Сложение и умножение вероятностей. Формулы сложения вероятностей

Тип занятия: изучение нового материала.
Учебно-воспитательные задачи:
- дать понятие о случайном событии, вероятности события;
- научить вычислять вероятности события; вероятности случайных событий по классическому определению;
- научить применять теоремы сложения и умножения вероятностей для решения задач;
- продолжать формировать интерес к математике посредством решения задач с применением классического определения вероятности для непосредственного подсчета вероятностей явлений;
- прививать интерес к математике, используя исторический материал;
- воспитывать осознанное отношение к процессу обучения, прививать чувство ответственности за качество знаний, осуществлять самоконтроль за процессом решения и оформления упражнений.

Обеспечение занятия:
- карточки-задания для индивидуального опроса;
- карточки-задания для проверочной работы;
- презентация.

Студент должен знать:
- определения и формулы числа перестановок, размещений и сочетаний;
- классическое определение вероятности;
- определения суммы событий, произведения событий; формулировки и формулы теорем сложения и умножения вероятностей.

Студент должен уметь:
- вычислять перестановки, размещения и сочетания;
- вычислять вероятность события используя классическое определение и формулы комбинаторики;
- решать задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей.

Мотивация познавательной деятельности студентов.
Преподаватель сообщает, что возникновение теории вероятностей относится к середине XVII в. и связанно с исследованием Б. Паскаля, П. Ферма и Х.Гюйгенса (1629-1695) . Крупный шаг в развитии теории вероятности связан с работами Я.Бернулли (1654-1705). Ему принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей - законом больших чисел. Следующий этап в развитии теории связан с именами А.Муавра (1667-1754) , К. Гаусса, П. Лапласа (1749-1827) , С.Пуассона (1781-1840). Среди ученых Петербургской школой следует назвать имена А.М. Ляпунова (1857-1918) и А.А Маркова (1856-1922) . После работ этих математиков во всем мире теорию вероятностей стали называть “Русской наукой”. В средине 20-х годов А.Я. Хинчин (1894-1959) и А.Н. Колмогорова создали Московскую школу теории вероятностей. Вклад акад. А.Н.Колмогоров – лауреата Ленинской премии, международной премии им. Б. Больцано, члена ряда зарубежных академиков – в современную математику огромен. Заслуга А.Н.Колмогорова состоит не только в разработке новых научных теорий, но и еще в большей степени в том, что он воспитал целую плеяду талантливых ученых (акад. АН УССР Б.В. Гнеденко, акад. Ю.В. Прохоров, Б.А. Севастьянов и др.).
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных величин,- за последнее десятилетие превратилась в один из основных методов современных науки и техники. Бурное развитие теории автоматического регулирования привело к необходимости решать многочисленные вопросы, связанные с выяснением возможного хода процессов, на которые влияют случайные факторы. Теория вероятностей необходима широкому кругу специалистов – физикам, биологам, врача, экономистам, инженерам, военным, организаторам производства и т.д.

Ход занятия.

I . Организационный момент.

II . Проверка домашнего задания
Провести фронтальный опрос в виде ответов на вопросы:

Проверить решение упражнений:

Сколькими способами можно составить список из 10 человек?
Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?
30 учащихся обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?

III . Изучение нового материала.
В толковом словаре С.И. Ожегова и Н.Ю. Шведовой читаем: «Вероятность – возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь». Мы часто употребляем в повседневной жизни «вероятно», «вероятнее», «невероятно», вовсе не имея в виду конкретные количественные оценки этой возможности исполнения.
Основатель современной теории вероятностей А.Н. Колмогоров писал о вероятности так: «Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях».
Итак, в математике вероятность измеряется числом. Совсем скоро мы выясним, как именно это можно сделать. Но начнем мы с обсуждения того, у каких событий бывает «математическая вероятность» и что представляют собой эти «определенные, могущие повторяться неограниченное число раз условия». Именно поэтому рассмотрим случайные события и случайные эксперименты.
Нужно сказать, что теория вероятностей, как никакая другая область математики, полна противоречий и парадоксов. Объяснение этому очень простое – она слишком тесно связана с реальной, окружающей нас действительностью. Долгое время ее вместе с математической статистикой даже не хотели причислять к математическим дисциплинам, считая их сугубо прикладными науками.
Только в первой половине прошлого века, в основном благодаря трудам нашего великого соотечественника А.Н. Колмогорова, имя которого уже упоминалось выше, были построены математические основания теории вероятностей, которые позволили отделить собственно науку от ее приложений. Подход, предложенный Колмогоровым, теперь принято называть аксиоматическим, поскольку вероятность в нем (а точнее, вероятностное пространство) определяется как некая математическая структура, удовлетворяющая определенной системе аксиом.
Именно на этом подходе построен современный вузовский курс теории вероятностей, через который прошли в свое время все нынешние учителя математики. Однако в школе такой подход к изучению вероятности (да и математики в целом) вряд ли разумен. Если в вузе основной акцент делается на изучении математического аппарата для исследования вероятностных моделей, то в школе ученик должен научиться эти модели строить, анализировать, проверять их адекватность реальным ситуациям. Такую точку зрения разделяют сегодня большинство ученых, занимающихся проблемами школьного математического образования
В современных школьных учебниках можно найти следующее определение: событие называется случайным , если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти. Случайным будет, например, событие «При подбрасывании игрального кубика выпадет 6 очков».
В приведенном определении неявно подразумевается одно важное требование, которое необходимо подчеркнуть: мы должны иметь возможность неоднократно воспроизводить одни и те же условия, в которых наблюдается данное событие (например, подбрасывать кубик),- иначе невозможно судить о его случайности.
Стало быть, говоря о любом случайном событии, мы всегда имеем в виду наличие определенных условий, без которых об этом событии вообще не имеет смысла говорить. Этот комплекс условий называют случайным опытом или случайным экспериментом .
В дальнейшем мы будем называть случайным любое событие, связанное со случайным экспериментом . До эксперимента, как правило, невозможно точно сказать, произойдет данное событие, или не произойдет – это выясняется лишь после его завершения. Но неспроста мы сделали оговорку «как правило»: в теории вероятностей принято считать случайными все события, связанные со случайным экспериментом, в том числе:

