В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье .

Если процесс $x(t)$ имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:

Функция $S_x(f)=|X(f)|^2$ характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.

Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу $x(t)$ , реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность мощности такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:

Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно $f=0$ и $\tau=0$ , имеем

Формула (6) с учетом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину $S_x(f)df$ можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от $f-df/2$ до $f+df/2$ . Если понимать под $x(t)$ случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина $S_x(f)$ будет иметь размерность энергии [В 2 /Гц] = [В 2 с]. Поэтому $S_x(f)$ иногда называют энергетическим спектром . В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: $\sigma_x^2$ – рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину $S_x(f)$ называют спектром мощности случайного процесса.

Свойства спектральной плотности

Энергетический спектр стационарного процесса (вещественного или комплексного) – неотрицательная величина:

Корреляционная функция $k_x(\tau)$ и энергетический спектр $S_x(f)$ стационарного в широком смысле случайного процесса обладают всеми свойствами, характерными для пары взаимных преобразований Фурье . В частности, чем «шире» спектр $S_x(f)$ тем «уже» корреляционная функция $k_x(\tau)$ , и наоборот. Этот результат количественно выражается в виде принципа или соотношения неопределенности.

См. также

Напишите отзыв о статье "Спектральная плотность"

Литература

Зюко, А. Г. Теория передачи сигналов / А. Г. Зюко [и др.]. - М .: Связь, 1980. - 288 с.
Тихонов, В. И. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем / В. И. Тихонов, В. Н. Харисов. - М .: Радио и связь, 2004. - 608 с. - ISBN 5-256-01701-2 .
Тихонов, В. И. Статистическая теория радиотехнических устройств / В. И. Тихонов, Ю. Н. Бакаев. - М .: Академия им. проф. Н. Е. Жуковского, 1978. - 420 с.

Отрывок, характеризующий Спектральная плотность

«Ну и пускай такой то обокрал государство и царя, а государство и царь воздают ему почести; а она вчера улыбнулась мне и просила приехать, и я люблю ее, и никто никогда не узнает этого», – думал он.
Пьер все так же ездил в общество, так же много пил и вел ту же праздную и рассеянную жизнь, потому что, кроме тех часов, которые он проводил у Ростовых, надо было проводить и остальное время, и привычки и знакомства, сделанные им в Москве, непреодолимо влекли его к той жизни, которая захватила его. Но в последнее время, когда с театра войны приходили все более и более тревожные слухи и когда здоровье Наташи стало поправляться и она перестала возбуждать в нем прежнее чувство бережливой жалости, им стало овладевать более и более непонятное для него беспокойство. Он чувствовал, что то положение, в котором он находился, не могло продолжаться долго, что наступает катастрофа, долженствующая изменить всю его жизнь, и с нетерпением отыскивал во всем признаки этой приближающейся катастрофы. Пьеру было открыто одним из братьев масонов следующее, выведенное из Апокалипсиса Иоанна Богослова, пророчество относительно Наполеона.
В Апокалипсисе, главе тринадцатой, стихе восемнадцатом сказано: «Зде мудрость есть; иже имать ум да почтет число зверино: число бо человеческо есть и число его шестьсот шестьдесят шесть».
И той же главы в стихе пятом: «И даны быта ему уста глаголюща велика и хульна; и дана бысть ему область творити месяц четыре – десять два».
Французские буквы, подобно еврейскому число изображению, по которому первыми десятью буквами означаются единицы, а прочими десятки, имеют следующее значение:
a b c d e f g h i k.. l..m..n..o..p..q..r..s..t.. u…v w.. x.. y.. z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
Написав по этой азбуке цифрами слова L"empereur Napoleon [император Наполеон], выходит, что сумма этих чисел равна 666 ти и что поэтому Наполеон есть тот зверь, о котором предсказано в Апокалипсисе. Кроме того, написав по этой же азбуке слова quarante deux [сорок два], то есть предел, который был положен зверю глаголати велика и хульна, сумма этих чисел, изображающих quarante deux, опять равна 666 ти, из чего выходит, что предел власти Наполеона наступил в 1812 м году, в котором французскому императору минуло 42 года. Предсказание это очень поразило Пьера, и он часто задавал себе вопрос о том, что именно положит предел власти зверя, то есть Наполеона, и, на основании тех же изображений слов цифрами и вычислениями, старался найти ответ на занимавший его вопрос. Пьер написал в ответе на этот вопрос: L"empereur Alexandre? La nation Russe? [Император Александр? Русский народ?] Он счел буквы, но сумма цифр выходила гораздо больше или меньше 666 ти. Один раз, занимаясь этими вычислениями, он написал свое имя – Comte Pierre Besouhoff; сумма цифр тоже далеко не вышла. Он, изменив орфографию, поставив z вместо s, прибавил de, прибавил article le и все не получал желаемого результата. Тогда ему пришло в голову, что ежели бы ответ на искомый вопрос и заключался в его имени, то в ответе непременно была бы названа его национальность. Он написал Le Russe Besuhoff и, сочтя цифры, получил 671. Только 5 было лишних; 5 означает «е», то самое «е», которое было откинуто в article перед словом L"empereur. Откинув точно так же, хотя и неправильно, «е», Пьер получил искомый ответ; L"Russe Besuhof, равное 666 ти. Открытие это взволновало его. Как, какой связью был он соединен с тем великим событием, которое было предсказано в Апокалипсисе, он не знал; но он ни на минуту не усумнился в этой связи. Его любовь к Ростовой, антихрист, нашествие Наполеона, комета, 666, l"empereur Napoleon и l"Russe Besuhof – все это вместе должно было созреть, разразиться и вывести его из того заколдованного, ничтожного мира московских привычек, в которых, он чувствовал себя плененным, и привести его к великому подвигу и великому счастию.
Пьер накануне того воскресенья, в которое читали молитву, обещал Ростовым привезти им от графа Растопчина, с которым он был хорошо знаком, и воззвание к России, и последние известия из армии. Поутру, заехав к графу Растопчину, Пьер у него застал только что приехавшего курьера из армии.

