее отличительная особенность - одновременный учет многих критериев. А сами методы должны работать многократно, чтобы сгенерировать множество точек Парето с тем, чтобы дальше выполнить оценку решения, значительно увеличивая затрачиваемые при этом вычислительные ресурсы.

Важность критериев была задана нечеткими числами с функциями принадлежности следующего вида:

ВАЖНЫЙ (В)- m B ={0,4; 1/0,7; 0/1};

ОЧЕНЬ ВАЖНЫЙ (OB) - m OB ={0/0,7; 1/1};

НЕ ОЧЕНЬ ВАЖНЫЙ (НОВ) - m HOB = {0/0,1; 1/0,4; 0/7}.

Для оценки альтернатив использовались лингвистические значения:

Альтернативы получили следующие оценки по критериям:

Взвешенные оценки альтернатив R i имеют следующие функции принадлежности:

Оценки предпочтительности альтернатив равны: m(a 1) = 0,90, m(a 2) = 0,62, m(a 3) = 1,0. Лучшей альтернативой является a 3 , a худшей – а 2 .

Решение задачи методом анализа иерархий

На заданном наборе критериев была построена трехуровневая иерархия, на верхнем уровне которой определена цель выбора (с G). На втором уровне находятся обобщенные критерии: прибыль (с P) к и риск (с R) . На третьем уровне иерархии расположены перечисленные выше критерии с 1 , ..., с 5 . При этом критерии c 1 , с 2 , с 3 , входят в группу критерия c P , а критерии с 4 , с 5 - в группу критерия c R . Экспертные предпочтения и полученные приоритеты приведены в матрицах попарных сравнений:

В результате иерархического синтеза получены векторы приоритетов альтернатив:

Альтернативой с наименьшим риском является а 1 , а наибольшую прибыль обеспечивает а 3 . Эта же альтернативаимеет максимальный приоритет относительно цели выбора.

Сравнение полученных результатов

На рис. 4.9 приведены результаты решения задачи выбора рационального инвестиционного проекта, полученные различными методами.

Несмотря на то, что исходная информация во всех рассмотренных примерах является последовательной и непротиворечивой, полученные результаты заметно отличаются. Кроме описанных выше нечетких методов принятия решений, для сравнения использовался метод анализа иерархий, который обычно дает результаты, хорошо согласующиеся с интуитивными представлениями экспертов при рациональном подходе к принятию решений.

Несовпадение результатов, полученных разными методами, объясняется, с одной стороны, разными способами представления экспертной информации, а с другой стороны - различием подходов к принятию решений. Так, в основу метода анализа иерархий и метода отношений предпочтения заложен рационально-взвешенный подход, основанный на попарных сравнениях объектов и нормированных весовых коэффициентах. Максиминная свертка и лингвистическая векторная оценка являются реализациями пессимистического подхода, игнорирующего хорошие стороны альтернатив, когда лучшей считается альтернатива, имеющая минимальные недостатки по всем критериям. Аддитивная свертка предполагает оптимистический подход, когда низкие оценки по критериям имеют одинаковый статус по сравнению с высокими. Нечеткий вывод на правилах реализует эвристический подход.

Анализ приведенных результатов позволяет сделать следующие выводы:

1. Методы принятия решений на нечетких моделях позволяют удобно и достаточно объективно производить оценку альтернатив по отдельным критериям. В отличие от других методов добавление новых альтернатив не изменяет порядок ранее ранжированных наборов. При оценке альтернатив по критериям возможна как лингвистическая оценка, так и оценка на основе точечных оценок с использованием функций принадлежности критериев.

2. Основной проблемой многокритериального выбора с применением нечетких моделей является представление информации о взаимоотношениях между критериями и способы вычисления интегральных оценок. Методы, базирующиеся на разных подходах, дают различные результаты. Каждый подход имеет свои ограничения и особенности, и пользователь должен получить о них представление, прежде чем применять тот или иной метод принятия решений. Наиболее широкие возможности для представления информации дает эвристический подход.

3. Большинство нечетких методов принятия решений показывает слабую устойчивость результатов относительно исходных данных. Исследование рассмотренных методов показало, что наибольшей устойчивостью обладает метод, основанный на правилах.

Анализ нечетких методов принятия решений позволяет сформулировать требования к дальнейшим разработкам в этой области. Это развитие теоретических подходов к описанию сложных взаимоотношений между критериями, более широкое применение интеллектуальных методов на основе нечеткой логики, а также развитие комбинированных методов принятия решений с использованием нечетких представлений.

Основные понятия

1. Нечеткие множества.

2. Нечеткие числа.

3. Лингвистические переменные.

4. Лингвистический критерий.

5. Лингвистическая оценка.

6. Нечеткие операции и отношения.

7. Нечеткие отношения предпочтения.

8. Максиминная свертка нечетких множеств.

9. Нечеткий логический вывод.

10. Композиционное правило вывода.

11. Методология применения методов теориинечетких множеств.

12. Сравнительный анализ методов.

13. Практические результаты применения методовпринятия решений.

Контрольные вопросы и задания

1. Перечислите и дайте определения основным элементам теории нечетких множеств.

2. Дайте определение нечетким операциям, отношениям и свойствам отношений.

3. Охарактеризуйте постановку задачи многокритериального выбора альтернатив на основе пересечения нечетких множеств.

4. Составьте алгоритмы и программы многокритериального выбора альтернатив методом максиминной свертки.

5. Постановка задачи выбора альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения.

6. Разработайте алгоритмы и программы для решения задачи многокритериального принятия решений на основе нечеткого отношения предпочтения.

7. Постановка задачи выбора альтернатив с аддитивным критерием.

8. Разработайте алгоритмы и программы для решения задачи многокритериального принятия решений на основе аддитивной свертки предпочтений, заданных нечеткими числами.

9. Постановка задачи принятия решений на основе лингвистической векторной оценки.

10. Разработайте алгоритмы и программы для решения задачи многокритериального выбора с использованием метода лингвистического векторного критерия.

11. Постановка задачи многокритериального выбора с использованием правила нечеткого вывода.

12. Разработайте алгоритмы и программы для решения задачи выбора рациональной альтернативы на основе математического аппарата нечеткого логического вывода.

13. Рассмотрите применение принципов пересечения нечетких множеств в экономических и управленческих задачах принятия решений.

14. Разработайте методику применения метода нечеткого отношения предпочтения для проектирования и выбора конкурентоспособных экономических, технических и управленческих решений.

15. Поставьте задачи из области экономики, наилучшим образом формализуемые математическим аппаратом нечеткого логического вывода.

16. Решите одну задачу различными методами принятия решений, основанными на теории нечетких множеств. Проведите сравнительный анализ полученных результатов. Сделайте вывод о том, какой из методов дает наиболее адекватные результаты в сравнении с вашими представлениями.

Литература

1. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений: Пер. с англ. - М.: Мир, 1976. - 165 с.

2. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1986. - 408 с.

3. Борисов А. П., Крумберг О. А., Федоров И. П . Принятиерешенийна основе нечетких моделей. - Рига: Зинатне, 1990. - 184 с.

4. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта/Под ред. Д. А. Поспелова. - М.: Наука, 1986. - 312 с.