невозможные , которые никогда не могут произойти;
достоверные, которые происходят при каждом таком эксперименте.

Например, событие «На игральном кубике выпадет 7 очков» - невозможное, а «На игральном кубике выпадет меньше семи очков» - достоверное. Разумеется, если речь идет о кубике, на гранях которого написаны числа от 1 до 6.
События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными , если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании (В урне два шара – белый и черный, появление черного шара не исключает появление белого при том же испытании). События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны. Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

Обозначения:
Случайные события (большими буквами латинского алфавита): A,B,C,D,.. (или ). “Случайные” опускают и говорят просто “события”.
Число исходов, благоприятствующих наступлению данного события – m;
Число всех исходов (опытов) – n.
Классическое определение вероятности.
Вероятностью события A называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е.
– вероятность случайного события
Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т.е. 0≤P(A)≤1
Невозможному событию соответствует вероятность P(A)=0, а достоверному – вероятность P(A)=1

Теоремы сложения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B);
P(+ +…+=P(+P+…+P().

Теорема сложения вероятностей совместных событий.
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Для трех совместных событий имеет место формула:
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

Событие, противоположное событию A (т.е. ненаступление события A), обозначают . Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: P(A)+P()=1

Вероятность наступления события A, вычисленная в предположении, что событие B уже произошло, называется условной вероятностью события A при условии B и обозначается (A) или P(A/B).
Если A и B – независимые события, то
P(B)-(B)=(B).

События A,B,C,… называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или ненаступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации.

Теоремы умножения вероятностей.
Теорема умножения вероятностей независимых событий.
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
P(AB)=P(A) P(B)

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле:
P()=P() P()… P().

Теорема умножения вероятностей зависимых событий.
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:
P(AB)=P(A) (B)=P(B) (A)

IV . Применение знаний при решении типовых задач
Задача 1.
В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
Решение: Событие A-билет выигрышный. Общее число различных исходов есть n=1000
Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле P(A)=, получим P(A)== = 0,2 = 0,147

Задача 4 .
В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем 5 из них стандартные. Рабочий берет наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной.

Задача 5.
Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно

Задача 6.
В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
Решение: Пусть A - появление белого шара из первой урны, а B – появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события A и B независимы. Найдем P(A)=4/12=1/3, P(B)=3/12=1/4, получим
P(AB)=P(A) P(B)=(1/3) (1/4)=1/12=0,083

Задача 7.
В ящике находится 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
Решение: Введем следующие обозначения: A – первая взятая деталь стандартная; B – вторая взятая деталь стандартная. Вероятность того, что первая деталь стандартная, составляет P(A)=8/12=2/3. Вероятность того, что вторая взятая деталь окажется стандартной при условии, что была стандартной первая деталь, т.е. условная вероятность события B, равна (B)=7/11.
Вероятность того, что обе детали окажутся стандартными, находим по теореме умножения вероятностей зависимых событий:
P(AB)=P(A) (B)=(2/3) (7/11)=14/33=0,424

Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.
Вариант 1.

Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 40 до 70 является кратным 6?
Какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты она три раза упадет гербом к верху?

Вариант 2.

Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 1 до 30 (включительно) является делителем числа 30?
В НИИ работает 120 человек, из них 70 знают английский язык, 60 – немецкий, а 50 – знают оба. Какова вероятность того, что выбранный наудачу сотрудник не знает ни одного иностранного языка?

VI . Подведение итогов занятия.