Если процесс имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:

X (f) = ∫ − ∞ ∞ x (t) e − i 2 π f t d t . {\displaystyle X(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i2\pi ft}dt.}

(1)

Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия

E x = ∫ − ∞ ∞ | x (t) | 2 d t = ∫ − ∞ ∞ | X (f) | 2 d f . {\displaystyle E_{x}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}df.}

(2)

Функция S x (f) = | X (f) | 2 {\displaystyle S_{x}(f)=|X(f)|^{2}} характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.

Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу x (t) {\displaystyle x(t)} , реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность мощности такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:

S x (f) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) e − i 2 π f τ d τ . {\displaystyle S_{x}(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau)e^{-i2\pi f\tau }d\tau .}

(3)

Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье , которое по известной определяет k x (τ) {\displaystyle k_{x}(\tau)} :

k x (τ) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) e i 2 π f τ d f . {\displaystyle k_{x}(\tau)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)e^{i2\pi f\tau }df.}

(4)

Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно f = 0 {\displaystyle f=0} и τ = 0 {\displaystyle \tau =0} , имеем

S x (0) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) d τ , {\displaystyle S_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau)d\tau ,}

(5)

σ x 2 = k x (0) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) d f . {\displaystyle \sigma _{x}^{2}=k_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)df.}

(6)

Формула (6) с учетом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину S x (f) d f {\displaystyle S_{x}(f)df} можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от f − d f / 2 {\displaystyle f-df/2} до f + d f / 2 {\displaystyle f+df/2} . Если понимать под x (t) {\displaystyle x(t)} случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина S x (f) {\displaystyle S_{x}(f)} будет иметь размерность энергии [В 2 /Гц] = [В 2 с]. Поэтому S x (f) {\displaystyle S_{x}(f)} иногда называют энергетическим спектром . В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: σ x 2 {\displaystyle \sigma _{x}^{2}} – рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину S x (f) {\displaystyle S_{x}(f)} называют спектром мощности случайного процесса.

Свойства спектральной плотности

Энергетический спектр стационарного процесса (вещественного или комплексного) – неотрицательная величина:

S x (f) ≥ 0 {\displaystyle S_{x}(f)\geq 0} .

(7)

Энергетический спектр вещественного стационарного в широком смысле случайного процесса есть действительная и четная функция частоты:

S x (− f) = S x (f) {\displaystyle S_{x}(-f)=S_{x}(f)} .

