Классическое и статистическое определение вероятности

Для практической деятельности необходимо уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Рассмотрим классический случай. В урне находится 10 шаров, 8 из них белого цвета, 2 черного. Очевидно, что событие «из урны будет извлечен шар белого цвета» и событие «из урны будет извлечен шар черного цвета» обладают разной степенью возможности их наступления. Поэтому для сравнения событий нужна определенная количественная мера.

Количественной мерой возможности наступления события является вероятность . Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода. Остановимся на этом подробнее.

Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Такие исходы называют элементарными исходами , или случаями . При этом говорят, что испытание сводится к схеме случаев или «схеме урн », т.к. любую вероятностную задачу для подобного испытания можно заменить эквивалентной задачей с урнами и шарами разных цветов.

Исход называется благоприятствующим событию А , если появление этого случая влечет за собой появление события А .

Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов , т.е.

(1.1)

где Р(А) – вероятность события А ; m – число случаев благоприятствующих событию А ; n – общее число случаев.

Пример 1.1. При бросании игральной кости возможны шесть исходов – выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Какова вероятность появления четного числа очков?

Решение. Все n = 6 исходов образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Событию А – «появление четного числа очков» – благоприятствуют 3 исхода (случая) – выпадение 2, 4 или 6 очков. По классической формуле вероятности события получаем

Р(А) = = . ◄

Исходя из классического определения вероятности события, отметим ее свойства:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

0 ≤ Р (А ) ≤ 1.

2. Вероятность достоверного события равна единице.

3. Вероятность невозможного события равна нулю.

Как было сказано ранее, классическое определение вероятности применимо только для тех событий, которые могут появиться в результате испытаний, обладающих симметрией возможных исходов, т.е. сводящихся к схеме случаев. Однако существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения.

Например, если допустить, что монета сплющена, то очевидно, что события «появление герба» и «появление решки» нельзя считать равновозможными. Поэтому формула для определения вероятности по классической схеме в данном случае неприменима.

Однако существует другой подход при оценке вероятности событий, основанный на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. В этом случае используется статистическое определениевероятности.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях, т.е.

(1.2)

где Р * (А) – статистическая вероятность события А ; w(A) – относительная частота события А ; m – число испытаний, в которых появилось событие А ; n – общее число испытаний.

В отличие от математической вероятности Р(А) , рассматриваемой в классическом определении, статистическая вероятность Р * (А) является характеристикой опытной , экспериментальной . Иначе говоря, статистической вероятностью события А называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота w(А) при неограниченном увеличении числа испытаний, проводимых при одном и том же комплексе условий.

Например, когда про стрелка говорят, что он попадает в цель с вероятностью 0,95, то это означает, что из сотни выстрелов, произведенных им при определенных условиях (одна и та же цель на том же расстоянии, та же винтовка и т.д.), в среднем бывает примерно 95 удачных. Естественно, не в каждой сотне будет 95 удачных выстрелов, иногда их будет меньше, иногда больше, но в среднем при многократном повторении стрельбы в тех же условиях этот процент попаданий будет оставаться неизменным. Цифра 0,95, служащая показателем мастерства стрелка, обычно очень устойчива , т.е. процент попаданий в большинстве стрельб будет для данного стрелка почти один и тот же, лишь в редких случаях отклоняясь сколько-нибудь значительно от своего среднего значения.

Еще одним недостатком классического определения вероятности (1.1 ), ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания. В некоторых случаях этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.п.).

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G (рис. 1.1). На фигуру G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания на нее брошенной случайной точки. Полагая, что вероятность события А – попадания брошенной точки на фигуру g – пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G , ни от формы g , найдем

Показатель ранговой корреляции Кендалла, проверка соответствующей гипотезы о существенности связи.

2.Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
Вероятность - одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим. Далее укажем слабые стороны этого определения и приведем другие определения, позволяющие преодолеть недостатки классического определения.

Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них - красные, 3 - синие и 1 - белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной (т. е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Это число и называют вероятностью события (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.

Поставим перед собой задачу дать количественную оценку возможности того, что взятый наудачу шар цветной. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А. Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовемэлементарным исходом (элементарным событием) . Элементарные исходы обозначим через w 1 , w 2 , w 3 и т.д. В нашем примере возможны следующие 6 элементарных исходов: w 1 - появился белый шар; w 2 , w 3 - появился красный шар; w 4 , w 5 , w 6 - появился синий шар. Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможны (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).

Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию. В нашем примере благоприятствуют событию A (появлению цветного шара) следующие 5 исходов: w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 .

Таким образом, событие А наблюдается, если в испытании наступает один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих A; в нашем примере А наблюдается, если наступит w 2 , или w 3 , или w 4 , или w 5 , или w 6 . В этом смысле событие А подразделяется на несколько элементарных событий (w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6); элементарное же событие не подразделяется на другие события. В этом состоит различие между событием А и элементарным событием (элементарным исходом).

Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события А и обозначают через Р (А). В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р (A) = 5 / 6. Это число и дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара, которую мы хотели найти. Дадим теперь определение вероятности.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой

где m - число элементарных исходов, благоприятствующих A; n - число всех возможных элементарных исходов испытания.

Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

С в о й с т в о 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно,

Р (A) = m / n = n / n = 1.

С в о й с т в о 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно,

Р (А) = m / n = 0 / n = 0.

С в о й с т в о 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей .

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,

0 < Р (А) < 1

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

З а м е ч а н и е. Современные строгие курсы теории вероятностей построены на теоретико-множественной основе. Ограничимся изложением на языке теории множеств тех понятий, которые рассмотрены выше.

Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий w i , (i = 1, 2, ..., n). События w i , называют элементарными событиями (элементарными исходами) . Уже отсюда следует, что элементарные события попарно несовместны. Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называютпространством элементарных событий W, а сами элементарные события - точками пространства W.

Событие А отождествляют с подмножеством (пространства W), элементы которого есть элементарные исходы, благоприятствующие А; событие В есть подмножество W, элементы которого есть исходы, благоприятствующие В, и т.д. Таким образом, множество всех событий, которые могут наступить в испытании, есть множество всех подмножествW. Само W наступает при любом исходе испытания, поэтому W - достоверное событие; пустое подмножество пространства W - невозможное событие (оно не наступает ни при каком исходе испытания).

Заметим, что элементарные события выделяются из числа всех событий тем, что каждое из них содержит только один элемент W.

Каждому элементарному исходу w i , ставят в соответствие положительное число p i - вероятность этого исхода, причем

По определению, вероятность Р(А) события А равна сумме вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих А. Отсюда легко получить, что вероятность события достоверного равна единице, невозможного - нулю, произвольного - заключена между нулем и единицей.

Рассмотрим важный частный случай, когда все исходы равновозможны. Число исходов равно n, сумма вероятностей всех исходов равна единице; следовательно, вероятность каждого исхода равна 1 / n. Пусть событию А благоприятствует m исходов. Вероятность события А равна сумме вероятностей исходов, благоприятствующих А:

Р (А) = 1 / n + 1 / n + .. + 1 / n.

Учитывая, что число слагаемых равно m, имеем

Р (А) = m / n.

Получено классическое определение вероятности.

Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной А. Н. Колмогоровым, неопре-деляемыми понятиями являются элементарное событие и вероятность. Приведем аксиомы, определяющие вероятность:

1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Р (А). Это число называется вероятностью события А.

2. Вероятность достоверного события равна единице:

3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем.

3.Статическое определение вероятности, относительная частота.

Классическое определение не требует проведения опыта. В то время как реальные прикладные задачи имеют бесконечное число исходов, и классическое определение в этом случае не может дать ответа. Поэтому в таких задачах будем использовать статическое определение вероятностей , которое подсчитывают после проведения эксперимента или опыта.

Статической вероятностью w(A) или относительной частотой называют отношение числа благоприятных данному событию исходов к общему числу фактически проведенных испытаний.

w (A )=nm

Относительная частота события обладает свойством устойчивости :

limn →∞P (∣ ∣ nm −p ∣ ∣ <ε)=1 (свойство устойчивости относительной частоты)

4.Геометрические вероятности.

При геометрическом подходе к определению вероятности в качестве пространства элементарных событий рассматривается произвольное множество конечной лебеговой меры на прямой, плоскости или пространстве. Событиями называются всевозможные измеримые подмножества множества .

Вероятность события А определяется формулой

где обозначает лебегову меру множества А. При таком определении событий и вероятностей все аксиомы А.Н.Колмогорова выполняются.

В конкретных задачах, которые сводятся к указанной выше вероятностной схеме, испытание интерпретируется как случайный выбор точки в некоторой области , а событие А – как попадание выбранной точки в некоторую подобласть А области . При этом требуется, чтобы все точки области имели одинаковую возможность быть выбранными. Это требование обычно выражается словами «наудачу», «случайным образом» и т.д.