VII . Домашнее задание:
Г.Н. Яковлев, математика, книга 2, § 24.1, 24.2, стр. 365-386. Упражнения 24.11, 24.12, 24.17

Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей . Решение простейших задач на определение вероятности с использованием сложения вероятностей.

Методические указания по теме 3.1:

Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей:

Изучение каждого явления в порядке наблюдения или производства опыта связан с осуществлением некоторого комплекса условий (испытаний). Всякий результат или исход испытания называется событием.

Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным , а в том случае, когда оно заведомо не может произойти, - невозможным.

События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.

События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.

Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

Вероятностью события называется отношение числа исходов m , благоприятствующих наступлению данного события , к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е.

Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т.е. . Невозможному событию соответствует вероятность , а достоверному - вероятность

Пример 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Общее число различных исходов есть n = 1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m = 200. Согласно формуле, получим .

Пример 2. Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

Обозначим событие, состоящее в появлении черного шара, через . Общее число случаев . Число случаев m , благоприятствующих появлению события , равно 3. По формуле получим .

Пример 3. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

Обозначим событие, состоящее в появлении двух черных шаров через . Общее число возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 элементов (12 + 8) по два:

Число случаев m , благоприятствующих событию , составляет

По формуле находим вероятность появления двух черных шаров:

Теорема сложения вероятностей. Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей:

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равно сумме вероятностей этих событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Пример 4. В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере она из взятых деталей окажется стандартной.

Очевидно, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной, если произойдет любое из трех несовместных событий: B - одна деталь стандартная, две нестандартные; C - две детали стандартные, одна нестандартная и D - три детали стандартные.

Таким образом, событие A можно представить в виде суммы этих трех событий: A = B + C + D. По теореме сложения имеем P(A) = P(B) + P(C) + P(D). Находим вероятность каждого из этих событий:

Сложив найденные величины, получим

Пример 5. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Пусть A - событие, состоящее в том, что наудачу взятое число кратно 3, а B - в том, что оно кратно 5. Найдем Так как A и B совместные события, то воспользуемся формулой:

Всего имеется 90 двузначных чисел: 10, 11, 98, 99. Из них 30 являются кратными 3 (благоприятствуют наступлению события A ); 18 - кратными 5 (благоприятствуют наступлению события B ) и 6 - кратными одновременно 3 и 5 (благоприятствуют наступлению события AB ). Таким образом, т.е.

Теорема умножения вероятностей:

Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле:

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:

Пример 6. В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой - 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Пусть - появление белого шара из первой урны, а - появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события и независимы. Найдем

По формуле получим:

Вопросы для самопроверки по теме 3.1:

1. Что такое событие?

2. Какие события называются достоверными?

3. Какие события называются невозможными?

4. Дать определение вероятности.

5. Сформулировать теорему сложения вероятностей.

6. Сформулировать теорему умножения вероятностей.

Задания для самостоятельного решения по теме 3.1:

1. В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных. Контролер взял наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной.

2. В урне находятся 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Найдите вероятность того, что вынутый шар окажется: 1) белым; 2) черным или красным.

3. Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому одновременно.

4. Рабочий обслуживает два автомата, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый автомат не потребует внимания рабочего, равна 0,8, а для второго автомата эта вероятность равна0,7. Найдите вероятность того, что в течение часа ни один и автоматов не потребует внимания рабочего.

5. В урне находятся 6 шаров, из которых 3 белых. Наудачу вынуты один за другим два шара. Вычислите вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

6. В урне находятся 10 белых и 6 черных шаров. Найдите вероятность того, что три наудачу вынутых один за другим шара окажутся черными.

Необходимость в действиях над вероятностями наступает тогда, когда известны вероятности некоторых событий, а вычислить нужно вероятности других событий, которые связаны с данными событиями.

Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность объединения или логической суммы случайных событий.

Сумму событий A и B обозначают A + B или A ∪ B . Суммой двух событий называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий. Это означает, что A + B – событие, которое наступает тогда и только тогда, когда при наблюдении произошло событие A или событие B , или одновременно A и B .

Если события A и B взаимно несовместны и их вероятности даны, то вероятность того, что в результате одного испытания произойдёт одно из этих событий, рассчитывают, используя сложение вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность того, что произойдёт одно из двух взаимно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:

Например, на охоте произведены два выстрела. Событие А – попадание в утку с первого выстрела, событие В – попадание со второго выстрела, событие (А + В ) – попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов. Итак, если два события А и В – несовместные события, то А + В – наступление хотя бы одного из этих событий или двух событий.

Пример 1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.

Решение. Примем, что событие А – «взят красный мячик», а событие В – «взят синий мячик». Тогда событие - «взят цветной (не белый) мячик». Найдём вероятность события А :

и события В :

События А и В – взаимно несовместные, так как если взят один мячик, то нельзя взять мячики разных цветов. Поэтому используем сложение вероятностей:

Теорема сложения вероятностей для нескольких несовместных событий. Если события составляют полное множество событий, то сумма их вероятностей равна 1:

Сумма вероятностей противоположных событий также равна 1:

Противоположные события образуют полное множество событий, а вероятность полного множества событий равна 1.