(8)

ных процесса друг с другом никак не связаны (статистически независимы), то

Rxy (τ) = 0

6.3 Спектральная плотность случайного процесса

Понятие о спектральной плотности связано с разложением стационарного случайного процесса на гармонические составляющие, подобные обычному разложению в ряд Фурье. Это позволяет при расчете автоматических систем, использовать частотные методы анализа.

Спектральная плотность S x (ω) случайного процессаx(t) характеризует спектральный (частотный) состав случайной величины и представляет собой частотную функцию для средних значений квадратов амплитуд гармоник, на которые может быть разложен случайный процесс.

Для стационарного случайного процесса спектральная плотность S x (ω) может быть получена как изображение Фурье корреляционной функцииR x (τ)

Sx (ω )= ∫ Rx (τ )å− j ωτ dτ

С помощью обратного преобразования Фурье можно определить корреляционную функцию через спектральную плотность

	Rx (τ )=		∞ Sx (ω )åj ωτ dω
	Rx (τ )=		∞ Sx (ω )åj ωτ dω

На рисунке 6.3 показаны графики корреляционной функции R x (τ) (смотри рисунок 6.2) и соответствующие им графики спектральной плотности S(ω). Это соотношение аналогично соотношению между переходной и частотной характеристикой системы: чем продолжительнее переходный процесс, тем уже его частотная характеристика. При рассмотрении случайных процессов: чем шире график корреляционной функции (кривые 3, 4) , тем уже график спектральной плотности и наоборот.

Рисунок 6. 3 – Корреляционные функции и соответствующие спектральные плотности центрированных стационарных процессов

В предельном случае, когда случайная величина x(t) является постоянной величиной и корреляционная функция тоже постоянная и равнаD x = a 2

(прямая 1), то спектральная плотность существует только при нулевой частоте и равна

Sx (ω )= 2π a2 δ (ω )

В другом предельном случае, когда случайная величина x(t) является абсолютно случайным процессом (белый шум), то корреляционная функция существует только приτ = 0 (прямая 2). Спектральная плотность такого случайного процесса равномерно распределена по всем частотам и равна

Sx (ω )= C2

Для непериодического случайного процесса (кривые 3, 4) корреляционная функция аппроксимируется R (τ )= D x å − α τ , тогда спектральная плотность определяется

Sx (ω )= 2D x α

α 2+ ω 2

Если случайная величина x(t) имеет периодическую составляющую при ω = ω0 , то спектральная плотность при частотах ω = + ω0 и ω = - ω0 будет иметь соответствующие пики (кривая 5). Корреляционная функция такого слу-


чайного процесса аппроксимируется		R(τ ) = Dx å− α			cos βτ . Спектральная


плотность определяется	Dx α			Dx α
S÷ (ω )=	Dx α			Dx α
S÷ (ω )=	α2 + (ω+ β) 2		α2 + (ω− β) 2
	α2 + (ω+ β) 2		α2 + (ω− β) 2

Одним из основных параметров работы системы при случайных воздействиях является среднеквадратичное отклонение, которое характеризует отклонение случайной величины от его среднего значения. Если известна спектральная плотность сигнала S(ω) , то приτ = 0 можно определить дисперсию


Rx (0)=	∫ Sx (ω )åj ω 0 dω =	∫ Sx (ω ) dω
Rx (0)=	∫ Sx (ω )åj ω 0 dω =	∫ Sx (ω ) dω

Тогда среднеквадратичное отклонение (СКО)

σ x = Dx = Rx (0)

По полученным основным характеристикам случайного процесса исследование автоматической системы на статистическую точность работы проводят

в следующей последовательности:

- по заданному случайному процессу определяют его корреляционную

функцию R x (τ) ;

- по корреляционной функции R x (τ) определяют спектральную плотность сигнала на входе системыS x (ω) ;

- по известной частотной передаточной функции системы W(jω) определяют спектральную плотность на выходе системыS y (ω) ;

- по полученной спектральной плотности на выходе системы S y (ω) определяют корреляционную функцию выходного сигналаR y (τ) ;

По корреляционной функции выходного сигнала R y (τ) определяют дисперсиюD y = R y (0) и среднеквадратичное отклонение регулируемой величины.