Классическое определение вероятности.

Различные определения вероятности.

Алгебра событий.

Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определённое число, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы назовём вероятностью события. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события.

Первым по времени определением вероятности следует считать классическое, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ возникло из анализа азартных игр и применялось вначале интуитивно.

Классический способ определения вероятности основан на понятии равновозможных и несовместных событий, которые являются исходами данного опыта и образуют полную группу несовместных событий.

Наиболее простым примером равновозможных и несовместных событий, образующих полную группу, является появление того или иного шара из урны, содержащей несколько одинаковых по размеру, весу и другим осязаемым признакам шаров, отличающихся лишь цветом, тщательно перемешанных перед выниманием.

По этой причине об испытании, исходы которого образуют полную группу несовместных и равновозможных событий, говорят, что оно сводится к схеме урн, или схеме случаев , или укладывается в классическую схему.

Равновозможные и несовместные события, составляющие полную группу, будем называть просто случаями или шансами. При этом в каждом опыте наряду со случаями могут происходить и более сложные события.

Пример : При подбрасывании игральной кости наряду со случаями А i - выпадение i- очков на верхней грани можно рассматривать такие события, как В - выпадение чётного числа очков, С - выпадение числа очков, кратных трём …

По отношению к каждому событию, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ может произойти при осуществлении эксперимента͵ случаи делятся на благоприятствующие , при которых это событие происходит, и неблагоприятствующие, при которых событие не происходит. В предыдущем примере, событию В благоприятствуют случаи А 2 , А 4 , А 6 ; событию С – случаи А 3 , А 6 .

Классической вероятностью появления некоторого события принято называть отношение числа случаев, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу случаев равновозможных, несовместных, составляющих полную группу в данном опыте:

где Р(А) – вероятность появления события А; m - число случаев, благоприятствующих событию А; n - общее число случаев.

Примеры:

1) (смотри пример выше) Р(В) =, Р(С)= .

2) В урне находятся 9 красных и 6 синих шаров. Найти вероятность того, что вынутые наугад один, два шара окажутся красными.

А - вынутый наугад шар красный:

m =9, n =9+6=15, P(A) =

B - вынутые наугад два шара красные:

Из классического определения вероятности вытекают следующие свойства (показать самостоятельно):

1) Вероятность невозможного события равна 0;

2) Вероятность достоверного события равна 1;

3) Вероятность любого события заключена между 0 и 1;

4) Вероятность события, противоположного событию А,

Классическое определение вероятности предполагает, что число исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных случаев которых бесконечно. Вместе с тем, слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элементарные исходы испытания равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания заключают из соображений симметрии. При этом такие задачи на практике встречаются весьма редко. По этим причинам наряду с классическим определением вероятности пользуются и другими определениями вероятности.

Статистической вероятностью события А принято называть относительная частота появления этого события в произведённых испытаниях:

где – вероятность появления события А;

– относительная частота появления события А;

Число испытаний, в которых появилось событие А;

Общее число испытаний.

В отличие от классической вероятности статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной.

Пример: Для контроля качества изделий из партии наугад выбрано 100 изделий, среди которых 3 изделия оказались бракованными. Определить вероятность брака.

Статистический способ определения вероятности применим лишь к тем событиям, которые обладают следующими свойствами:

· Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые бывают воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.

· События должны обладать статистической устойчивостью (или устойчи- востью относительных частот). Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота события изменяется незначительно.

· Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико.

Легко проверить, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности.

Статистическое определение вероятности. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Статистическое определение вероятности." 2017, 2018.

- Статистическое определение вероятности.

Пусть произведено N испытаний, при этом событие A наступило ровно M раз. Отношение называется относительной частотой события A и обозначается. За вероятность события A принимается число, около которого группируются наблюдаемые значения относительной частоты: . ... .

- Статистическое определение вероятности.

Относительная частота. Пусть A есть случайное событие, которое может наступить в данном опыте. Напомним, что мы рассматриваем опыты, удовлетворяющие условиям а),б) пункта 2. Предположим, что после повторения опыта N раз, событие A произошло M раз. Определение... .

- Статистическое определение вероятности

Существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения. В первую очередь это события с неравновозможными исходами (например, игральная кость «нечестная», монета сплющена и т.д.). В таких случаях может помочь... [читать подробнее] .