Вероятности противоположных событий обычно обозначают малыми буквами p и q . В частности,

из чего следуют следующие формулы вероятности противоположных событий:

Пример 2. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.

Решение: Найдём вероятность того, что стрелок попадёт в цель:

Найдём вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Сложение вероятностей взаимно совместных событий

Два случайных события называются совместными, если наступление одного события не исключает наступления второго события в том же самом наблюдении. Например, при бросании игральной кости событием А считается выпадение числа 4, а событием В – выпадение чётного числа. Поскольку число 4 является чётным числом, эти два события совместимы. В практике встречаются задачи по расчёту вероятностей наступления одного из взаимно совместных событий.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность того, что наступит одно из совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, из которой вычтена вероятность общего наступления обоих событий, то есть произведение вероятностей. Формула вероятностей совместных событий имеет следующий вид:

Поскольку события А и В совместимы, событие А + В наступает, если наступает одно из трёх возможных событий: или АВ . Согласно теореме сложения несовместных событий, вычисляем так:

Событие А наступит, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ . Однако вероятность наступления одного события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей всех этих событий:

Аналогично:

Подставляя выражения (6) и (7) в выражение (5), получаем формулу вероятности для совместных событий:

При использовании формулы (8) следует учитывать, что события А и В могут быть:

взаимно независимыми;
взаимно зависимыми.

Формула вероятности для взаимно независимых событий:

Формула вероятности для взаимно зависимых событий:

Если события А и В несовместны, то их совпадение является невозможным случаем и, таким образом, P (AB ) = 0. Четвёртая формула вероятности для несовместных событий такова:

Пример 3. На автогонках при заезде на первой автомашине вероятность победить , при заезде на второй автомашине . Найти:

вероятность того, что победят обе автомашины;
вероятность того, что победит хотя бы одна автомашина;

1) Вероятность того, что победит первая автомашина, не зависит от результата второй автомашины, поэтому события А (победит первая автомашина) и В (победит вторая автомашина) – независимые события. Найдём вероятность того, что победят обе машины:

2) Найдём вероятность того, что победит одна из двух автомашин:

Решить задачу на сложение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Бросаются две монеты. Событие A - выпадение герба на первой монете. Событие B - выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события C = A + B .

Умножение вероятностей

Умножение вероятностей используют, когда следует вычислить вероятность логического произведения событий.

При этом случайные события должны быть независимыми. Два события называются взаимно независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления второго события.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий и вычисляется по формуле:

Пример 5. Монету бросают три раза подряд. Найти вероятность того, что все три раза выпадет герб.

Решение. Вероятность того, что при первом бросании монеты выпадет герб , во второй раз , в третий раз . Найдём вероятность того, что все три раза выпадет герб:

Решить задачи на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча, после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трёх игр в коробке не останется неигранных мячей?

Пример 7. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что из букв получится слово "конец".

Пример 8. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.

Пример 9. Та же задача, что в примере 8, но каждая карта после вынимания возвращается в колоду.

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из взаимно независимых событий , можно вычислить путём вычитания из 1 произведения вероятностей противоположных событий , то есть по формуле:

Пример 10. Грузы доставляют тремя видами транспорта: речным, железнодорожным и автотранспортом. Вероятность того, что груз будет доставлен речным транспортом, составляет 0,82, железнодорожным транспортом 0,87, автотранспортом 0,90. Найти вероятность того, что груз будет доставлен хотя бы одним из трёх видов транспорта.

Непосредственный подсчет случаев, благоприятствующих данному событию, может оказаться затруднительным. Поэтому для определения вероятности события бывает выгодно представить данное событие в виде комбинации некоторых других, более простых событий. При этом, однако, надо знать правила, которым подчиняются вероятности при комбинации событий. Именно к этим правилам и относятся упомянутые в названии параграфа теоремы.

Первая из них относится к подсчету вероятности того, что осуществится хотя бы одно из нескольких событий.

Теорема сложения.

Пусть А и В - два несовместных события. Тогда вероятность того, что осуществится хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей:

Доказательство. Пусть - полная группа попарно несовместных событий. Если то среди этих элементарных событий имеется ровно событий, благоприятствующих А, и ровно событий, благоприятствующих В. Так как события А и В несовместны, то никакое из событий не может благоприятствовать обоим этим событиям. Событию (А или В), состоящему в том, что наступает хотя бы одно из этих двух событий, благоприятствует, очевидно, как каждое из событий благоприятствующих А, так и каждое из событий

Благоприятствующих В. Поэтому общее число событий, благоприятствующих событию (А или В), равно сумме откуда следует:

что и требовалось доказать

Нетрудно видеть, что теорема сложения, сформулированная выше для случая двух событий, легко переносится на случай любого конечного числа их. Именно если попарно несовместные события, то

Для случая трех событий, например, можно написать

Важным следствием теоремы сложения является утверждение: если события попарно несовместны и единственно возможны, то

Действительно, событие или или или по предположению достоверно и его вероятность, как было указано в § 1, равна единице. В частности, если означают два взаимно противоположных события, то

Проиллюстрируем теорему сложения примерами.