6.4 Анализ точности работы линейной системы при случайном воздействии

Если входное воздействие, приложенное к линейной системе, является случайным стационарным процессом x(t), то выходная величина y(t) то же будет случайным стационарным процессом. При этом предполагается, что рассматриваемая система устойчива. Ясно, что в этих условиях судить о точности работы системы нужно не по мгновенным значениям выходной величины, а по некоторым средним значениям, которые вычисляются по спектральной плотности выходного сигналаS y (ω) .

Пусть спектральная плотность входного сигнала S x (ω) , тогда спектральная плотность выходного сигналаS y (ω) определяется (без вывода)

S y (ω )= W (j ω )2 S x (ω )

Спектральная плотность выходного сигнала автоматической системы равна спектральной плотности входного сигнала умноженного на квадрат модуля частотной характеристики исследуемой системы.

Закон распределения случайной величины при прохождении ее через автоматическую систему в общем случае может меняться. Но если на входе линейной системы закон распределения нормальный, то и на выходе системы можно принять нормальное распределение.

Пусть математическое ожидание m x стационарного процессаx(t), на

входе линейной системы не равно нулю, тогда на основании принципа суперпозиции для линейных систем этот случайный процесс на входе системы можно представить

x1 (t)= mx + xo c (t),

где x o (t ) - центрированный случайный процесс на входе системы.

В этом случае математическое ожидание на выходе системы m y определяется, еслиm x умножить на частотную передаточную функцию приω =0

my = W(0) mx

Когда на систему одновременно действует случайный сигнал управления x a (t) и случайный сигнал возмущенияx n (t), то спектральная плотность ошибки регулированияS oш (ω) определяется

Sîø (ω )= Wa (jω )2 Sa (ω )+ Wn (jω )2 Sn (ω ),

где S a (ω) - спектральная плотность сигнала управления;S n (ω) - спектральная плотность сигнала возмущения;

W a (jω) - передаточная функция по ошибке регулирования;W n (jω) - передаточная функция по возмущению.

Дисперсия ошибки регулирования D y и общее среднеквадратичное ее значениеσ у определяется по формулам

Dy = 1 / 2π ∞ ∫ [ Wa (jω )2 Sa (ω )+ Wn (jω )2 Sn (ω )] dω ,

При подаче на вход системы случайных сигналов управления и возмущения общая среднеквадратичная ошибка определяется по теореме Пифагора по СКО управления и СКО возмущения

Отметим преимущества и недостатки оценки точности работы системы по среднеквадратичной ошибке регулирования (СКО). С помощью СКО можно оценить вероятность появления ошибки сверху. Так оценивает усредненное, статистическое значение ошибки, а не величина мгновенного значения ошибки. Поэтому для систем, где недопустимы большие ошибки (хотя и кратковременные) применяется другой метод расчета. Кроме этого, полученное СКО справедливо для больших промежутков времени (при T → ∞ ), а ошибки, связанные с кратковременным переходным процессом, практически не учитываются.

Если спектральные плотности и частотные передаточные функции заданы в виде дробно-рациональных функций от ω, то можно сразу определить дисперсию выходного сигналаD y , образно говоря, минуя определенияS y (ω) выходного сигнала иR y (τ) выходного сигнала. Значение дисперсии выходного сигнала определяется по табличному интегралуJ n в зависимости от порядка характеристического уравнения системы. Для этого подинтегральное выражение приводится к табличному виду

1 ∞

1 ∞ G(ω )dω

J n=

W(jω )

S(ω )dω =

−∫ ∞

H(jω )

где G(ω )= b0 ω 2n − 2 + b1 ω 2n − 4 + ...+ bn − 1 ; H(jω )= a0 (jω )n + a1 (jω )n − 1 + ...+ an.

Покажем формулы вычисления табличного интеграла по коэффициентам передаточной функции

J 1=		− b 0 a 2 + b 1 a 0 ;

	2a0 a1	2a0 a1 a2
J 3=	− b 0a 2a 3+ b 1a 0a 3− b 2a 0a 1

	2a0 a3 (a1 a2 − a0 a3 )

Для более высокой степени характеристического уравнения вычисления этих табличных интегралов становится громоздким. Поэтому используются другие методы статистического анализа.