- Относительная частота. Статистическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности. Предмет теории вероятностей. Случайные события. Алгебра событий. Относитель-ная частота и вероятность случайного события. Полная группа событий. Классичес-кое определение вероятности. Основные свойства вероятности.... .

Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определённое число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы назовём вероятностью события. Таким образом, вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события.

Первым по времени определением вероятности следует считать классическое, которое возникло из анализа азартных игр и применялось вначале интуитивно.

Поэтому об испытании, исходы которого образуют полную группу несовместных и равновозможных событий, говорят, что оно сводится к схеме урн, или схеме случаев , или укладывается в классическую схему.

По отношению к каждому событию, которое может произойти при осуществлении эксперимента, случаи делятся на благоприятствующие , при которых это событие происходит, и неблагоприятствующие, при которых событие не происходит. В предыдущем примере, событию В благоприятствуют случаи А 2 , А 4 , А 6 ; событию С - случаи А 3 , А 6 .

Классической вероятностью появления некоторого события называется отношение числа случаев, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу случаев равновозможных, несовместных, составляющих полную группу в данном опыте:

где Р(А) - вероятность появления события А; m - число случаев, благоприятствующих событию А; n - общее число случаев.

Примеры:

1) (смотри пример выше) Р(В) = , Р(С) = .

А - вынутый наугад шар красный:

m = 9, n = 9 + 6 = 15, P(A) =

B - вынутые наугад два шара красные:

Из классического определения вероятности вытекают следующие свойства (показать самостоятельно):

1) Вероятность невозможного события равна 0;

2) Вероятность достоверного события равна 1;

3) Вероятность любого события заключена между 0 и 1;

4) Вероятность события, противоположного событию А,

Классическое определение вероятности предполагает, что число исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных случаев которых бесконечно. Кроме того, слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элементарные исходы испытания равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания заключают из соображений симметрии. Однако такие задачи на практике встречаются весьма редко. По этим причинам наряду с классическим определением вероятности пользуются и другими определениями вероятности.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в произведённых испытаниях:

где - вероятность появления события А;

Относительная частота появления события А;

Число испытаний, в которых появилось событие А;

Общее число испытаний.

Пример : Для контроля качества изделий из партии наугад выбрано 100 изделий, среди которых 3 изделия оказались бракованными. Определить вероятность брака.

Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.

События должны обладать статистической устойчивостью (или устойчи- востью относительных частот). Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота события изменяется незначительно.

Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико.

Случайность наступления событий связана с невозможностью предсказать заранее исход того или иного испытания. Однако, если рассматривать, например, испытание: многократное бросание монеты, ω 1 , ω 2 , … , ω n , то получается, что приблизительно в половине исходов (n / 2) обнаруживается определённая закономерность, которая соответствует понятию вероятности.

Под вероятностью события А понимается некоторая числовая характеристика возможности наступления события А . Обозначим эту числовую характеристику р (А ). Существуют несколько подходов к определению вероятности. Основными из них являются статистический, классический и геометрический.

Пусть произведено n испытаний и при этом некоторое событие А наступило n A раз. Число n A называется абсолютной частотой (или просто частотой) события А , а отношение называется относительной частотой наступления события А. Относительная частота любого события характеризуется следующими свойствами:

Основанием для применения методов теории вероятностей к изучению реальных процессов является объективное существование случайных событий, обладающих свойством устойчивости частот. Многочисленные испытания изучаемого события А показывают, что при больших n относительная частота (А ) остаётся примерно постоянной.

Статистическое определение вероятности заключается в том, что за вероятность события А принимается постоянная величина р(А), вокруг которой колеблются значения относительных частот (А ) при неограниченном возрастании числа испытаний n .

Замечание 1 . Отметим, что пределы изменения вероятности случайного события от нуля до единицы выбраны Б. Паскалем для удобства ее вычисления и применения. В переписке с П. Ферма Паскаль указывал, что в качестве указанного промежутка можно было выбрать любой промежуток, например от нуля до ста и другие промежутки. В приведенных ниже задачах в данном пособии вероятности иногда указываются в процентах, т.е. от нуля до ста. В этом случае приведенные в задачах проценты необходимо переводить в доли, т.е. делить на 100.

Пример 1. Проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000 бросаний в каждой. Величина (А ) в каждой из серий равна 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Эти частоты группируются около р (А ) = 0,5.

Этот пример подтверждает, что относительная частота (А ) примерно равна р (А ), т.е.