Пример 1. При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный выстрел равна 0,3, а вероятность сделать выстрел на оценку «хорошо» равна 0,4. Какова вероятность получить за сделанный выстрел оценку не ниже «хорошо»?

Решение. Если событие А означает получение оценки «отлично», а событие В - получение оценки «хорошо», то

Пример 2. В урне, содержащей шаров белого, красного и черного цвета, находятся белых шаров и I красных. Какова вероятность вынуть шар не черного цвета?

Решение. Если событие А состоит в появлении белого, а событие В - красного шара, то появление шара не черного цвета

означает появление либо белого, либо красного шара. Так как по определению вероятности

то по теореме сложения вероятность появления шара не черного цвета равна;

Эту задачу можно решить и так. Пусть событие С состоит в появлении черного шара. Число черных шаров равно так что Р (С) Появление шара не черного цвета является противоположным событием С, поэтому на основании указанного выше следствия из теоремы сложения имеем:

как и раньше.

Пример 3. В денежно-вещевой лотерее на серию в 1000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого-либо выигрыша на один лотерейный билет?

Решение. Если обозначить через А событие, состоящее в выпадении денежного выигрыша и через В - вещевого, то из определения вероятности следует

Интересующее нас событие представляет (А или В), поэтому из теоремы сложения вытекает

Таким образом, вероятность какого-либо выигрыша равна 0,2.

Прежде чем перейти к следующей теореме, необходимо ознакомиться с новым важным понятием - понятием условной вероятности. Для этой цели мы начнем с рассмотрения следующего примера.

Пусть на складе имеется 400 электрических лампочек, изготовленных на двух различных заводах, причем на первом изготовлено 75% всех лампочек, а на втором - 25%. Допустим, что среди лампочек, изготовленных первым заводом, 83% удовлетворяют условиям определенного стандарта, а для продукции второго завода этот процент равен 63. Определим вероятность того, что случайно взятая со склада лампочка окажется удовлетворяющей условиям стандарта.

Заметим, что общее число имеющихся стандартных лампочек состоит из лампочек, изготовленных первым

заводом, и 63 лампочек, изготовленных вторым заводом, то есть равно 312. Так как выбор любой лампочки следует считать равновозможным, то мы имеем 312 благоприятствующих случаев из 400, так что

где событие В состоит в том, что выбранная нами лампочка стандартна.

При этом подсчете не делалось никаких предположений о том, к продукции какого завода принадлежит выбранная нами лампочка. Если же какие-либо предположения такого рода сделать, то очевидно, что интересующая нас вероятность может измениться. Так, например, если известно, что выбранная лампочка изготовлена на первом заводе (событие А), то вероятность того, что она стандартна, будет уже не 0,78, а 0,83.

Такого рода вероятность, то есть вероятность события В при условии, что имеет место событие А, называют условной вероятностью события В при условии наступления события А и обозначают

Если мы в предыдущем примере обозначим через А событие, состоящее в том, что выбранная лампочка изготовлена на первом заводе, то мы можем написать

Теперь мы можем сформулировать важную теорему, относящуюся к подсчету вероятности совмещения событий.

Теорема умножения.

Вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого в предположении, что первое имело место:

При этом под совмещением событий А и В понимается наступление каждого из них, то есть наступление как события А, так и события В.

Доказательство. Рассмотрим полную группу из равновозможных попарно несовместных событий каждое из которых может быть благоприятствующим или неблагоприятствующим как для события А, так и для события В.

Разобьем все эти события на четыре различные группы следующим образом. К первой группе отнесем те из событий которые благоприятствуют и событию А, и событию В; ко второй и третьей группам отнесем такие события которые благоприятствуют одному из двух интересующих нас событий и не благоприятствуют другому, например ко второй группе - те, которые благоприятствуют А, но не благоприятствуют В, а к третьей - те, которые благоприятствуют В, но не благоприятствуют А; наконец, к

четвертой группе отнесем те из событий которые не благоприятствуют ни А, ни В.

Так как нумерация событий не играет роли, то можно предположить, что это разбиение на четыре группы выглядит так:

I группа:

II группа:

III группа:

IV группа:

Таким образом, среди равновозможных и попарно несовместных событий имеется событий, благоприятствующих и событию А, и событию В, I событий, благоприятствующих событию А, но не благоприятствующих событию событий, благоприятствующих В, но не благоприятствующих А, и, наконец, событий, не благоприятствующих ни А, ни В.