Параметры системы, выбранные по критерию минимизации СКО необходимо оценить по возможности их технической реализации и, кроме этого, оценить изменившиеся динамические характеристики системы.

Пример 6.1 –По критерию минимизации СКО Определить оптимальное значение коэффициента усиленияK y для заданной линейной следящей системы (рисунок 6.4). На вход системы поступает случайный сигнал, управляющая

спектральная плотность которого S α = (2 D γ α ) . Одновременно на вход посту-

α 2+ ω 2

пают случайные помехи в виде белого шума со спектральной плотностью S n (ω) =С 2

Определяем частотную

передаточную

функцию по ошибке управления

W (jω )=

1 + Ky

/ jω jω + Ky

Рисунок 6.4 – Структурная

схема системы к примеру 6.1

2 Частотная передаточная функция замк-

нутой системы

W (jω )=

K y /

1 + Ky

/ jω jω + Ky

3 Дисперсия ошибки регулирования по управлению

1 ∞

2 2D γ α

2Dγ α ∞

ω2 d ω

2 π−∞ ∫

jω + Ky

α 2+ ω 2

(jω + Ky )(α + jω )

2Dγ α ∞

ω2 d ω

α J

2 π−∞ ∫

(j ω )2

+ (K y +α ) j ω +K y α

4 Полученное подинтегральное выражение соответствует табличному интегралу J 2

G(ω) = ω2 ,

+α ) j ω +K

b0 = 1, b1 = 0,

H(ω )= (jω ) 2 +

1 , a

+ α , a

− b a

K y α

J 2=

2(Ky + α ) Ky α

2(Ky

+α )

2a0 a1 a2

5 Это значение J 2 подставим в формулуD ош

D îø=

2Dγ α

Dγ α

2(Ky + α ) =

K y + α

6 Дисперсия ошибки регулирования от случайных помех в виде белого шума

2 ∞

D пом=

−∞∫

С2 dω =

−∞∫

С2 Ky 2 J1

jω + Ky

7 Полученное подинтегральное выражение соответствует табличному интегралу J 1


H(ω )= jω + Ky , a0 = 1, a1 = Ky
J 1=
	2a0 a1	2K y

Это значение J 1 подставим в формулуD ïîì

С2 Ky

2K y

Дисперсия суммарной ошибки D общ

D α

С2 Ky

D +D

K y + α

10 Для определения оптимального значения K y , при котором суммарная ошибка минимальная, построим графикиD ош , D пом , D общ в зависимости отK y (рисунок 6.5).

D ошD помD общ

D общ

D пом

D ош

К оптК у

Рисунок 6.5 – Графическое определение оптимального значения K y к примеру 6.1

По графикам видно, что с увеличением K y дисперсия ошибки по управлениюD ош уменьшается, а дисперсия ошибки от помехD пом увеличивается. При большем коэффициенте усиления помехи свободнее проходят через систему. В зависимости от степени неопределенности сигнала управления (коэффициент α) и от интенсивности помех (коэффициент С2 ) можно получить разное оптимальное значениеK y .

6.5 Особенности расчета случайного процесса в нелинейной системе

Если случайный сигнал проходит нелинейное звено, то расчет такой системы существенно усложняется по сравнению с расчетом прохождения случайного сигнала через линейное звено. На рисунке 6.6 показано прохождение случайного сигнала через нелинейный элемент с насыщением F(x).

			а - прохождение случай-
			ного сигнала через нели-
			ного сигнала через нели-
			нейный элемент;
			б - случайный входной

			в - нелинейный элемент с
			в - нелинейный элемент с
			насыщением;
			г - выходной сигнал по-
			сле нелинейного элемен-

б а

Рисунок 6.6 – Прохождение случайного сигнала через нелинейный элемент

В данном примере за счет участка насыщения случайный сигнал не полностью проходит через нелинейный элемент и в результате дисперсия выходного сигнала или «коридор», в пределах которого размещаются выходной сигнал, будет меньше. На рисунке 6.6 показано, что часть случайного входного сигнала попала на зону насыщения и не прошла через нелинейное звено. Это привело к изменению дисперсии выходного сигнала (она уменьшается) и к уменьшению его среднего значения. Уточняем, уменьшение этих параметров выходного случайного сигнала произошло не за счет коэффициента усиления, а из-за нелинейности характеристики элемента в виде зоны насыщения.

Рассмотрим вначале структурную схему линейной системы управления (рисунок 6.7), на вход который подается случайный сигнал

x(t) = mx (t)+ xo (t)

где m x - математическое ожидание входного сигнала;

x ° (t) - помехи и шумы входного сигнала, которые характеризуются дисперсией(D x ).

В этой линейной системе, используя принцип суперпозиции, можно отдельно и независимо друг от друга определить математическое ожидание вы-

ходного сигнала m

my (t)

yт (t)

x° (t)

y° (t)

y q (t) - действительный выходной

y т (t) -теоретически рассчитанный выходной сигнал

Рисунок 6.7 – Прохождение случайного сигнала через линейную систему управления

		yq (t)
		yq (t)

mx (t)		my (t)
		my (t)

	K0 (mx , σx )W(0)
	K0 (mx , σx )W(0)

ym (t)

K1 (mx , σx )W(p)

Рисунок 6.8 – Прохождение случайного сигнала через нелинейное звено

сунок 6.7). Этот расчет показан в подразделе 6.4 и в примере 6.1.

Если такой же случайный сигнал будет подан на нелинейную систему управления (рисунок 6.8), то математическое ожидание на выходе системы зависит от изменения дисперсии, а изменение дисперсии зависит от изменения математического ожидания. Эти две характеристики случайного процесса становится взаимно связанны. Обозначим через K 0 (m x , σ x ) эту взаимозависимость математического ожидания от дисперсии входного сигналаD x. . При расчете удобнее вместо дисперсииD x использовать среднеквадратичное отклонениеσ x .

Соответственно обозначим через K 1 (m x , σ x ) взаимосвязь среднеквадратичного отклонения от математического ожидания. Тогда

ym (t)= my + yo (t)= K0 mx + K1 xo (t)

Для нахождения этих коэффициентов K 0 иK 1 при расчете прохождения сигнала через нелинейное звено используетсяметод стати-

стической линеаризации нелинейного элемента

Метод статистической линеаризации основан на замене нелинейного элемента статистически эквивалентным линеаризованным элементом.

Этот метод статистической линеаризации по общей идее (аналогичен методу гармонической линеаризации.

Периодическое продолжение импульса. Понятие спектральной плотности сигнала.Обратное преобразование Фурье. Условие существования спектральной плотности сигнала.Связь между длительностью импульса и шириной его спектра.Обобщенная формула Рэлея.Взаимная спектральная плотность сигналов. Энергетический спектр.Корреляционный анализ сигналов.Сравнение сигналов, сдвинутых во времени.

Цель лекции:

Получить спектральные характеристики непериодических (импульсных) сигналов методом обобщения рядов Фурье. Определить требования к ширине полосы пропускания радиотехнического устройства. Представить сигналы посредством их спектральных плотностей. Использовать энергетический спектр для получения различных инженерных оценок. Понять, как возникает потребность в сигналах со специально выбранными свойствами.

Пусть s (t) - одиночный импульсный сигнал конечной длительности. Дополнив его мысленно такими же сигналами, периодически следующими через некоторый интервал времени T, получим изученную ранее периодическую последовательность S пер (t), которая может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье

(12.1) с коэффициентами . (12.2)

Для того, чтобы вернуться к одиночному импульсному сигналу, устремим к бесконечности период повторения Т. При этом очевидно:

а) частоты соседних гармоник nω 1 и (n+ l)ω 1 окажутся сколь угодно близкими, так что в формулах (12.1) и (12.2) дискретную переменную nω 1 можно заменить непрерывной переменной ω - текущей частотой;

б) амплитудные коэффициенты С n станут неограниченными малыми из-за наличия величины Т в знаменателе формулы (12.2).

Наша задача состоит теперь в нахождении предельного вида формулы (12.1) при T→∞.