Заметим, между прочим, что какая-либо из рассмотренных нами четырех групп (и даже не одна) может не содержать ни одного события. В этом случае соответствующее число, означающее количество событий в такой группе, будет равно нулю.

Произведенная нами разбивка на группы позволяет сразу написать

ибо совмещению событий А и В благоприятствуют события первой группы и только они. Общее число событий, благоприятствующих А, равно общему числу событий в первой и второй группах, а благоприятствующих В - общему числу событий в первой и третьей группах.

Подсчитаем теперь вероятность то есть вероятность события В при условии, что событие А имело место. Теперь события, входящие в третью и четвертую группы, отпадают, так как их появление противоречило бы наступлению события А, и число возможных случаев оказывается равным уже не . Из них событию В благоприятствуют лишь события первой группы, так что мы получаем:

Для доказательства теоремы достаточно теперь написать очевидное тождество:

и заменить в нем все три дроби вычисленными выше вероятностями. Мы придем к утверждавшемуся в теореме равенству:

Ясно, что написанное нами выше тождество имеет смысл лишь при что справедливо всегда, если только А не есть невозможное событие.

Так как события А и В равноправны, то, поменяв их местами, получим другую форму теоремы умножения:

Впрочем, это равенство можно получить тем же путем, что и предыдущее, если заметить, что воспользоваться тождеством

Сравнивая правые части двух выражений для вероятности Р(А и В), получим полезное равенство:

Рассмотрим теперь примеры, иллюстрирующие теорему умножения.

Пример 4. В продукции некоторого предприятия признаются годными (событие А) 96% изделий. К первому сорту (событие В) оказываются принадлежащими 75 изделий из каждой сотни годных. Определить вероятность того, что произвольно взятое изделие будет годным и принадлежит к первому сорту.

Решение. Искомая вероятность есть вероятность совмещения событий А и В. По условию имеем: . Поэтому теорема умножения дает

Пример 5. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле (событие А) равна 0,2. Какова вероятность поразить цель, если 2% взрывателей дают отказы (т. е. в 2% случаев выстрела не

Решение. Пусть событие В состоит в том, что выстрел произойдет, а В означает противоположное событие. Тогда по условию и согласно следствию из теоремы сложения . Далее, по условию .

Поражение цели означает совмещение событий А и В (выстрел произойдет и даст попадание), поэтому по теореме умножения

Важный частный случай теоремы умножения можно получить, если воспользоваться понятием независимости событий.

Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не изменяется в результате того, наступило или не наступило другое.

Примерами независимых событий являются выпадение различного числа очков при повторном бросании игральной кости или той или иной стороны монет при повторном бросании монеты, так как очевидно, что вероятность выпадения герба при втором бросании равна независимо от того, выпал или не выпал герб в первом.

Аналогично, вероятность вынуть во второй раз белый шар из урны с белыми и черными шарами, если вынутый первым шар предварительно возвращен, не зависит от того, белый или черный шар был вынут в первый раз. Поэтому результаты первого и второго вынимания независимы между собой. Наоборот, если шар, вынутый первым, не возвращается в урну, то результат второго вынимания зависит от первого, ибо состав шаров, находящихся в урне после первого вынимания, меняется в зависимости от его исхода. Здесь мы имеем пример зависимых событий.

Пользуясь обозначениями, принятыми для условных вероятностей, можно записать условие независимости событий А и В в виде

Воспользовавшись этими равенствами, мы можем привести теорему умножения для независимых событий к следующей форме.

Если события А и В независимы, то вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий:

Действительно, достаточно в первоначальном выражении теоремы умножения положить , что вытекает из независимости событий, и мы получим требуемое равенство.

Рассмотрим теперь несколько событий: Будем называть их независимыми в совокупности, если вероятность появления любого из них не зависит от того, произошли ли какие-либо другие рассматриваемые события или нет

В случае событий, независимых в совокупности, теорема умножения может быть распространена на любое конечное число их, благодаря чему ее можно сформулировать так:

Вероятность совмещения событий независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Пример 6. Рабочий обслуживает три автоматических станка, к каждому из которых нужно подойти для устранения неисправности, если станок остановится. Вероятность того, что первый станок не остановится в течение часа, равна 0,9. Та же вероятность для второго станка равна 0,8 и для третьего - 0,7. Определить вероятность того, что в течение часа рабочему не потребуется подойти ни к одному из обслуживаемых им станков.

Пример 7. Вероятность сбить самолет винтовочным выстрелом Какова вероятность уничтожения неприятельского самолета при одновременной стрельбе из 250 винтовок?