Рассмотрим малый интервал частот Δω, образующий окрестность некоторого выбранного значения частоты ω 0 . В пределах этого интервала будет содержаться N=Δω/ω 1 = ΔωT/(2π) отдельных пар спектральных составляющих, частоты которых отличаются сколь угодно мало. Поэтому составляющие можно складывать так, как будто все они имеют одну и ту же частоту и характеризуются одинаковыми комплексными амплитудами

В результате находим комплексную амплитуду эквивалентного гармонического сигнала, отображающего вклад всех спектральных составляющих, содержащихся внутри интервала Δω

. (12.3)

Функция (12.4)

носит название спектральной плотности сигнала s (t). Формула (12.4) осуществляет преобразование Фурье данного сигнала.

Решим обратную задачу спектральной теории сигналов: найдем сигнал по его спектральной плотности, которую будем считать заданной.

Поскольку в пределе частотные интервалы между соседними гармониками неограниченно сокращаются, последнюю сумму следует заменить интегралом

. (12.5)

Эта важная формула называется обратным преобразованием Фурье для сигнала s(t).

Сформулируем окончательно фундаментальный результат: сигнал s (t) и его спектральная плотность S(ω) взаимно однозначно связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье

, (12.6)

Спектральное представление сигналов открывает прямой путь к анализу прохождения сигналов через широкий класс радиотехнических цепей, устройств и систем.

Сигналу s(t) можно сопоставить его спектральную плотность s(ω) в том случае, если этот сигнал абсолютно интегрируем, т. е. существует интеграл

Подобное условие значительно сужает класс допустимых сигналов. Так, в указанном классическом смысле невозможно говорить о спектральной плотности гармонического сигнала и (t) =U m cosω 0 t , существующего на всей бесконечной оси времени.

Важный вывод: чем меньше длительность импульса, тем шире его спектр.

Под шириной спектра понимают частотный интервал, в пределах которого модуль спектральной плотности не меньше некоторого наперед заданного уровня, например, изменяется в пределах от |S| max , до 0.1|S| max .

Произведение ширины спектра импульса на его длительность есть постоянное число, зависящее только от формы импульса и, как правило, имеющее порядок единицы: Чем короче длительность импульса, тем шире должна быть полоса пропускания соответствующего усилителя. Короткие импульсные помехи имеют широкий спектр и поэтому могут ухудшать условия радиоприема в значительной полосе частот.

Математические модели многих сигналов, широко применяемых в радиотехнике, не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости, поэтому метод преобразований Фурье в обычном виде к ним неприменим. Однако можно говорить о спектральных плотностях таких сигналов, если допустить, что эти плотности описываются обобщенными функциями.

Пусть два сигнала и(t) и v (t), в общем случае комплексно-значные, определены своими обратными преобразованиями Фурье.

Найдем скалярное произведение этих сигналов, выразив один из них, например v (t), через его спектральную плотность

Полученное соотношение представляет собой обобщенную формулу Рэлея. Легко запоминающаяся трактовка этой формулы такова: скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей. Если сигналы тождественно совпадают, то скалярное произведение становится равным энергии

. (12.7)

Назовем взаимным энергетическим спектром вещественных сигналов u (t) и v (t) функцию

, (12.8)

такую, что

. (4.9)

Нетрудно заметить, что Re W uv (ω)-четная, а Im W uv (ω)-нечетная функция частоты. Вклад в интеграл (12.9) дает только вещественная часть, поэтому

. (12.10)

Последняя формула дает возможность проанализировать «тонкую структуру» взаимосвязи сигналов.

Более того, обобщенная формула Рэлея, представленная в виде (12.10), указывает на принципиальный путь, позволяющий уменьшить степень связи между двумя сигналами, добившись в пределе их ортогональности. Для этого один из сигналов необходимо подвергнуть обработке в особой физической системе, называемой частотным фильтром. К этому фильтру предъявляется требование: не пропускать на выход спектральные составляющие, находящиеся в пределах частотного интервала, где вещественная часть взаимного энергетического спектра велика. Частотная зависимость коэффициента передачи такого ортогонализирующего фильтра будет обладать резко выраженным минимумом в пределах указанной области частот.

Спектральное представление энергии сигнала легко получить из обобщенной формулы Рэлея, если в ней сигналы и(t) и v (t) считать одинаковыми. Формула (12.8), выражающая спектральную плотность энергии, приобретает вид

Величина W u (ω) носит название спектральной плотности энергии сигнала и(t), или, короче, его энергетического спектра. Формула (3.2) при этом запишется так

. (12.12)

Соотношение (4.12) известно как формула Рэлея (в узком смысле), которая констатирует следующее: энергия любого сигнала есть результат суммирования вкладов от различных интервалов частотной оси.

Изучая сигнал с помощью его энергетического спектра, мы неизбежно теряем информацию, которая заключена в фазовом спектре сигнала, поскольку в соответствии с формулой (4.11) энергетический спектр есть квадрат модуля спектральной плотности и не зависит от ее фазы.

Обратимся к упрощенной идее работы импульсного радиолокатора, предназначенного для измерения дальности до цели. Здесь информация об объекте измерения заложена в величине τ - задержке по времени между зондирующим и принятым сигналами. Формы зондирующего и (t) и принятого и (t-τ) сигналов одинаковы при любых задержках. Структурная схема устройства обработки радиолокационных сигналов, предназначенного для измерения дальности, может выглядеть так, как это изображено на рисунке 12.1.

Рисунок 12.1 - Устройство для измерения времени задержки сигналов

Функция не является периодической, поэтому она не может быть разложена в ряд Фурье. С другой стороны, функция из-за неограниченной длительности не интегрируема и поэтому не может быть представлена интегралом Фурье. Для избежания этих трудностей вводится вспомогательная функция , которая совпадает с функцией на интервале и равна нулю вне этого интервала:

(5.15)

Функция интегрируема и для нее существует прямое преобразование Фурье (интеграл Фурье):

(5.16)

Спектральной плотностью мощности случайного сигнала (или просто спектральной плотностью ) называется функция вида:

(5.17)

Спектральная плотность - это функция, характеризующая распределение средних значений квадратов амплитуд гармоник сигнала. Спектральная плотность обладает следующими свойствами:

1. Чем быстрее изменяется стационарный случайный процесс, тем шире график .

2. Отдельные пики на графике спектральной плотности свидетельствуют о наличии у случайного сигнала периодических составляющих.

3. Спектральная плотность является четной функцией:

(5.18)

Спектральная плотность связана с дисперсией сигнала следующим соответствием:

(5.19)

Экспериментально спектральная плотность определяется (вычисляется) по следующей схеме:

Рис. 5.6.

Спектральная плотность связана с корреляционной функцией следующим выражением (по теореме Хинчина-Винера):

(5.20)

(5.21)

Если разложить множители и с помощью формулы Эйлера и учесть, что , и являются четными функциями, а - нечетная функция, то выражения (5.20), (5.21) можно преобразовать к следующему виду:

(5.22)

(5.23)

Выражения (5.23), (5.24) применяют в практических расчетах. Нетрудно заметить, что при выражение (5.24) определяет дисперсию стационарного случайного процесса.:

(5.24)

Соотношения, связывающие корреляционную функцию и спектральную плотность, обладают всеми присущими преобразованию Фурье свойствами и определяют следующие сравнительные характеристики: чем шире график , тем уже график , и наоборот, чем быстрее убывает функция , тем медленнее уменьшается функция . Эту взаимосвязь иллюстрируют графика на рис (5.7), (5.8)

Рис. 5.7.

Рис. 5.8.

Линии 1 на обоих рисунках соответствуют медленно меняющемуся случайному сигналу, в спектре которого преобладают низкочастотные гармоники. Линии 2 соответствуют быстроменяющемуся сигналу, в спектре которого преобладают высокочастотные гармоники.

Если случайный сигнал изменяется во времени очень резко и между его предыдущими и последующими значениями корреляция практически отсутствует, то корреляционная функция имеет вид дельта-функции (линия 3). График спектральной плотности в этом случае представляет горизонтальную прямую в диапазоне. Это указывает на то, что амплитуды гармоник во всем диапазоне частот одинаковы. Такой сигнал называется белым шумом (по аналогии с белым светом, у которого, как известно, интенсивность всех компонент одинакова).

Понятие «белого шума» является математической абстракцией. Физически сигналы в виде белого шума неосуществимы, так как бесконечно широкому спектру соответствует бесконечно большая дисперсия, а следовательно, бесконечно большая мощность. Однако часто реальные системы с конечным спектром можно приближенно рассматривать как белый шум. Это упрощение правомерно в тех случаях, когда спектр сигнала значительно шире полосы пропускания системы, на которую действует сигнал.