Решение. Вероятность того, что при одиночном выстреле самолет не будет сбит, по теореме сложения равна Тогда можно подсчитать с помощью теоремы умножения вероятность того, что самолет не будет сбит при 250 выстрелах, как вероятность совмещения событий. Она равна После этого мы можем снова воспользоваться теоремой сложения и найти вероятность того, что самолет будетсбит, как вероятность противоположного события

Отсюда видно, что, хотя вероятность сбить самолет одиночным винтовочным выстрелом ничтожно мала, тем не менее при стрельбе из 250 винтовок вероятность сбить самолет оказывается уже весьма ощутимой. Она существенно возрастает, если число винтовок увеличить. Так, при стрельбе из 500 винтовок вероятность сбить самолет, как легко подсчитать, равна при стрельбе из 1000 винтовок - даже .

Доказанная выше теорема умножения позволяет несколько расширить теорему сложения, распространив ее на случай совместимых событий. Ясно, что если события А и В совместимы, то вероятность наступления хотя бы одного из них не равна сумме их вероятностей. Например, если событие А означает выпадение четного

числа очков при бросании игральной кости, а событие В - выпадение числа очков, кратного трем, то событию (А или В) благоприятствует выпадение 2, 3, 4 и 6 очков, то есть

С другой стороны, то есть . Таким образом, в этом случае

Отсюда видно, что в случае совместимых событий теорема сложения вероятностей должна быть изменена. Как мы сейчас увидим, ее можно сформулировать таким образом, чтобы она была справедлива и для совместимых, и для несовместных событий, так что ранее рассмотренная теорема сложения окажется частным случаем новой.

Событий, которые А не благоприятствуют.

Все элементарные события, которые благоприятствуют событию (А или В), должны благоприятствовать либо только А, либо только В, либо и А и В. Таким образом, общее число таких событий равно

а вероятность

что и требовалось доказать.

Применяя формулу (9) к рассмотренному выше примеру выпадения числа очков при бросании игральной кости, получим:

что совпадает с результатом непосредственного подсчета.

Очевидно, что формула (1) является частным случаем (9). Действительно, если события А и В несовместны, то и вероятность совмещения

Примере. В электрическую цепь включены последовательно два предохранителя. Вероятность выхода из строя первого предохранителя равна 0,6, а второго 0,2. Определим вероятность прекращения питания в результате выхода из строя хотя бы одного из этих предохранителей.

Решение. Так как события А и В, состоящие в выходе из строя первого и второго из предохранителей, совместимы, то искомая вероятность определится по формуле (9):

Упражнения

В случаях, когда интересующее событие является суммой других событий, для нахождения его вероятности используется формула сложения.

Формула сложения имеет две основные разновидности – для совместных и для несовместных событий. Обосновать эти формулы можно, используя диаграммы Венна (рис. 21). Напомним, что на этих диаграммах вероятности событий численно равны площадям соответствующих этим событиям зон.

Для двух несовместных событий :

Р(А+В) = Р(А) + Р(В). (8, а)

Для N несовместных событий , вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

= .(8б)

Из формулы сложения несовместных событий имеются два важных следствия.

Следствие 1. Для событий, образующих полную группу, сумма их вероятностей равна единице:

= 1.

Это объясняется следующим. Для событий, образующих полную группу, в левой части выражения (8б) находится вероятность того, что произойдёт одно из событий А i , но так как полная группа исчерпывает весь перечень возможных событий, то одно из таких событий произойдёт обязательно. Таким образом, в левой части записана вероятность события, которое обязательно произойдёт – достоверного события. Вероятность его равна единице.

Следствие 2. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице :

Р(А) + Р(Ā) = 1.

Это следствие вытекает из предыдущего, так как противоположные события всегда образуют полную группу.

Пример 15

В ероятность работоспособного состояния технического устройства равна 0,8. Найти вероятность отказа этого устройства за тот же период наблюдений.

Решение.

Важное замечание . В теории надёжности принято вероятность работоспособного состояния обозначать буквой р , а вероятность отказа - буквой q. В дальнейшем будем использовать эти обозначения. Как та, так и другая вероятности являются функциями времени. Так, для больших периодов времени вероятность работоспособного состояния любого объекта приближается к нулю. Вероятность отказа любого объекта близка к нулю для малых периодов времени. В тех случаях, когда период наблюдения в задачах не указан, подразумевается, что он одинаков для всех рассматриваемых объектов.

Нахождение устройства в состояниях работоспособности и отказа – противоположные события. Пользуясь следствием 2, получим вероятность отказа устройства:

q = 1 – р = 1 – 0,8 = 0,2.

Для двух совместных событий формула сложения вероятностей имеет вид:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ ), (9)

что иллюстрирует диаграмма Венна (рис. 22).

Действительно, чтобы найти всю заштрихованную площадь (она соответствует сумме событий А + В), нужно из суммы площадей фигур А и В вычесть площадь общей зоны (она соответствует произведению событий АВ), так как иначе она будет учтена дважды.

Для трех совместных событий формула сложения вероятностей усложняется:

Р(А+В+С)=Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС). (10)

На диаграмме Венна (рис. 23) искомая вероятность численно равна общей площади зоны, образованной событиями А, В и С (для упрощения рисунка единичный квадрат на нем не показан).

После того, как из суммы площадей зон А, В и С вычтены площади зон АВ, АС и СВ получилось, что площадь зоны АВС была просуммирована трижды и трижды вычтена. Поэтому для учета этой площади она должна быть добавлена в окончательное выражение.

При увеличении числа слагаемых формула сложения становится всё более и более громоздкой, но принцип её построения остаётся прежним: сначала суммируются вероятности событий взятых по одиночке, затем вычитаются вероятности всех по парных комбинаций событий, прибавляются вероятности событий взятых тройками, вычитаются вероятности комбинаций событий взятых четверками и т.д.

В итоге следует подчеркнуть: формула сложения вероятностей совместных событий при количестве слагаемых от трех и более громоздка и неудобна к применению, использование ее при решении задач нецелесообразно .

Пример 16

Для ниже приведенной схемы электроснабжения (рис. 24) определить вероятность отказа системы в целом Q С по вероятностям отказа q i отдельных элементов (генератора, трансформаторов и линии).

Состояния отказа отдельных элементов системы электроснабжения, так же как и состояния работоспособности, всегда являются попарно совместными событиями , так как нет никаких принципиальных препятствий к тому, чтобы одновременно производился ремонт, например, линии и трансформатора. Отказ системы наступает при отказе любого её элемента: или генератора, или 1-го трансформатора, или линии, или 2-го трансформатора, или при отказе любой пары, любой тройки или всех четырёх элементов. Следовательно, искомое событие – отказ системы является суммой отказов отдельных элементов. Для решения задачи может быть использована формула сложения совместных событий:

Q с = q г + q т1 + q л + q т2 – q г q т1 – q г q л – q г q т2 – q т1 q л – q т1 q т2 – q л q т2 + q г q т1 q л + q г q л q т2 + q г q т1 q т2 + q т1 q т2 q л – q г q т1 q л q т2.

Это решение ещё раз убеждает в громоздкости формулы сложения для совместных событий. В дальнейшем будет рассмотрен другой более рациональный способ решения данной задачи.

Полученное выше решение может быть упрощено с учётом того, что вероятности отказов отдельных элементов системы электроснабжения для применяемого обычно в расчётах надежности периода в один год достаточно малы (порядка 10 -2). Поэтому все слагаемые кроме первых четырех можно отбросить, что практически не повлияет на численный результат. Тогда можно записать:

Q с ≈q г + q т1 + q л + q т2 .

Однако к подобным упрощениям надо относится осторожно, внимательно изучая их последствия, так как часто отбрасываемые слагаемые могут оказаться соизмеримыми с первыми.

Пример 17

Определить вероятность работоспособного состояния системы Р С , состоящей из трех резервирующих друг друга элементов.

Решение . Резервирующие друг друга элементы на логической схеме анализа надёжности изображаются соединенными параллельно (рис. 25):

Резервированная система работоспособна, когда работоспособен или 1-й, или 2-й, или 3-й элемент, или работоспособна любая пара, или все три элемента совместно. Следовательно, работоспособное состояние системы есть сумма работоспособных состояний отдельных элементов. По формуле сложения для совместных событий Р с = Р 1 + Р 2 + Р 3 – Р 1 Р 2 – Р 1 Р 3 – Р 2 Р 3 + Р 1 Р 2 Р 3 . , где Р 1 , Р 2 и Р 3 – вероятности работоспособного состояния элементов 1, 2 и 3 соответственно.

В данном случае упрощать решение, отбрасывая по парные произведения нельзя, поскольку такое приближение даст значительную погрешность (эти произведения обычно числено близки к первым трём слагаемым). Как и в примере 16, эта задача имеет другое более компактное решение.

Пример 18

Для двухцепной линии электропередачи (рис. 26) известна вероятность отказа каждой цепи: q 1 = q 2 = 0,001. Определить вероятности того, что линия будет иметь стопроцентную пропускную способность – Р(R 100), пятидесяти процентную пропускную способность - Р(R 50), и вероятность того, что система откажет – Q.

Линия имеет стопроцентную пропускную способность, когда работоспособна и 1-я и 2-я цепь:

Р(100%) = р 1 р 2 = (1 – q 1)(1 – q 2) =

= (1 – 0,001)(1 – 0,001) = 0,998001.

Линия отказывает, когда отказывает и 1-я и 2-я цепь:

Р(0%) = q 1 q 2 =0,001∙0,001 = 10 -6 .

Линия имеет пятидесяти процентную пропускную способность, когда работоспособна 1-я цепь и отказала 2-я, или когда работоспособна 2-я цепь и отказала 1-я:

Р(50%)= р 1 q 2 + р 2 q 1 = 2∙0,999∙10 -3 = 0,001998.

В последнем выражении использована формула сложения для несовместных событий, каковыми они и являются.

События, рассмотренные в этой задаче, составляют полную группу, поэтому сумма их вероятностей составляет единицу.